By @Hey'u & @Charge & @胡大師

在我們翻譯的7.6 玻色-愛因斯坦凝聚中，作者使用了一個在 T<T_c 時沒有解的近似公式(7.122)，並通過討論得出了化學勢和基態原子數目關於溫度的變化關係。 我們覺得這樣的說明並不太嚴謹且在T<T_c時理想玻色氣體系統的化學勢逐漸逼近基態能量的過程沒有體現，因此我們想要拾遺補缺，做些進一步的探討。

我們首先要強調結論——玻色-愛因斯坦凝聚其實是一個三階相變，請不要被關於基態粒子數的圖7-32誤導。

從相變的定義出發

為了更加直觀地理解玻色-愛因斯坦凝聚的過程，我們首先從相變的定義出發，來看一下自由能的變化。由於該系統溫度 T 、化學勢 mu 固定，所以我們應該使用巨勢[1]：

Phi_mathrm{G}equiv U-TS-mu N。 ag{1}

類比第6.5節，我們猜測

Phi_mathrm{G}=-kTlnmathcal Z， ag{2}

其中巨配分函數 extstylemathcal{Z}=sum_{S}e^{-(E_S-mu N_S)/kT} （ S 為系統的任一微觀態）。為了證明這個關係，我們首先做全微分：

mathrm{d}Phi_mathrm{G}=mathrm{d}U-TS-μN =mathrm{d}U-Umathrm{d}S-Smathrm{d}T-mumathrm{d}N-Nmathrm{d}mu； ag{3}

再一次地應用熱力學恆等式

Tmathrm{d}S=mathrm{d}U+Umathrm{d}V-mumathrm{d}N?mathrm{d}U-TdS-μdN=-PdV， ag{4}

我們有

mathrm{d}Phi_mathrm{G}=-Pmathrm{d}V-Smathrm{d}T-Nmathrm{d}mu。 ag{5}

這樣一來，所有的偏微分關係就都有了；不過，我們現在只關心對溫度的偏導：

left(frac{partialPhi_mathrm{G}}{partial T} ight)_{V,mu}=-S=frac{Phi_mathrm{G}+mu N-U}{T}。 ag{5}

同樣地，我們來看 {widetilde{Phi}}_mathrm{G}equiv-kTln{mathcal{Z}} 對溫度的偏導關係：

egin{align} frac{partial{widetilde{Phi}}_mathrm{G}}{partial T} &=-kln{mathcal{Z}}-kTfrac{partialln{mathcal{Z}}}{partial T}=-kln{mathcal{Z}}-kTfrac{1}{mathcal{Z}}frac{partialmathcal{Z}}{partial T}， ag{6} \ frac{partialmathcal{Z}}{partial T} &=frac{partial}{partial T}sum_{S}e^{-(E_S-mu N_S)/kT} =sum_{S}frac{partial[e^{-(E_S-mu N_S)/kT}]}{partial T} \&=frac{1}{kT^2}sum_{S}(E_S-mu N_S)e^{-(E_S-mu N_S)/kT} \&=mathcal{Z}frac{ar{E}-muar{N}}{kT^2} \Rightarrowfrac{partial{widetilde{Phi}}_mathrm{G}}{partial T} &=-kln{mathcal{Z}}-frac{ar{E}-muar{N}}{T}； ag{7} end{align}

其中 ar{E}、ar{N} 為系統的平均能量和平均粒子數（權重為微觀態概率，即吉布斯因子除以巨配分函數），或者，利用本書中的記法[2]：

frac{partial{widetilde{Phi}}_mathrm{G}}{partial T}=-kln{mathcal{Z}}-frac{U-mu N}{T}=frac{{widetilde{Phi}}_mathrm{G}}{T}-frac{U-mu N}{T}=frac{{widetilde{Phi}}_mathrm{G}+mu N-U}{T}。 ag{8}

也即 extstyle{widetilde{Phi}}_mathrm{G},Phi_mathrm{G}遵循相同的微分方程；且二者 extstyle T=0 時的初值均相同：

Phi_{mathrm{G},0}=U_0-mu N_0,{widetilde{Phi}}_{mathrm{G},0}=-kTln{mathcal{Z}_0}=Phi_{mathrm{G},0}={widetilde{Phi}}_{mathrm{G},0}。 ag{9}

故我們可以斷定巨勢與巨配分函數的關係就是[3]

Phi_mathrm{G}=-kTln{mathcal{Z}},left(frac{partialPhi_mathrm{G}}{partial T} ight)_{V,mu}=-S=-kleft(ln{mathcal{Z}}+frac{U-mu N}{kT} ight)。 ag{10}

7.6中已經得到的結論以及我們的簡單拓展

現在，我們應用公式(7.121)及之前的假設，我們有

epsiloninleft[epsilon_0,epsilon_{mathrm{max}} ight]=left[frac{3h^2}{8mL^2},frac{n_{mathrm{max}}^2h^2}{8mL^2} ight]simleft[frac{3h^2}{8mL^2},+infty ight)， ag{11}

其中 extstyle n_{mathrm{max}}^2 ightarrowinfty ；因為系統可以與熱庫自由地交換能量，故沒有任何最高能級的限制（即便熱庫真的具有無限能量，這也是不可能的，不過，這個近似已經非常好了）。同時

N=int_{epsilon_0}^{epsilon_{mathrm{max}}}{gleft(epsilon ight){ar{n}}_{mathrm{BE}}left(epsilon ight)mathrm{d} epsilon},U=int_{epsilon_0}^{epsilon_{mathrm{max}}}{epsilon gleft(epsilon ight){ar{n}}_{mathrm{BE}}left(epsilon ight)mathrm{d} epsilon}。 ag{12}

為了簡化，我們直接應用(7.122)中使用的假設—— extstyle epsilon_0ll1Rightarrowepsilon_0approx0 ，這樣一來，

N=int_{epsilon_0}^{epsilon_{mathrm{max}}}{gleft(epsilon ight){ar{n}}_{mathrm{BE}}left(epsilon ight)mathrm{d} epsilon}approxfrac{V}{v_Q}frac{2}{sqrtpi}int_{0}^{infty}frac{sqrt xmathrm{d} x}{e^{x-{mu/kT}}-1}。 ag{13}

這個積分的結果在前文的腳註中提到過，是：

N=frac{V}{v_Q}{mathrm{Li}}_{3/2}left(e^{mu/kT} ight)， ag{14}

其中 extstyle v_Q=left({h^2/2pi mkT} ight)^{3/2} 是量子體積（關於溫度 T 的函數）， extstyle {mathrm{Li}}_nleft(x ight)=sum_{t=1}^{infty}{x^t/t^n} 是前文的公式(7.64)中譯者補充內容提到過的多對數函數。（關於如何得到這個解和前文7.3的譯者補充中的解的，請見附錄B.5的譯者補充內容。）

注意到一個數學事實—— extstyle {mathrm{Li}}_nleft(1 ight)=sum_{t=1}^{infty}{1/t^n}equivzetaleft(n ight),forall n>1 （關於黎曼Zeta函數 extstyle zetaleft(cdot ight) ，詳見附錄B.5），也即，在化學勢 extstyle mu=0 時

frac{v_Qleft(T_c ight)N}{V}=zetaleft(frac{3}{2} ight)Rightarrow N=zetaleft(frac{3}{2} ight)frac{V}{v_Qleft(T_c ight)}， ag{15}

即公式(7.125)/(7.126)。這樣，我們就驗證了這個解的正確性。

若是想要計算巨勢對於溫度的偏導數，我們還需再計算 extstyle U ：

egin{align} U&=int_{epsilon_0}^{epsilon_{mathrm{max}}}{epsilon gleft(epsilon ight){ar{n}}_{mathrm{BE}}left(epsilon ight)mathrm{d} epsilon}approxfrac{VkT}{v_Q}frac{2}{sqrtpi}int_{0}^{infty}frac{x^{3/2}mathrm{d} x}{e^{x-{mu/kT}}-1} \&=frac{3kT}{2}frac{V}{v_Q}{mathrm{Li}}_{5/2}left(e^{mu/kT} ight)。 ag{17} end{align}

