網易筆試題解法探討（1）
在知乎上，有一位名叫 @楚天闊tkchu 的同學，分享了他參加今年網易遊戲策劃筆試的經歷。據他的描述，網易的遊戲策劃筆試，"數值卷部分的筆試題目非常優秀，覆蓋面廣且內容紮實"。他因臨近結束時意識到即將失敗，於是在最後五分鐘放棄答題，強記了這些題目。鏈接如下：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/44765096
由於各種原因，該同學沒有再分享這些題目的解法，不得不說是一件非常遺憾的事。我在兩天前看到了這些題目，非常感興趣，所以花了一些時間用自己的想法解出了這些題目。在解題過程中，我感覺到自己的知識非常薄弱，絕無可能在考場上把這些題目全部答對，有些題目甚至必須藉助EXCEL來解決，可以說是一件讓我非常害怕的事了。
我現在將我自己的解法分享出來，但需要提前說明的是，我的概率論知識已經忘了很多，所以很多符號已經不知道怎麼用了，解法也不一定正確。如有錯漏，還望指正。
1 在某個抽卡遊戲中，有兩種抽卡模式：
1）十連抽，每次抽卡S卡的抽取概率為20%，如果前面9次都沒有抽出S卡，那麼第十次一定是S卡，否則第十次出S卡的概率仍然是20%。
2）單抽，每次抽卡S卡的抽取概率為20%，如果連續9次都沒有抽出S卡，那麼第十次一定是S卡，否則第十次出S卡的概率仍然是20%。問：這兩種抽法，每次抽中S卡的期望概率分別是多少？
答
十連抽和單抽哪個更划算，也算是抽卡遊戲的常見問題了。在百度中搜索「十連抽和單抽」，會出現以下結果，可見還是有很多玩家對這個問題非常感興趣的。
那麼十連抽和單抽的區別在哪裡呢？一個重要的區別，就是十連抽有可能出現連續十八次不出S卡的情況，而單抽只有可能出現連續九次不出S卡的情況。由此可以得到一個直觀的印象，即：單抽比十連抽要划算。
那麼，這個印象是否正確呢？就需要精確的計算了。
如果是筆算的話，首先需要給出0.8^9=0.134，0.8^10=0.107，否則沒法算。
1）十連抽
我們首先考慮沒有保底的情況，十連抽能抽出多少張S卡呢？用i表示十連抽抽到S卡的張數，那麼抽到i張S卡的概率Pi為：
那麼十連抽抽到S卡的張數期望為：
這裡把i=0的情況獨立出來，因為下面要用到。
很顯然，這裡E=0.2*10=2，則
那麼保底意味著什麼呢？我們可以這樣理解：當十連抽沒有出S卡的情況下，強行讓其中1張卡變成S卡。也就相當於當i=0時，強行讓i=1，則上式變為：
也就是十張卡里期望出2.107張卡，故出S卡的期望概率為：2.107/10=21.07%。
用EXCEL驗證，首先是不設計保底的情況（第三列為張數*概率）：
然後是設計保底的情況（強行把第一張的張數設置為1）：
與手算的結果一致。
2）單抽
同樣，先考慮沒有保底的情況。這裡我們需要轉換一下思路，用i表示連續i抽抽出1張S卡，則連續連續i抽抽出1張S卡的概率Pi為：
那麼單抽抽到S卡的次數期望為：
當我們設置了保底第10抽必然抽中，則相當於給這個公式設置了一個截斷點，在前九抽都沒有抽中的情況下，第十抽一定能抽中。前九抽都沒有抽中的概率為0.8^9，所以次數期望的計算公式變為：
式中，加號左邊是一個等差乘等比數列，需要用到錯位相減法，計算結果為3.12。加號右邊等於10*0.134=1.34。（手算真是累）
計算結果為4.46，即期望4.46次抽到1張S卡，則期望概率為E=1/4.46=22.42%
用EXCEL驗證，首先是不設計保底的情況：
僅計算了前20種情況，理論上期望應該無限接近5。
然後是設計保底的情況：
與手算的結果一致。
結語
這裡我沒有再用VBA驗算一遍，一方面是因為我個人VBA用得並不十分熟練，另一方面也是比較自信，認為沒有再驗算的必要。
從結果來看，的確是單抽比十連更划算，符合很多玩家的一般印象。不過單抽相對來說操作更繁瑣一些，而且有些遊戲的十連抽是和單抽關聯的，也就是實際上十連抽相當於十個單抽。所以這個結論是否適用，就是一個因人而異、因遊戲而異的問題了。
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