原創： 俞暘 計科院 量子趣談 2017-12-25

錢德拉塞卡極限

錢德拉塞卡極限究竟是什麼呢？說白了很簡單，它其實就是一個值，等於2.765 ×10³⁰kg，約等於1.44倍的太陽質量M(1.9891×10³⁰ kg）。它描述了一顆

的質量上限。換言之，宇宙中不可能存在大於1.44倍太陽質量的白矮星。

白矮星是什麼？白矮星是小型恆星演化到最後所成爲的一種星體。這大概是給小學生看的科普書中都會提到的內容。然而，白矮星的運行機制卻曾是天文界的一大難題，因爲經典物理解釋不了白矮星爲何會有如此大的密度，然而白矮星在宇宙中卻又是如此常見的一種星體。

縱觀恆星演化的歷史，從誕生到“死亡”，便是抵抗星體自身萬有引力的歷史。恆星“死亡”之後，往往會留下一個緻密的殘骸。白矮星就是恆星“死亡”的產物之一。人類證認的第一顆白矮星是天狼星的伴星——天狼星B。20世紀初，通過大量的觀測積累，人們認識到天狼星有一顆伴星。它的質量和太陽相仿，光度卻是太陽的萬分之一，表面溫度比太陽還要高，大約是8000℃。這麼高表面溫度的天體，輻射主要集中在白色波段，又很暗；劍橋大學著名天文學家愛丁頓教授稱它爲“白矮星”。（ 愛丁頓對錢德拉塞卡的的人生軌跡有着重大的影響，這在後文會有具體敘述）

白矮星這麼暗，主要是它半徑很小，只有地球這麼大。而白矮星的密度約是水密度的100萬倍，這麼緻密的物質形成的星體，引起了當時人們的廣泛關注。愛丁頓認爲，在白矮星內部，原子核和電子都成爲自由粒子，從而使得白矮星半徑這麼小，物質處於高密狀態。然而，如果認爲這些自由粒子像經典理想氣體一樣提供壓強，理論計算髮現氣體壓強不足以抵抗白矮星自身的引力；因此在經典物理的框架內，很難理解白矮星。這便在當時被稱爲“白矮星之謎”。直到20世紀20年代後期，量子力學和量子統計出現後，“白矮星之謎”才得以真正解決。

1925年春，泡利（Pauli）在原子核外電子分佈研究的基礎上提出“在一個量子狀態上至多擁有一個電子”的概念。把泡利不相容原理應用到統計物理上，是1926年上半年費米（Fermi）完成的。同年8月狄拉克（Dirac）也發表了他關於這種新統計的文章。按照當時的習慣，狄拉克關於量子統計的這篇文章要找一位推薦人。這個推薦人就是劍橋大學的福勒（Fowler）教授。福勒很快意識到，這種新的統計可以解決“白矮星之謎”。1926年12月，福勒撰文指出，白矮星內部電子處於量子簡併狀態（即接近絕對零度的量子電子氣）；電子處於簡併狀態時表現出的壓強稱爲簡併壓，是它抵抗着白矮星自身的萬有引力。

要解釋簡併壓力，就不得不提到著名的泡利不相容原理。這個原理是“一山不容二虎”在微觀世界的具體體現。你可以把原子核和電子當成是一對跳舞的男女。跳得正高興的女生，都會討厭別的女生來搶自己的舞伴。類似地，如果有一個新的電子靠近，原來的那個電子就會對她產生出一種強大的排斥力，從而把這個新電子趕走。這種排斥力，就是我們前面說的“簡併壓力”。顧名思義，“電子簡併壓力”就是發生在電子之間的簡併壓力。而靠電子簡併壓力對抗引力的天體，就是所謂的白矮星。

這是人們第一次用量子統計來解決具體問題，而且第一次就應用於天文領域，用來揭開困擾人們很久的“白矮星之謎”。只是福勒僅考慮了非相對論的情形。這一工作的進一步完善，由4年之後（1930年）錢德拉塞卡（Chandrasekhar）完成。

1930年，年輕的錢德拉塞卡坐上了開往英國的客輪，要去劍橋大學攻讀博士學位[1]。但他上船的時候卻滿懷悲傷，因爲他媽媽得了重病，肯定活不到他學成歸來。此外，他是第一次坐遠洋客輪，所以暈船暈得特別厲害。爲了擺脫這些痛苦，錢德拉塞卡決定在坐船期間做一點科學研究，一點關於白矮星的研究。