最後，我們來計算巨配分函數 extstyle mathcal{Z}=sum_{S}e^{-(E_S-mu N_S)/kT} 。通常來說，求和 S 遍歷了所有可能的系統粒子數和系統態，即：

egin{align} mathcal{Z}&=sum_{S}e^{-(E_S-mu N_S)/kT} =sum_{n=0}^∞{sum_{具有n個粒子的所有態s}{e^{-(E_S-mu n)/kT}}} \ &=sum_{n=0}^{infty}{sum_{s}{exp{left[frac{mu n}{kT}-sum_{i=1}^n{frac{epsilon_i(s)}{kT}} ight]}}}=sum_{n=0}^{infty}{sum_{s}{exp{left[-sum_{i=1}^n{frac{epsilon_i(s)-mu}{kT}} ight]}}} 。 ag{18} end{align}

然而，由於這個二重求和不能簡單地交換順序，我們還是藉助於該玻色子系統粒子間無相互作用這個特性。此時，該系統可以被拆解成所有 extstyle N 個粒子的簡單組合，因此所有的系統微觀態集合 extstyle {s} 為

left{s ight}equivmathcal{S}=mathcal{S}_1 imesmathcal{S}_2 imescdots imesmathcal{S}_N， ag{19}

其中 extstyle mathcal{S}_i 為粒子i的單粒子微觀態集合， extstyle ×為集合的笛卡爾乘積/直積[4]（Cartesian product / direct product）。此時，集合的大小（勢）為

left|mathcal{S} ight|=prod_{i=1}^{N}left|mathcal{s} ight|=left|mathcal{s} ight|^N,forall i。 ag{20}

記任一單粒子微觀態集合 extstyle mathcal{S}_i 的元素為 extstyle left{t ight} ，我們可以將巨配分函數重寫為

egin{align} mathcal{Z}&=sum_{n=0}^{infty}{sum_{s}{exp{left[-sum_{i=1}^n{frac{epsilon_i(s)-mu}{kT}} ight]}}} =prod_{tinmathcal s}{sum_{n=0}^{infty}{expfrac{-n(epsilon_t-mu)}{kT}}} \ &=prod_{tinmathcal s}{left[1-expfrac{-(epsilon_t-mu)}{kT} ight]^{-1}} 。 ag{21} end{align}

其中，第二個等號首先利用了只考慮單粒子態的公式(7.24)，也即

mathcal Z_{單粒子態??}=1+??^{-(epsilon_t-mu)/kT}+??^{-2(epsilon_t-mu)/kT}+?=sum_{n=0}^{infty}{expfrac{-n(epsilon_t-mu)}{kT}}； ag{22}

之後，注意到系統的能量和粒子數就是所有單粒子態的能量和粒子數直接求和，能量和粒子數的求和由於指數函數的存在變成了乘積，也即

mathcal Z=prod_{tinmathcal s}{mathcal Z_{單粒子態??}}。 ag{23}

巨配分函數的對數為

lnmathcal Z=sum_{tinmathcal s}{ln{left[1-expleft(-frac{epsilon_t-mu}{kT} ight) ight]}}。 ag{24}

為了計算，我們同樣需要使用化離散為連續的近似：

egin{align} lnmathcal Z &approx-int_{0}^{infty}{gleft(epsilon ight)ln{left[1-expleft(-frac{epsilon-mu}{kT} ight) ight]}mathrm{d} epsilon} \ &=-frac{2}{sqrtpi}left(frac{2pi m}{h^2} ight)^{3/2}Vint_{0}^{infty}{ln{left[1-expleft(-frac{epsilon-mu}{kT} ight) ight]}mathrm{d} epsilon} \ &=-left(frac{2pi mkT}{h^2} ight)^{3/2}Vcdot{mathrm{Li}}_{5/2}left(e^{mu/kT} ight) \ &=-frac{V}{v_Q}{mathrm{Li}}_{5/2}left(e^{mu/kT} ight) 。 ag{25} end{align}

回到相變的定義

利用

left(frac{partialPhi_mathrm{G}}{partial T} ight)_{V,mu}=-S=-kleft(ln{mathcal{Z}}+frac{U-mu N}{kT} ight)， ag{26}

可得

egin{align} frac{S}{Nk} &=frac{ln{mathcal{Z}}}{N}+frac{{U/N}-mu}{kT} \ &=frac{V}{Nv_Q}{mathrm{Li}}_{5/2}left(e^{mu/kT} ight)+frac{3}{2}frac{V}{Nv_Q}{mathrm{Li}}_{5/2}left(e^{mu/kT} ight)-frac{mu}{kT} 。 ag{27} end{align}

因為 extstyle {Nv_Q/V}={mathrm{Li}}_{3/2}left(e^{mu/kT} ight) ，我們有

egin{align} e^{mu/kT}={mathrm{Li}}_{{3/2}}^{-1}left({Nv_Q/V} ight)Rightarrow{mu/kT}=ln{{mathrm{Li}}_{{3/2}}^{-1}left({Nv_Q/V} ight)}， ag{28} end{align}

其中 extstyle f^{-1}left(cdot ight) 代表函數 f 的反函數。我們需要進一步地注意多對數函數 {mathrm{Li}}_nleft(cdot ight) 以及其反函數。下圖畫出了多對數函數之一 extstyle {mathrm{Li}}_{3/2}left(cdot ight) 及其反函數在第一象限的圖像：

多對數函數Li?.?(x)及其反函數在第一象限的圖像

我們注意到多對數函數的反函數 {mathrm{Li}}_{{3/2}}^{-1}left(x ight) 在 extstyle x=zetaleft(frac{3}{2} ight) 的地方戛然而止，這是因為 {mathrm{Li}}_{3/2}left(cdot ight) 的最大值為 {mathrm{Li}}_{3/2}left(1 ight)=zetaleft(3/2 ight) ；然而這個點對應的恰恰就是 extstyle T=T_c 的情況，此時，關於 extstyle mu 的方程N=frac{V}{v_Q}{mathrm{Li}}_{3/2}left(e^{mu/kT} ight) 剛好有解，從上圖不難看出，就是 extstyle mu=0 。然而，隨著溫度的下降， extstyle v_Q 進一步地上升，導致方程右邊無論 extstyle mu 如何取值都無法達到固定的值 extstyle N ；在圖中的體現就是即便我們想要 extstyle x 略大於 extstyle 1 來使得 extstyle {mathrm{Li}}_{3/2}left(x ight) 超過 extstyle zetaleft(frac{3}{2} ight) 都是不可能的。但是，你可能會疑惑，反函數 extstyle {mathrm{Li}}_{{3/2}}^{-1}left(x ight) 在 extstyle x=zetaleft(frac{3}{2} ight) 的地方看起來完全可以向右延伸啊？為什麼就中道而止了呢？這個想法其實有一定的道理—— extstyle {mathrm{Li}}_{{3/2}}^{-1}left(x ight) 在 extstyle x=zetaleft(frac{3}{2} ight)的任意階導數都為 extstyle 0 （你可以通過前面提到的多對數函數以及反函數的導數自己計算 extstyle n 階導數的迭代公式來驗證一下），也就是說，我們可以構造一個最簡單的分段函數

widetilde{mathrm{Li}_{3/2}^{-1}}(x)= egin{cases} mathrm{Li}_{3/2}^{-1}(x) &,0<x<zeta(frac 3 2) \ 1 &, xgezeta(frac 3 2) end{cases} 。 ag{29}

由上所述，該分段函數是光滑的，也即 extstyle widetilde{{mathrm{Li}}_{{3/2}}^{-1}}inmathcal{C}^inftyleft(0,+infty ight) 。這個簡單的分段函數的反函數—— extstyle {mathrm{Li}}_{3/2}left(x ight) 再在點 extstyle left(1,zetaleft(frac{3}{2} ight) ight) 之上加一條向上的射線（通過圖像關於 extstyle y=x 對稱得出）——其實非常合理。我們不妨看一下 extstyle {mathrm{Li}}_{3/2}left(x ight) 的定義：

{mathrm{Li}}_{3/2}left(x ight)=sum_{i=1}^{infty}frac{x^i}{i^{3/2}}。 ag{30}

令 extstyle x=1+delta ， extstyle delta ightarrow0^+ ，我們有

egin{align} {mathrm{Li}}_{3/2}left(1+delta ight) =&sum_{i=1}^{infty}frac{left(1+delta ight)^i}{i^{3/2}} \xrightarrow{inom{i}{{i/2}}llfrac{1}{delta^{i/2}}}mathrm{Li}_{3/2}left(1+delta ight) approx&sum_{i=1}^{infty}frac{1+idelta}{i^{3/2}} =sum_{i=1}^{infty}frac{1}{i^{3/2}}+deltasum_{i=1}^{infty}frac{1}{i^{1/2}} \=&zetaleft(frac{3}{2} ight)+deltacdot{mathrm{Li}}_{1/2}left(1 ight) \=&zetaleft(frac{3}{2} ight)+lim_{x ightarrow1^-}{deltacdotleft[zetaleft(frac{1}{2} ight)+frac{sqrtpi}{sqrt{1-x}}+Oleft(sqrt{1-x} ight) ight]} \uildrel{delta ightarrow0^+}over=&zetaleft(frac{3}{2} ight)+lim_{x ightarrow1^-}{frac{deltasqrtpi}{sqrt{1-x}}}； ag{31} end{align}

這樣一來，我們就只需要令 extstyle delta 為 extstyle sqrt{1-x} 的同階無窮小即可（ extstyle Θ 代表同階無窮小）：

在 δ=C?Θ(sqrt{1-x})時\ {mathrm{Li}}_{3/2}left(1+delta ight)=zetaleft({3/2} ight)+Csqrtpi。 ag{32}

換言之，只要選取適當的無窮小 extstyle delta 即可令 extstyle {mathrm{Li}}_{3/2}left(1+delta ight) 取遍大於 extstyle zetaleft(frac{3}{2} ight) 的所有值，表現在圖像上也就是上文所說的「 extstyle {mathrm{Li}}_{3/2}left(x ight) 再在點 extstyle left(1,zetaleft(frac{3}{2} ight) ight) 之上加一條向上的射線」。

利用這個擴展後的 extstyle {mathrm{Li}}_{3/2}left(x ight) 的反函數

widetilde{{mathrm{Li}}_{{3/2}}^{-1}}left(y ight)= egin{cases} mathrm{Li}_{3/2}^{-1}left(y ight) &,0<y<zeta(frac 3 2) \ 1+frac{y-zeta(3/2)}{sqrtpi}Theta(sqrt{1-x}) &, ygezeta(frac 3 2) end{cases} ag{33}

（就是上文的 extstyle widetilde{{mathrm{Li}}_{{3/2}}^{-1}}left(x ight) ，但是顯式地寫出了無窮小），我們可以直接利用 extstyle mu 的解 extstyle {mu/kT}=ln{left[widetilde{{mathrm{Li}}_{{3/2}}^{-1}}left({Nv_Q/V} ight) ight]} 來畫出簡單的圖7-33。

利用無窮小的方法計算該系統在 T<T_c 時的行為

回到巨勢對溫度的導數，並把粒子平均體積 V/N 記為 mathcal{V} ，有：

egin{align} &-{left(frac{partialPhi_mathrm{G}}{partial T} ight)_{V,mu}}/{kN}=frac{S}{Nk} \&=frac{5}{2}frac{mathcal{V}}{v_Q}{mathrm{Li}}_{5/2}left[widetilde{{mathrm{Li}}_{{3/2}}^{-1}}left({v_Q/mathcal{V}} ight) ight]-ln{widetilde{{mathrm{Li}}_{{3/2}}^{-1}}left({v_Q/mathcal{V}} ight)}。 ag{34} end{align}

其中，第二個等號利用了多對數函數以及反函數的導數frac{mathrm{d}{mathrm{Li}}_nleft(x ight)}{mathrm{d}x}=frac{{mathrm{Li}}_{n-1}left(x ight)}{x},frac{mathrm{d} f^{-1}left(x ight)}{mathrm{d}x}={1/frac{mathrm{d}fleft(x ight)}{mathrm{d}x}}以及量子體積的性質 extstyle {mathrm{d}v_Q/mathrm{d}T}=-{3v_Q/2T} 。

在 extstyle Tgeq T_c 時， extstyle widetilde{{mathrm{Li}}_{{3/2}}^{-1}}={mathrm{Li}}_{{3/2}}^{-1} ，該導數自然是連續的，事實上，此時巨勢對溫度的任意階導數都是連續的；因此，我們只需要關心 T=T_c 兩側的情況。利用前文計算 extstyle {mathrm{Li}}_{3/2}left(1+delta ight) 的方法，可得（因為 extstyle {mathrm{Li}}_{-{1/2}}left(x ight)uildrel{x ightarrow1^-}oversimleft(1-x ight)^{-{3/2}} ）：

egin{align} &{mathrm{Li}}_{5/2}left[1+frac{mathcal{N}v_Q-zetaleft({3/2} ight)}{sqrtpi}Thetaleft(sqrt{1-x} ight) ight]=zeta{left(frac52 ight)}\&Rightarrowleft(frac{partialPhi_mathrm{G}}{partial T} ight)_{V,mu}/{kN}= egin{cases} frac{5}{2}frac{mathcal{V}}{v_Q}{mathrm{Li}}_{5/2}left[z ight]-ln{z},&Tgeq T_c \ frac{5}{2}frac{mathcal{V}}{v_Q}zetaleft(frac{5}{2} ight),&T<T_c end{cases} 。 ag{35} end{align}

其中， z={mathrm{Li}_{{3/2}}^{-1}}left({v_Q/mathcal{V}} ight) 。

熱力學極限下， N 與 V 同時趨於無窮，但是二者的比值 mathcal{V} 保持恆定。在該極限下，上式的值顯然並無突變。再求一次導數，有

egin{align} &-left(frac{partial^2Phi_mathrm{G}}{partial T^2} ight)_{V,mu}/{kN}=frac{C_V}{kN}= egin{cases} frac{15}{4T}left{frac{mathcal{V}{mathrm{Li}}_{5/2}left[z ight]}{v_Q}-frac{v_Q}{mathcal{V}{mathrm{Li}}_{1/2}left[z ight]} ight},&Tgeq T_c \ frac{15}{4T}frac{mathcal{V}}{v_Q}zetaleft(frac{5}{2} ight),&T<T_c end{cases} \ &-left(frac{partial^2Phi_mathrm{G}}{partial T^2} ight)_{V,mu}/{kN}= egin{cases} frac{15}{4T_c}frac{mathcal{V}}{v_Q}zetaleft(frac{5}{2} ight),&T=T_c^+ \ frac{15}{4T}frac{mathcal{V}}{v_Q}zetaleft(frac{5}{2} ight),&T=T_c^- end{cases} 。 ag{36} end{align}

也沒有不連續。但是三階導數就不同了：

egin{align} &-left(frac{partial^3Phi_mathrm{G}}{partial T^3} ight)_{V,mu}/{kN}= egin{cases} frac{15}{8T^2}left{frac{mathcal{V}{mathrm{Li}}_{5/2}left[z ight]}{v_Q}+frac{2v_Q}{mathcal{V}{mathrm{Li}}_{1/2}left[z ight]}-frac{3v_Q^2{mathrm{Li}}_{-{1/2}}left[z ight]}{mathcal{V}^2{mathrm{Li}}_{{1/2}}^3left[z ight]} ight},&Tgeq T_c \ frac{15}{8T^2}frac{mathcal{V}}{v_Q}zetaleft(frac{5}{2} ight),&T<T_c end{cases} \ &-left(frac{partial^3Phi_mathrm{G}}{partial T^3} ight)_{V,mu}/{kN}= egin{cases} frac{15}{8T^2}left[frac{mathcal{V}}{v_Q}zetaleft(frac{5}{2} ight)-frac2{3pi} ight],&T=T_c^+ \ frac{15}{8T^2}frac{mathcal{V}}{v_Q}zetaleft(frac{5}{2} ight),&T=T_c^- end{cases} 。 ag{37} end{align}

並注意到，與 {partial^2frac{S}{Nk}}/{partial T^2}一樣， {partial^2frac{U}{Nk}}/{partial T^2} 在 T=T_c 點處也是不連續的。也就是說，該系統在熱力學極限下是一個三階相變。

進一步的思考

然而，上面的計算都是在已經應用了熱力學極限——N 與 V 同時趨於無窮但是二者的比值 mathcal{V} 保持恆定——的情況下的結論；然而這樣做有些問題——如果我們沒有在每一個地方都顯式地寫出所有極限和非極限值，我們顯然無法直接來正確地預測基態粒子數（在熱力學極限下 Tgeq T_c 時， epsilon_0 ightarrow0、mu ightarrow0 ）。因此我們想採用一個麻煩一些，但是不容易犯錯的辦法。

首先，讓我們回到問題的核心——方程(12)。綜上所述，我們可以推測，在 extstyle T<T_c時，應該存在一不同於 extstyle {mathrm{Li}}_{3/2}left(cdot ight) 的函數 extstyle gleft(cdot ight) 使得方程