正是這看似很隨便的決定，使他在船上得出了驚人的結論，並徹底改變了其以後的人生髮展軌跡。

他考慮了費米－狄拉克統計應用到恆星結構中的可能性，並把福勒的想法與愛丁頓關於重力與自身內部壓力平衡的恆星體的工作結合起來，獲得了一幅固關於白矮星的更詳細的圖景。

他的計算結果令人喫驚：電子簡併壓支撐引力是有限度的。當白矮星質量太大，自身引力太強時，電子簡併壓也不能平衡星體的引力，這個極限質量後來就稱爲錢德拉塞卡極限。如果星體質量超過錢德拉塞卡極限，星體將因自身引力主導而繼續塌縮。

當星體質量超過錢德拉塞卡極限時，引力大於電子簡併壓力，星體在幾秒內崩潰塌縮，電子越過泡利不相容原理的屏障，衝入原子核，將其擊碎，同時產生粒子反應：電子與質子結合爲中子，並放出中微子。中微子逃逸出去，大量的自由中子以高速射向星體中心，一直到物質壓縮到直徑只有大約10千米時，中子氣體的壓力又會增強到足以抵擋引力，使坍縮停止，形成一顆新的平衡星體——中子星。中子星內部99.5%的物質是密集的中子，只有0.5%的電子浮在其表面。中子於中子之間沒有質子與質子間的那種靜電斥力，唯一抵抗引力的是中子的簡併壓力——中子與中子挨在一起不被擠碎的力。在中子星的核裏，再也沒有“任何可以壓縮的空間”，恆星的核成了一個巨大的主要由中子組成的原子核。相似的，若是星體質量超過奧本海默極限（中子星的質量上限），自引力要壓倒中子的簡併壓力，星體將繼續坍縮爲黑洞。

然而，上一段提到的結論都是後來的研究成果了。在當時，包括愛丁頓在內的天文學家都很難接受這一結論。因爲在很長一段時間內，天文學家都相信天上所有的恆星最後都會變成白矮星。而且，錢德拉塞卡的理論是要以“黑洞”這樣的奇異天體存在爲依據的，很顯然，當時並不會有人相信星體會一直坍縮下去。

理論不被認可對於科學家們來說並不罕見，但是，誰也不會想到事情會這樣發展。

孤獨的科學之路——錢德拉塞卡

錢德拉塞卡在去往英國的旅途上得出了初步結論，並於1931年3月在美國《天體物理學雜誌》上發表了論文[2]。然而，在52年後的1983年，錢德拉塞卡才因此獲得諾貝爾物理學獎。爲什麼從提出到被世界承認，有這麼長的時間間隔？這麼多年裏，他又在做什麼呢？這就不得不提到他的生平和愛丁頓教授了。

蘇布拉馬尼揚·錢德拉塞卡（SubrahmanyanChandrasekhar）於1910年10月19日出生於英屬印度旁遮普地區拉合爾（現在的巴基斯坦）的一個“不一般”的家庭中。錢德拉塞卡的家族是南印度的沙伊維特婆羅門，算是印度社會的上層。通過錢德拉塞卡曾祖父和祖父的努力，這個家族在馬德拉斯城裏定居下來。而且錢德拉塞卡的祖父留下了一筆十分不同的遺產——各種各樣科目的精緻的藏書，以及更重要的，讓子女接受高等教育的一種生活模式。這些遺產使得這個家族變得與衆不同。因拉曼效應而獲得了諾貝爾獎的拉曼就是錢德拉塞卡的叔父，也是亞洲第一個諾貝爾獎得主。不過，拉曼對錢德拉塞卡的影響不多，因爲錢德拉塞卡的父母以及他自己極力避免受到拉曼的影響。錢德拉塞卡的成長更多的得感謝他的父母，尤其是他開明的母親。她的母親鼓勵他走自己的路，鼓勵他到國外去學習。