N=frac{V}{v_Q}frac{2}{sqrtpi}int_{未知}^{未知}{frac{sqrt xmathrm{d} x}{e^{x-{mu/kT}}-1}}equivfrac{V}{v_Q}frac{2}{sqrtpi}gleft({mu/kT} ight)equivfrac{V}{v_Q}frac{2}{sqrtpi}gleft(mu^prime ight) ag{38}

仍有解；並且我們希望它具有如下性質：

egin{cases} ginmathcal{C}^inftyleft(0,+infty ight) \ lim_{x ightarrow0^+}{gleft(x ight)}={zetaleft({3/2} ight)sqrtpi/2}{ 且 }lim_{x ightarrow0^+}{g^{left(n ight)}left(x ight)}equivinfty,forall n \ gleft(x_2 ight)>gleft(x_1<br /> ight),forall x_2>x_1 \ mu=g^{-1}left[{sqrtpi N v_Qleft(T<br /> ight)/2V}<br /> ight]uildrel{T<br /> ightarrow0^+}oversimeqepsilon_0-{kT/N} end{cases} 。 ag{39}

（分別是內部光滑性、連接點連續性、嚴格單調性(保證解的唯一)以及零溫極限的準確性。）其中最後一個性質來自於基態原子數目在零溫下等於總粒子數：

egin{align} N_0&=frac{1}{exp{left[frac{epsilon_0-muleft(T ight)}{kT} ight]}-1} \ ightarrowlim_{T ightarrow0^+}{N_0}&=N Leftrightarrowmuleft(T ight)=epsilon_0-frac{kT}{N}+Oleft(T^2 ight)。 ag{40} end{align}

其中， extstyle O 代表同階或高階無窮小。

想要得到函數 extstyle gleft(cdot ight) ，最簡單不過的辦法就是數值計算公式(7.121)，然而這樣一來，我們就無法得到一個關於玻色-愛因斯坦凝聚的直觀感受了。況且，我們已經知道，在 extstyle T<T_c 時， extstyle 0<mu<epsilon_0sim{10}^{-40} ，恐怕機器精度（64位浮點數，約等於16位十進位小數）已經是力不能及。總而言之，我們需要利用一些較弱的近似來計算公式(7.121)。儘管如此，還是可以認為(7.122)的積分其實沒有太大問題——其一，在 extstyle mu=0 時，點 extstyle epsilon=0（x=0） 處的奇點是一個可積奇點：

(7.122)的被積函數在μ=0時的圖像

為什麼呢？在 extstyle x=0 處做一個泰勒展開馬上就知道了：

frac{sqrt x}{e^x-1}=frac{1}{sqrt x}-frac{sqrt x}{2}+Oleft(x^{3/2} ight)， ag{41}

其中 extstyle sqrt x 和 extstyle Oleft(x^{3/2} ight) 在 extstyle x=0 處根本沒有奇點，而 extstyle {1/sqrt x}=x^{-{1/2}} 顯然在 extstyle x=0 處是一個可積奇點（數學分析或高等數學應該講過， extstyle x^n,ninleft(-1,0 ight) 的奇點可積而到無窮遠的積分發散）。所以(7.122)的被積函數在 extstyle mu=0 時 x=0 處的奇點可積。

其二，在 extstyle mu>0 時，(7.122)的被積函數在 extstyle x={mu/kT}equivmu^prime 處具有奇點：

(7.122)的被積函數在μ′=1時的圖像（事實上μ′最大不超過??/kT?1）

儘管，由於

frac{sqrt x}{e^{x-mu^prime}-1}=frac{1-mu^prime}{2sqrt{mu^prime}}+frac{sqrt{mu^prime}}{x-mu^prime}+Oleft(x-mu^prime ight)， ag{42}

該奇點並不可積，且我們也從圖中看出，顯然 extstyle xinleft[0,mu ight) 這一段是顯然沒有物理意義的；但是我們只需要調整(7.122)的積分下限使其大於 extstyle mu ，積分便收斂了。但是到底是多少呢？公式(7.121)給了我們提示——這個下限其實就是 epsilon_0 。因為對於任意的非零溫度都有 extstyle mu<epsilon_0 ，(7.122)的被積函數在這個區間 left(epsilon_0,+infty ight) 內沒有奇點；同時，因 extstyle int_{mu}^{infty}{{sqrt x/(e^{x-mu^prime}-1)}mathrm{d} x}發散，故只需 extstyle mu ightarrowepsilon_0 積分 extstyle int_{{epsilon_0/kT}}^{infty}{{sqrt x/(e^{x-mu^prime}-1)}mathrm{d} x} 便可以是任意大的——正如我們所希望的那樣。

現在，修正了(7.122)的積分之後，我們應該開始考慮如何解析地積分這個具有非零下限的函數了。你可能會說，我們直接積分被積函數在 extstyle x=mu^prime 的展開式frac{sqrt x}{e^{x-mu^prime}-1}approxfrac{1-mu^prime}{2sqrt{mu^prime}}+frac{sqrt{mu^prime}}{x-mu^prime} 不行嗎？很可惜，這顯然是不可行的：顯然，積分 extstyle {sqrt{mu^prime}/left(x-mu^prime ight)} 就與積分 extstyle {1/x} 基本一致，而我們知道， extstyle {1/x}到無窮的積分是不收斂的；況且， extstyle Oleft(x-mu^prime ight) 的積分也會發散。因此，我們需要另外的方法。

略為艱深的數學計算（相對於本科《高等數學》來說）

首先，我們做一個換元（為了方便，將 extstyle {epsilon_0/kT} 記為 extstyle epsilon_0^prime ）：

int_{epsilon_0^prime}^{infty}frac{sqrt xmathrm{d} x}{e^{x-mu^prime}-1}xrightarrow{t=x-mu^prime}int_{epsilon_0^prime-mu^prime}^{infty}frac{sqrt{t+mu^prime}mathrm{d} t}{e^t-1}。 ag{43}

在進行任何進一步的近似時，一定要記住這個情況下的參數之間的關係：

0lemu^prime<epsilon_0^primell1,Tle T_c；μ<0<?_0?1,T>T_c。 ag{44}

接下來的一步是計算這個積分的非常關鍵的一步——對它做泰勒展開。首先考慮 extstyle Tle T_c 的情況：既然這裡有兩個參數，這兩個參數必須都要展開，並且觀察到它們都是遠小於1的量，自然想到將二者都在0處展開；同時， extstyle mu^prime 有可能真的為0，為了方便，我們當然要先行展開 extstyle mu^prime（其實只要對應地進行近似，更換展開順序並不會影響最終結果，然而，對應地進行近似並不簡單）。首先，令

I_{mathrm{all},mathrm{all}}left(epsilon_0^prime,mu^prime ight)equivint_{epsilon_0^prime-mu^prime}^{infty}{frac{sqrt{t+mu^prime}mathrm{d} t}{e^t-1}}。 ag{45}

我們有：

egin{align} I_{mathrm{all},0}left(epsilon_0^prime,0^+ ight) &=int_{epsilon_0^prime}^{infty}frac{sqrt tmathrm{d} t}{e^t-1} \Rightarrow I_{0,0}left(0^+,0^+ ight) &=int_{0}^{infty}frac{sqrt tmathrm{d} t}{e^t-1}=frac{sqrtpi}{2}zetaleft(frac{3}{2} ight), \I_{{1/2},0}left(0^+,0^+ ight)&=-sqrt{epsilon_0^prime}lim_{epsilon_0^prime ightarrow0^+}{frac{sqrt{epsilon_0^prime}cdot2sqrt{epsilon_0^prime}}{e^{epsilon_0^prime}-1}} =-2sqrt{epsilon_0^prime}, \I_{{3/2},0}left(0^+,0^+ ight)&=-frac{left(epsilon_0^prime ight)^{3/2}}{2}lim_{epsilon_0^prime ightarrow0^+}{frac{-sqrt{epsilon_0^prime}cdotfrac{2}{3}sqrt{epsilon_0^prime}}{e^{epsilon_0^prime}-1}}=frac{1}{3}left(epsilon_0^prime ight)^{3/2},cdotscdots。 ag{46} end{align}

因此，

egin{align} I_{mathrm{all},0}left(epsilon_0^prime,0^+ ight) &=frac{sqrtpi}{2}zetaleft(frac{3}{2} ight)-2sqrt{epsilon_0^prime}+frac{1}{3}left(epsilon_0^prime ight)^{3/2}+Oleft[left(epsilon_0^prime ight)^{5/2} ight] \{xrightarrow{left(epsilon_0^prime ight)^{1/2}ggleft(epsilon_0^prime ight)^{3/2}}} I_{mathrm{all},0}left(epsilon_0^prime,0^+ ight) &=frac{sqrtpi}{2}zetaleft(frac{3}{2} ight)-2sqrt{epsilon_0^prime}+Oleft[left(epsilon_0^prime ight)^{3/2} ight]； ag{47} end{align}

接下來，對於 extstyle I_{mathrm{all},n}left(epsilon_0^prime,0^+ ight) 的 extstyle ngeq1 的情況，有

egin{align} I_{mathrm{all},1}left(epsilon_0^prime,0^+ ight) &=lim_{mu^prime ightarrow0^+}{frac{mathrm{d}}{mathrm{d}mu^prime}I_{mathrm{all},mathrm{all}}left(epsilon_0^prime,mu^prime ight)} =int_{epsilon_0^prime}^{infty}frac{t^{-{1/2}}mathrm{d} t}{2left(e^t-1 ight)}+frac{sqrt{epsilon_0^prime}}{e^{epsilon_0^prime}-1}, \I_{mathrm{all},2}left(epsilon_0^prime,0^+ ight) &=lim_{mu^prime ightarrow0^+}{frac{mathrm{d}^2I_{mathrm{all},mathrm{all}}left(epsilon_0^prime,mu^prime ight)}{mathrm{d}{mu^prime}^2}} =-int_{epsilon_0^prime}^{infty}frac{t^{-{3/2}}mathrm{d} t}{4left(e^t-1 ight)}+frac{left(epsilon_0^prime ight)^{-{1/2}}}{2left(e^{epsilon_0^prime}-1 ight)}+frac{e^{epsilon_0^prime}sqrt{epsilon_0^prime}}{left(e^{epsilon_0^prime}-1 ight)^2}, \I_{mathrm{all},3}left(epsilon_0^prime,0^+ ight) &=int_{epsilon_0^prime}^{infty}{frac{3}{2}cdotfrac{t^{-{5/2}}mathrm{d} t}{4left(e^t-1 ight)}}-frac{left(epsilon_0^prime ight)^{-{3/2}}}{4left(e^{epsilon_0^prime}-1 ight)}+frac{e^{epsilon_0^prime}left(epsilon_0^prime ight)^{-{1/2}}}{2left(e^{epsilon_0^prime}-1 ight)^2}+frac{e^{epsilon_0^prime}left(e^{epsilon_0^prime}+1 ight)sqrt{epsilon_0^prime}}{left(e^{epsilon_0^prime}-1 ight)^3}, end{align}

利用波赫漢默記號 extstyle left(a ight)_n={Gammaleft(a+n ight)/Gammaleft(a ight)} ，通項可以寫成：

egin{align} I_{mathrm{all},n}left(epsilon_0^prime,0^+ ight) &=frac{left(-1 ight)^{n+1}}{2}left(frac{1}{2} ight)_{n-1}int_{epsilon_0^prime}^{infty}frac{t^{{1/2}-n}mathrm{d} t}{e^t-1} +frac{left(-1 ight)^n}{2}left(frac{1}{2} ight)_{n-2}frac{left(epsilon_0^prime ight)^{{1/2}-n+1}}{e^{epsilon_0^prime}-1} \&+frac{left(-1 ight)^{n-1}}{2}left(frac{1}{2} ight)_{n-3}frac{left(epsilon_0^prime ight)^{{1/2}-n+2}}{left(e^{epsilon_0^prime}-1 ight)^2} \&+frac{left(-1 ight)^{n-2}}{2}left(frac{1}{2} ight)_{n-4}frac{left(epsilon_0^prime ight)^{{1/2}-n+3}left(e^{epsilon_0^prime}+1 ight)}{left(e^{epsilon_0^prime}-1 ight)^3} \&+frac{left(-1 ight)^{n-3}}{2}left(frac{1}{2} ight)_{n-5}frac{left(epsilon_0^prime ight)^{{1/2}-n+4}left(e^{2epsilon_0^prime}+4e^{epsilon_0^prime}+1 ight)}{left(e^{epsilon_0^prime}-1 ight)^4}+cdots。 ag{48} end{align}

最後，我們可以對 extstyle I_{mathrm{all},n}left(epsilon_0^prime,0^+ ight) 在 extstyle epsilon_0^prime=0 處做泰勒展開，只取每一個式子中 extstyle epsilon_0^prime 的最低階（常數 extstyle I_{0,n}left(0^+,0^+ ight) 並不存在），這就是

egin{align} I_{1,n}left(0^+,0^+ ight) &=frac{left(-1 ight)^{n+1}}{2}left(frac{1}{2} ight)_{n-1}int_{epsilon_0^prime}^{infty}frac{t^{{1/2}-n}mathrm{d} t}{e^t-1} \&+left(epsilon_0^prime ight)^{{1/2}-n}left[frac{left({1/2} ight)_{n-2}cdot0!}{2left(-1 ight)^n}+frac{left({1/2} ight)_{n-3}cdot1!}{2left(-1 ight)^{n-1}}+cdots\ +frac{left(n-2 ight)!}{2}+left(n-1 ight)! ight] \&=frac{left(-1 ight)^{n+1}}{2}left(frac{1}{2} ight)_{n-1}int_{epsilon_0^prime}^{infty}frac{t^{{1/2}-n}mathrm{d} t}{e^t-1} \&+left(epsilon_0^prime ight)^{{1/2}-n}left[frac{n!}{n-{1/2}}+frac{left(-1 ight)^nleft({1/2} ight)_{n-1}}{2left(n-{1/2} ight)} ight]； ag{49} end{align}

這樣一來，就只剩下積分 extstyle int_{epsilon_0^prime}^{infty}{{t^{{1/2}-n}}{left(e^t-1 ight)}mathrm{d} t} 的近似計算了。顯然，直接對積分本身泰勒展開是不可行的——會導致出現不可積奇點的積分的加減，非常難以判斷真正的 extstyle epsilon_0^prime ightarrow0 的極限值；因此，我們需要迂迴一下，來計算 extstyle {t^{{1/2}-n}}{left(e^t-1 ight)} 在 extstyle t=0 處的展開式：

frac{t^{{1/2}-n}}{e^t-1}=t^{{1/2}-n}left[frac{1}{t}-frac{1}{2}+frac{t}{12}+Oleft(t^2 ight) ight]。 ag{50}

將該函數序列以及在 extstyle n=4 時展開的前三項畫到圖上，有

t^(1/2-n)/(e^t-1)在n=1,2,3時三個函數的圖像（t從0開始）
t^{1/2-n}·(1/t-1/2+t/12)在n=4時的每一項的圖像

因此，甚至從圖中也可以看出：

egin{align} int_{epsilon_0^prime}^{infty}frac{t^{{1/2}-n}mathrm{d} t}{e^t-1}=int_{epsilon_0^prime}^{infty}&{t^{-{1/2}-n}mathrm{d} t}-frac{1}{2}int_{epsilon_0^prime}^{infty}{t^{{1/2}-n}mathrm{d} t} \+&frac{1}{12}int_{epsilon_0^prime}^{infty}{t^{{3/2}-n}mathrm{d} t}+Oleft[left(epsilon_0^prime ight)^{{7/2}-n} ight]。 ag{51} end{align}

還是一樣，只取最低階有

int_{epsilon_0^prime}^{infty}frac{t^{{1/2}-n}mathrm{d} t}{e^t-1}=frac{left(epsilon_0^prime ight)^{{1/2}-n}}{n-{1/2}}+Oleft[left(epsilon_0^prime ight)^{{3/2}-n} ight]。 ag{52}

代回 extstyle I_{1,n}left(0^+,0^+ ight) 有

egin{align} I_{1,n}left(0^+,0^+ ight)&=frac{left({1/2} ight)_{n-1}}{2left(-1 ight)^{n+1}}cdotfrac{left(epsilon_0^prime ight)^{{1/2}-n}}{n-{1/2}}\&+left(epsilon_0^prime ight)^{{1/2}-n}left[frac{n!}{n-{1/2}}+frac{left(-1 ight)^nleft({1/2} ight)_{n-1}}{2left(n-{1/2} ight)} ight] \&=frac{n!}{n-{1/2}}left(epsilon_0^prime ight)^{{1/2}-n} \Rightarrow I_{mathrm{all},n}left(epsilon_0^prime,0^+ ight)&=frac{n!}{n-{1/2}}left(epsilon_0^prime ight)^{{1/2}-n}+Oleft[left(epsilon_0^prime ight)^{{3/2}-n} ight]。 ag{53} end{align}