錢德拉塞卡從小就顯示出在數學上的天賦，但是其父親希望他學習物理。他迫於壓力，並且覺得學習物理並不影響他對數學的追求，因而開始學習物理並同時保持了對數學的極大興趣。錢德拉塞卡念大學的時候正是理論物理的黃金年代，新的統計法剛剛出現。錢德拉把費米－狄拉克統計應用到了康普頓效應的計算中，寫出了他早期的一些文章。由於其優異的表現，錢德拉塞卡得到了獎學金赴英國劍橋學習。

在劍橋大學，錢德拉塞卡會見了福勒，併成爲了他的研究生（reseachstudent）。不過，他在劍橋的最初兩年並沒有確定自己的研究方向，他嘗試過進行基礎物理的研究，結識了狄拉克。他訪問了哥本哈根的玻爾研究所，遇到了玻爾。他也考慮過進行純數學研究。不過在這些日子裏他的研究還是集中在天體物理領域，研究包括旋轉流體橢球的平衡結構以及輻射轉移。至於白矮星的質量上限，他是在一次訪問俄羅斯之後才又重新開始。他減少了近似，進行了仔細的數值計算，雖然那個時候還沒有計算機。但是最終的結果沒有變化，即白矮星確實有一個質量上限。

在此期間，錢德拉塞卡與大名鼎鼎的阿瑟·愛丁頓爵士相識。然而，誰能想到，在1935年的一次英國皇家天文學會會議中，愛丁頓居然以公開羞辱的方式向錢德拉塞卡發難。他宣稱泡利不相容原理根本不能研究白矮星結構，所以錢德拉塞卡的白矮星質量極限是徹頭徹尾的歪理邪說。此後4年，愛丁頓一直對此念念不忘，只要參加學術會議，必然會痛批錢德拉塞卡的理論。

沒有人願意反抗愛丁頓的權威，所以錢德拉塞卡處於了孤立的狀態。（畢竟愛丁頓當時是個大人物，就是他第一次通過觀測日食“驗證”了廣義相對論的正確性。當然，現在也有一種說法，就是他的試驗根本不能驗證廣義相對論，不過，那就又是另一個故事了）

儘管後來愛丁頓的觀點被計算機證明是錯誤的，並且人們在1972年首次證實了黑洞的存在，但是這次不愉快的相遇使得錢德拉塞卡爾開始考慮在英國以外尋找工作。另外，後來在生活中，錢德拉塞卡也多次表達了愛丁頓的行爲部分是出於種族動機的觀點。

由於愛丁頓的巨大敵意，錢德拉塞卡不得不離開恆星結構與演化的研究領域。他的研究似乎總是在衆人的視野之外，但他一直努力工作，一直做着艱苦的“年輕人才會從事的”計算。這或許和他的信念有關——“科學的發展不是靠這個或那個發現，也不是靠撰寫和發表一篇論文，而是靠熱忱的研究和大量的工作。”他一直踐行着他的信念。

這次痛苦的經歷也讓錢德拉塞卡形成了一種獨一無二的研究風格：他一生中先後進入了7個完全不同的天文學研究領域，然後在每一個領域都做到了世界第一。

1937年1月，錢德拉塞卡被奧託·斯特魯威（OttoStruve）和總統羅伯特·梅納德·哈欽斯（Robert Maynard Hutchins）任命爲芝加哥大學教授。他後來都沒有離開過芝加哥大學，在1952年成爲天體物理學教授，並在1985年退休。

他曾經在威斯康辛洲威斯康辛灣的葉凱士天文臺進行過一些研究，這個天文臺隸屬於芝加哥大學，但離芝加哥大學本部很遠，以至於錢德拉塞卡每次必須得開兩個半小時的車，去大學本部給學生上課。

錢德拉塞卡加盟芝加哥大學天文系的時候，是系裏唯一的一名理論家，所以就承擔起了爲研究生制定專業課的任務。他總共制定了18門課，要在兩年之內上完。而錢德拉塞卡本人就要上12門。也就是說，他那一年上了6門新課；每次上課，都得先開兩個半小時的車。

二戰後，錢德拉塞卡有門課僅有兩個學生選。要給這兩人上一次課，錢德拉塞卡來回一趟就得開五個小時的車。後來，這兩個學生比錢德拉塞卡更早拿諾貝爾獎。他們就是大家都很熟悉的楊振寧和李政道。