最後，利用 I_{mathrm{all},mathrm{all}}left(epsilon_0^prime,mu^prime ight)=sum_{n=0}^{infty}{I_{mathrm{all},0}left(epsilon_0^prime,0^+ ight)frac{left(mu^prime ight)^n}{n!}} 可得

egin{align} I_{mathrm{all},mathrm{all}}left(epsilon_0^prime,mu^prime ight) =& frac{sqrtpi}{2}zetaleft(frac{3}{2} ight)+sum_{n=0}^{infty}{left{frac{left(epsilon_0^prime ight)^{{1/2}-n}}{n-{1/2}}+Oleft[left(epsilon_0^prime ight)^{{3/2}-n} ight] ight}left(mu^prime ight)^n} \ uildrel{誤差simepsilon_0^primell1}overapprox& frac{sqrtpi}{2}zetaleft(frac{3}{2} ight)+sqrt{epsilon_0^prime}sum_{n=0}^{infty}frac{left({mu^prime/epsilon_0^prime} ight)^n}{n-{1/2}}。 ag{54} end{align}

該無窮級數的收斂域顯然是 extstyle left|mu^prime ight|<epsilon_0^prime ，而且它可以被解析地求和，其結果就是

2left[sqrt{mu^prime} anh^{-1}left(sqrt{frac{mu^prime}{epsilon_0^prime}} ight)-sqrt{{epsilon_0}^prime} ight]； ag{55}

也即，在 extstyle 0<mu^prime<epsilon_0^prime 時，

egin{align} I_{mathrm{all},mathrm{all}}left(epsilon_0^prime,mu^prime ight)&equivint_{epsilon_0^prime-mu^prime}^{infty}frac{sqrt{t+mu^prime}mathrm{d} t}{e^t-1}=int_{epsilon_0^prime}^{infty}frac{sqrt xmathrm{d} x}{e^{x-mu^prime}-1} \&approxfrac{sqrtpi}{2}zetaleft(frac{3}{2} ight)+2left(sqrt{mu^prime} anh^{-1}sqrt{frac{mu^prime}{epsilon_0^prime}}-sqrt{{epsilon_0}^prime} ight)。 ag{56} end{align}

那麼這個近似的性能是否真的有我所預測的誤差只有 extstyle epsilon_0^prime 呢？將其與數值積分進行對比便可一目了之：

數值積分與近似公式（左刻度）以及二者的誤差（右刻度）在0＜μ′＜??′範圍內的圖像

上圖是 extstyle I_{mathrm{all},mathrm{all}}left(epsilon_0^prime,mu^prime ight)=int_{epsilon_0^prime}^{infty}{{sqrt x/(e^{x-mu^prime}-1)}mathrm{d} x} 的數值積分與近似解析公式和二者的相對誤差（近似解析公式 extstyle {widetilde{I}}_{mathrm{all},mathrm{all}} 與數值積分 extstyle I_{mathrm{all},mathrm{all}} 的差除以數值積分 extstyle I_{mathrm{all},mathrm{all}} ）在 extstyle 0<mu^prime<epsilon_0^prime範圍內的圖像；其中， extstyle epsilon_0^prime={10}^{-6} ，積分時使用了50位精度。可以看到，相對誤差實際上是在 extstyle {10}^{-7} 級別，和我們所預測的基本一致。

新的矛盾與繼續修正

圖中虛線是 extstyle I_{mathrm{all},mathrm{all}}left(epsilon_0^prime,mu^prime ight)=frac{sqrtpi}{2}zetaleft(frac{3}{2} ight) ，對應著最一開始的解中在溫度 extstyle T_c 時 extstyle mu=0 的情況；但是這個新的準確的公式卻告訴我們 extstyle mu 在此時並非是0，而是已經比較接近 extstyle epsilon_0 了。但是這樣一來，這個適用於 extstyle 0<mu^prime<epsilon_0^prime 的準確的 extstyle gleft(mu^prime ight) 的解析解就嚴重違反了連接點連續性——

lim_{x ightarrow0^+}{gleft(x ight)}={zetaleft({3/2} ight)sqrtpi}/{2} 且 lim_{x→0^+}g^{(n)}(x)≡∞,?n。 ag{57}

然而，我們從上圖中知道，這個解析解非常地準確——也就是說，我們原先的解 extstyle {{mathrm{Li}}_{3/2}(e^{mu^prime})sqrtpi}/{2} 並不能夠在 extstyle mu=0 左側附近正確預測積分 extstyle int_{epsilon_0^prime}^{infty}{{sqrt x/(e^{x-mu^prime}-1)}mathrm{d} x} 。

那麼，這二者相差了多少呢？顯然就是

egin{align} int_{epsilon_0^prime}^{infty}frac{sqrt xmathrm{d} x}{e^{x-mu^prime}-1}&=int_{0}^{infty}frac{sqrt xmathrm{d} x}{e^{x-mu^prime}-1}-int_{0}^{epsilon_0^prime}frac{sqrt xmathrm{d} x}{e^{x-mu^prime}-1} \&=frac{sqrtpi}{2}{mathrm{Li}}_{3/2}left(e^{mu^prime} ight)-int_{0}^{epsilon_0^prime}frac{sqrt xmathrm{d} x}{e^{x-mu^prime}-1}。 ag{58} end{align}

第二項顯然在 extstyle mu^prime ightarrow-infty 時收斂於0，這也就是說，我們的原先的解會隨著 extstyle mu^prime 的減小變得更準確，如下圖所示。

??′=10??時數值積分與原先的解在-5??′＜μ′＜0範圍內的圖像

現在，在 extstyle mu^prime<0 時，對於積分

int_{0}^{epsilon_0^prime}frac{sqrt xmathrm{d} x}{e^{x-mu^prime}-1}， ag{59}

由於 extstyle -mu^prime 在大部分情況下是大於 extstyle epsilon_0^prime 的，我們所需要選取的展開順序就變成了先於 extstyle epsilon_0^prime=0 處展開、後於 extstyle mu^prime=0 處展開。當然，和上文展開 extstyle I_{mathrm{all},mathrm{all}}left(epsilon_0^prime,mu^prime ight) 時一樣，由於被積函數中存在 extstyle sqrt x ，我們所選取的展開方式應該是 extstyle left(epsilon_0^prime ight)^{n+{1/2}} （這樣的話， extstyle left(epsilon_0^prime ight)^{n+{1/2}} 項所需要除以的係數就是 extstyle left({1/2} ight)_{n+1}=Gammaleft(n+frac32 ight) / Gammaleft(frac{1}{2} ight) 了）。由於展開方式與前文的非常相似，這裡我們就不把詳細過程寫出來了。

egin{align} int_{0}^{epsilon_0^prime}frac{sqrt xmathrm{d} x}{e^{x-mu^prime}-1} =0&-0cdotfrac{left(epsilon_0^prime ight)^{1/2}}{2}-frac{e^{mu^prime}}{2left(e^{mu^prime}-1 ight)}frac{left(epsilon_0^prime ight)^{3/2}}{left({1/2} ight)_2} \&-frac{3e^{mu^prime}}{4left(e^{mu^prime}-1 ight)^2}frac{left(epsilon_0^prime ight)^{5/2}}{left({1/2} ight)_3} -frac{15e^{mu^prime}left(1+e^{mu^prime} ight)}{16left(e^{mu^prime}-1 ight)^3}frac{left(epsilon_0^prime ight)^{7/2}}{left({1/2} ight)_4} \&-frac{35e^{mu^prime}left(1+4e^{mu^prime}+e^{2mu^prime} ight)}{32left(e^{mu^prime}-1 ight)^4}frac{left(epsilon_0^prime ight)^{9/2}}{left({1/2} ight)_5}-cdots \&-left{frac{left({1/2} ight)_n}{left(n-1 ight)!}cdotfrac{left(epsilon_0^prime ight)^{n+{1/2}}}{left({1/2} ight)_{n+1}}cdotfrac{e^{mu^prime}}{left(e^{mu^prime}-1 ight)^n} \cdotleft[ inom n 0 e^0+left(inom n 0 2^{n-1}-inom n 1 ight)e^{mu^prime} \+left(inom n 0 3^{n-1}-inom n 1 2^{n-1}+inom n 2 ight)e^{2mu^prime}+cdots \+e^{imu^prime}sum_{j=0}^i{inom n j (-1)^j{(i-j+1)}^{n-1}}+cdots+e^{(n-2)mu^prime} ight] ight} \&-cdotscdots。 ag{60} end{align}

其中 inom n k =n!/k!(n-k)! 就是我們熟悉的二項式係數。

你可能會注意到，前文推導 extstyle I_{mathrm{all},mathrm{all}}left(epsilon_0^prime,mu^prime ight) 的展開的時候，出現過十分類似的形式——只相差一個交錯係數 extstyle left(-1 ight)^n 和 extstyle 1/2 的係數，不過在前面，我們沒有給出這樣的通項，主要是考慮到推導這個通項的過程非常複雜，並且如果我們只關心最低階的話，甚至不需要知道這個通項；但是在這裡，由於 extstyle mu^prime 的取值範圍變化非常大，我們有必要關注一下更高階的信息。將上式進行化簡，有

egin{align} -int_{0}^{epsilon_0^prime}&frac{sqrt xmathrm{d} x}{e^{x-mu^prime}-1}=frac{e^{mu^prime}}{2left(e^{mu^prime}-1 ight)}frac{left(epsilon_0^prime ight)^{3/2}}{left({1/2} ight)_2} \ +&sum_{n=2}^inftyleft{{frac{left(epsilon_0^prime ight)^{n+1/2}}{(n-1)!(n+frac12)}frac{e^{mu^prime}}{(e^{mu^prime}-1)^n}} ight. \&left.cdotsum_{i=0}^{n-2}{left[ e^{imu^prime}sum_{j=0}^i{inom n j (-1)^j {(i-j+1)}^{n-1}} ight]} ight} 。 ag{61} end{align}

如果和之前一樣，我們只取 mu^prime 的最低階，顯然有和之前非常類似的結果：

egin{align} -int_{0}^{epsilon_0^prime}frac{sqrt xmathrm{d} x}{e^{x-mu^prime}-1}&=sum_{n=1}^{infty}{frac{sqrt{epsilon_0^prime}}{n+frac{1}{2}}left(frac{epsilon_0^prime}{mu^prime} ight)^n} \&=2sqrt{mu^prime} anh^{-1}{sqrt{frac{epsilon_0^prime}{mu^prime}}}-2sqrt{epsilon_0^prime}。 ag{62} end{align}

該近似函數與數值積分以及二者的相對誤差如下圖所示（記號和前文一致）：

近似公式與數值積分以及二者的相對誤差在-10??′＜μ′＜0範圍內的圖像（??′=10??）

可以看到，這個只取最低階的近似結果竟然比之前計算的 extstyle left|mu^prime ight|<epsilon_0^primell1 都成立的情況的結果還要好（注意這兩次 extstyle mu^prime 都是在 extstyle mu^prime=0 展開的）。為什麼現在的 extstyle mu^prime 的取值範圍變化非常大，反而只取最低階更加有效呢？想回答這個問題需要關注一下更高階的 extstyle mu^prime 的展開（回憶數學分析/高等數學中，多個式子相乘的泰勒展開就是每一項都展開一定階數然後相乘所得到的前展開階數項）：

egin{align} -int_{0}^{epsilon_0^prime}frac{sqrt xmathrm{d} x}{e^{x-mu^prime}-1} &=left[frac{2}{3mu^prime}+frac{1}{3}+frac{mu^prime}{18}-frac{left(mu^prime ight)^3}{1080}+Oleft[left(mu^prime ight)^5 ight] ight]left(epsilon_0^prime ight)^{3/2} \&+left[frac{2}{5left(mu^prime ight)^2}-frac{1}{30}+frac{left(mu^prime ight)^2}{600}-frac{left(mu^prime ight)^4}{15120}+Oleft[left(mu^prime ight)^6 ight] ight]left(epsilon_0^prime ight)^{5/2} \&+left[frac{2}{7left(mu^prime ight)^3}-frac{mu^prime}{840}+frac{left(mu^prime ight)^3}{10584}+Oleft[left(mu^prime ight)^5 ight] ight]left(epsilon_0^prime ight)^{7/2} \&+left[frac{2}{9left(mu^prime ight)^4}+frac{1}{3240}-frac{left(mu^prime ight)^2}{13608}+frac{left(mu^prime ight)^4}{155520}+Oleft[left(mu^prime ight)^6 ight] ight]left(epsilon_0^prime ight)^{9/2} \&+left[frac{2}{11left(mu^prime ight)^5}+frac{mu^prime}{33264}-frac{left(mu^prime ight)^3}{190080}+Oleft[left(mu^prime ight)^5 ight] ight]left(epsilon_0^prime ight)^{11/2} \&+cdotscdots。 ag{63} end{align}

所有的關於 extstyle mu^prime 的展開的第一項和我之前直接給出的結果一樣。現在我們發現，展開式分母的增長速度相比原先 extstyle left|mu^prime ight|<epsilon_0^primell1 的情況下最後展開 extstyle epsilon_0^prime 時所得到的大得多——原先得到的第一個包含項 extstyle {2/7left(epsilon_0^prime ight)^{7/2}} 的式子是

left{frac{2}{7left(epsilon_0^prime ight)^{7/2}}-frac{1}{128left(epsilon_0^prime ight)^{5/2}}+frac{5}{2304left(epsilon_0^prime ight)^{3/2}}+Oleft[left(epsilon_0^prime ight)^{-{1/2}} ight] ight}left(mu^prime ight)^4， ag{64}

衰減速度顯然遠沒有現在的展開式快。

終於，我們得到了關鍵的方程

N=frac{V}{v_Q}frac{2}{sqrtpi}gleft({mu/kT} ight) ag{12}

中的積分在積分下限置為 extstyle epsilon_0^primeequiv{epsilon_0/kT} 、上限置為 extstyle ∞ 時的解析公式，也即

egin{align} g&left({mu/kT} ight)equiv gleft(mu^prime ight)= \ &egin{cases} frac{sqrtpi}{2}{mathrm{Li}}_{3/2}left(e^{mu^prime} ight)+2sqrt{mu^prime} anh^{-1}{sqrt{frac{epsilon_0^prime}{mu^prime}}}-2sqrt{epsilon_0^prime},&mu^prime<0 \ frac{sqrtpi}{2}zetaleft(frac{3}{2} ight)+2sqrt{mu^prime} anh^{-1}{sqrt{frac{mu^prime}{epsilon_0^prime}}}-2sqrt{epsilon_0^prime},&0lemu^prime<epsilon_0^prime end{cases} 。 ag{65} end{align}

你可能會疑惑，在 extstyle mu^prime<0 的時候， extstyle sqrt{mu^prime} 不是變成了虛數了嗎，怎麼算出來還是實數呢？其實，利用歐拉公式，你可以很簡單地證明：

anh^{-1}{left(mathbf{i}x ight)}=mathbf{i} an^{-1}x，sinh{mathbf{i}x}=mathbf{i}sin x，等等。 ag{66}

利用這種性質，我們得以讓這個分段函數保持形式上的統一。

之前，我們希望這個分段函數具有內部光滑性、連接點連續性、嚴格單調性以及零溫極限的準確性這四個性質。下面我們就對其一一驗證。

①內部光滑性：顯然，兩段都是解析函數，且 anh^{-1}{x} 的複平面上支割線（branch cut，即兩邊函數值不連續的線，詳見

Branch point - Wikipedia?

en.wikipedia.org圖標

）位於 extstyle x+ymathbf{i},xinleft(-infty,1 ight)cupleft(1,+infty ight) 的 extstyle y=0 的兩側，由於兩段函數 extstyle x 均為純實數或純虛數，因而並不會越過這個造成不連續的分支線；綜上，我們可以說每一段都具有定義域內的光滑性。

②嚴格單調性：在 extstyle mu^prime<0 時，

egin{align} frac{mathrm{d}gleft(mu^prime ight)}{mathrm{d}mu^prime} &=frac{sqrtpi}{2}{mathrm{Li}}_{1/2}left(e^{mu^prime} ight)+frac{ anh^{-1}{sqrt{{epsilon_0^prime/mu^prime}}}}{sqrt{mu^prime}}+frac{sqrt{epsilon_0^prime}}{epsilon_0^prime-mu^prime} \&=frac{sqrtpi}{2}sum_{k=1}^{infty}frac{e^{kmu^prime}}{k^n}+frac{ an^{-1}{sqrt{-{epsilon_0^prime/mu^prime}}}}{sqrt{-mu^prime}}+frac{sqrt{epsilon_0^prime}}{epsilon_0^prime+left(-mu^prime ight)}， ag{67} end{align}