但即便有這麼繁重的教學任務，錢德拉塞卡的科研工作也完全沒受影響。1937年，他一共發表了6篇科研論文，還寫出了他的第一本學術專著。

最“恐怖”的是，這離他一生中最忙碌的時期，還相差甚遠。

1952年，錢德拉塞卡進入了他一生中最忙碌的時期。那一年，他開始擔任《天體物理學雜誌》（TheAstrophysical Journal）的主編。

那時，《天體物理學雜誌》還只是一個芝加哥大學的校內期刊。很長一段時間，雜誌社員工就只有兩個：錢德拉塞卡和一個兼職的祕書。他們兩人要應付雜誌社的一切事務，無論是學術、財務、宣傳、印刷，事無鉅細，通通得管。

更恐怖的是，錢德拉塞卡本身也是兼職。在他擔任主編期間，芝加哥大學分派給他的教學任務還和原來一模一樣。而錢德拉塞卡自己在科學上的產出，也是一點都沒減少。

這種生活持續了整整20年。20年間，錢德拉塞卡被牢牢拴死在芝加哥大學，幾乎沒出去開過學術會議，更別提出去旅遊了。但正是這20年，讓《天體物理學雜誌》從一個芝加哥大學的校內期刊，搖身一變成了全世界排名第一的天文學頂級期刊。

1971年，年過六旬的錢德拉塞卡終於撐不住了，他辭去了《天體物理學雜誌》主編的職務。在他的告別晚宴上，一位雜誌社的高管這麼說到：“在《天體物理學雜誌》的稿件中，經常看到有人提錢德拉塞卡極限；但那些作者不知道的是，錢德拉塞卡根本沒有極限。”

真理總歸是真理。時隔30年後，他之前不得不放棄的，如今被稱爲“錢德拉塞卡極限”理論得到物理學界的公認，並於20年後獲得了諾貝爾物理學獎。

當他從瑞典國王手中接過獎章時，已是兩鬢斑白的垂垂老者。此時，回顧年輕時的挫折，錢德拉塞卡卻已有了不同的看法。“假定當時愛丁頓同意自然界有黑洞……這種結局對天文學是有益處的。”他說，“但我不認爲對我個人有益。愛丁頓的讚美之詞將使我那時在科學界的地位有根本的改變……但我的確不知道，在那種誘惑的魔力面前我會怎麼樣。”

的確，有多少年輕人在功成名就之後，還能長久保持青春活力呢？即使是麥克斯韋和愛因斯坦，也同樣未能始終如一。

錢德拉塞卡的結論是，這些成功的人“對大自然逐漸產生了一種傲慢的態度”。這些人以爲自己有一種看待科學的特殊方法，並且這種方法一定是正確的。但實際上，“作爲大自然基礎的各種真理，比最聰明的科學家更加強大和有力”。

錢德拉塞卡將幾乎無與倫比的科學成功與同樣卓越的人格融爲一體，他的科學之路雖然孤獨，卻頗爲精彩。一個人應該具有蠟炬成灰的激情，去從事他熱愛並願意爲之堅守的事業。

結語

偉大的錢德拉塞卡先生於1995年8月21日因突發心臟病逝世。除了錢德拉塞卡極限，其實他還給我們留下了許多其他的寶貴財富，如其他領域的一些研究成果，著成的論文及出版的書籍。人們爲了紀念他，還將一顆X射線天文衛星命名爲錢德拉X射線望遠鏡（ChandraX-ray Observatory，縮寫爲CXO）。這些就不一一介紹了。

其實，我本來想在理論部分多寫一點的，還想寫一點錢德拉塞卡極限的證明思路的，但在查找資料的過程中不斷被其人格魅力打動，想把其傳奇的經歷都寫上。於是最終，這就變成了一篇人物傳記式的文章。

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參考文獻

[1] Dave, Gentile. White dwarf stars andthe Chandrasekhar limit[D]. Chicago:DePaul University, 1995. 4-12

[2] 仝號, 徐仁新. 錢德拉塞卡和白矮星[J]. 現代物理知識, 2008, (6): 63-66

[3] 蘇宜. 天文學新概論（第四版）[M]. 北京:科學出版社, 2009.296-305

[4] Wikipedia.SubrahmanyanChandrasekhar[EB/OL].

[5] Wikipedia. Chandrasekhar limit[EB/OL].

[6] 王爽. 天才少年，倒黴青年，彪悍中年，逗比終生——錢德拉塞卡[EB/OL].