顯然，每一項都大於0，也即在 extstyle mu^prime<0 時 extstyle gleft(mu^prime ight) 嚴格單調增；在 extstyle mu^prime>0 時，

frac{mathrm{d}gleft(mu^prime ight)}{mathrm{d}mu^prime}=frac{ anh^{-1}{sqrt{{mu^prime/epsilon_0^prime}}}}{sqrt{mu^prime}}+frac{sqrt{epsilon_0^prime}}{epsilon_0^prime-mu^prime}>0,forallmu^prime<epsilon_0^prime； ag{68}

嚴格單調性證畢。

③連接點連續性：在 extstyle mu^prime>0 時，

lim_{mu^prime ightarrow0^+}{g^{left(n ight)}left(mu^prime ight)}=frac{n!left(epsilon_0^prime ight)^{{1/2}-n}}{n-{1}/{2}}， ag{69}

在 extstyle mu^prime<0 時，

egin{align} lim_{mu^prime ightarrow0^-}{g^{left(n ight)}left(mu^prime ight)} &=lim_{mu^prime ightarrow0^-}{left{frac{sqrtpi}{2}frac{sqrtpileft({1/2} ight)_{n-1}}{left(-mu^prime ight)^{{1/2}-n}}-frac{pileft({1/2} ight)_{n-1}}{2left(-mu^prime ight)^{{1/2}-n}} ight}}+frac{n!left(epsilon_0^prime ight)^{{1/2}-n}}{n-frac{1}{2}} \&=frac{n!left(epsilon_0^prime ight)^{{1/2}-n}}{n-frac{1}{2}} \Rightarrowlim_{mu^prime ightarrow0^+}{g^{left(n ight)}left(mu^prime ight)} &=lim_{mu^prime ightarrow0^-}{g^{left(n ight)}left(mu^prime ight)},forall ngeq1； ag{70} end{align}

連接點連續性證畢。

④零溫極限：只保留函數 extstyle gleft(mu^prime ight) 在 extstyle mu^prime=epsilon_0^prime 時泰勒展開的發散項，即

gleft(mu^prime ight)approxfrac{sqrtpi}{2}zetaleft(frac{3}{2} ight)-2sqrt{epsilon_0^prime}+sqrt{epsilon_0^prime}ln{frac{4epsilon_0^prime}{epsilon_0^prime-mu^prime}}， ag{71}

代回方程 extstyle {sqrtpi N v_Q/2V}=gleft({mu/kT} ight) 可得

egin{align} mu&approxepsilon_0-4exp{left{-sqrt{frac{pi kT}{4epsilon_0}}left[frac{Nv_Q}{V}-zetaleft(frac{3}{2} ight) ight]-2 ight}} \&approxepsilon_0-4exp{left(-frac{4epsilon_0}{3sqrt3pi}frac{N}{kT} ight)}； ag{72} end{align}

和我們所預言的 extstyle muapproxepsilon_0-{kT/N} 並非完全一致，不過已經可以了——畢竟，我們從來沒有嘗試去計算並約束任一特定態的粒子數目。

數值計算

儘管我們求出的 extstyle gleft(mu^prime ight) 非常準確，但是很遺憾，它的反函數卻是寫不成包含（雙曲）三角/反三角函數和多對數函數的運算集合的閉合形式了，不過，數值解仍舊是可行的。所以，我們來看一下代入非常接近熱力學極限的數值所得到的結果是什麼吧。

我們先確定常數：

egin{cases} h=6.62607004 imes{10}^{-34} mathrm{m}^2mathrm{cdot kg/s} \ k=1.38064852 imes{10}^{-23} mathrm{m}^2mathrm{cdot kg/}left(mathrm{s}^2mathrm{cdot K} ight) end{cases} 。 ag{73}

之後，我們採用 ^4 ext{He} 的原子質量：

m=6.646477 imes{10}^{-27} mathrm{kg}。 ag{74}

參考腳註[5]，4He在飽和蒸氣壓下，超流轉變溫度附近有 extstyle ho=0.146 {mathrm{g/cm}}^3 ；我們將粒子數設為 extstyle N={10}^{24} ，這樣一來：

V={Nm/ ho}=4.55 imes{10}^{-5} mathrm{m}^3。 ag{75}

全部代入公式，我們終於可以得到準確的μ ext-T圖：

理想玻色子系統的μ-T圖（T_c是方程N=g(0)·2V?(v_Q√π)關於T的解）

雖說上圖與圖7-33幾乎完全一致，但是我們可以對其進行縮放，來查看 extstyle T<T_c 時化學勢 extstyle μ 的微小變化。儘管這個範圍內化學勢的變化微乎其微，它卻對這個系統中處在基態的原子數 extstyle N_0 有著決定性的影響：

完全範圍（0＜T＜T_c）的化學勢的變化圖像（和上圖一樣，點的坐標是(T_c,0)）

最後，我們如果想要預測基態粒子數N_0的話，我們需要將整個系統推向熱力學極限，也即N 與 V 同時趨於無窮但是二者的比值 mathcal{V} 保持恆定。

第一步，根據積分

N=frac{V}{v_Q}frac{2}{sqrtpi}int_{epsilon_0^prime}^{infty}frac{sqrt xmathrm{d} x}{e^{x-mu^prime}-1}， ag{76}

我們可以說

N_0=frac{V}{v_Q}frac{2}{sqrtpi}int_{epsilon_0^prime}^{Cepsilon_0^prime}frac{sqrt xmathrm{d} x}{e^{x-mu^prime}-1}； ag{77}

其中， C 是一個不大的常數；若考慮到第一激發態的能量在平移前是基態的3倍，我們可以令C=3（其實無論C取什麼值都不影響在熱力學極限下的結果）。

考慮到C是一個不大的常數，顯然在 T<T_c 時，有

egin{align} N_0&approxfrac{V}{v_Q}frac{2}{sqrtpi}int_{epsilon_0^prime}^{Cepsilon_0^prime}frac{sqrt xmathrm{d} x}{x-mu^prime} \&=frac{V}{v_Q}frac{4}{sqrtpi}left[sqrt{mu^prime} anh^{-1}{sqrt{frac{mu^prime}{epsilon_0^prime}}}-sqrt{mu^prime} anh^{-1}{sqrt{frac{mu^prime}{Cepsilon_0^prime}}}+left(sqrt C-1 ight)sqrt{epsilon_0^prime} ight] 。 ag{78} end{align}

又有（之前求出來的結果）

egin{align} N&=frac{V}{v_Q}frac{2}{sqrtpi}left[frac{sqrtpi}{2}zetaleft(frac{3}{2} ight)+2sqrt{mu^prime} anh^{-1}{sqrt{frac{mu^prime}{epsilon_0^prime}}}-2sqrt{epsilon_0^prime} ight] \&=frac{V}{v_Q}zetaleft(frac{3}{2} ight)+frac{V}{v_Q}frac{4}{sqrtpi}left[sqrt{mu^prime} anh^{-1}{sqrt{frac{mu^prime}{epsilon_0^prime}}}-sqrt{epsilon_0^prime} ight] 。 ag{79} end{align}

在上圖中，我們可以直觀地看出，在熱力學極限下，Tleq T_c時，

aleft(T ight)equivfrac{mu}{epsilon_0}uildrel{N,V ightarrowinfty}oversimeq mathrm{sign}{left(T_c-T ight)}； ag{80}

並且利用前文的「④零溫極限」在熱力學極限下的公式或者是直接利用玻色-愛因斯坦分布，要證明也很簡單。因此，在熱力學極限下， extstyle anh^{-1}{sqrt{frac{mu^prime}{epsilon_0^prime}}}= anh^{-1}{sqrt{frac{mu}{epsilon_0}}}= anh^{-1}{a} 具有奇點，不能簡單地替換 aleft(T ight) 為 mathrm{sign} {left(T_c-T ight)} 。但是， extstyle sqrt{mu^prime} anh^{-1}{sqrt{frac{mu^prime}{Cepsilon_0^prime}}}=sqrt{frac{aepsilon_0}{kT}} anh^{-1}{frac{a}{sqrt C}} 和 sqrt{epsilon_0^prime}=sqrt{{epsilon_0/kT}} 不具有奇點。所以，將等式(78)(79)兩邊同時除以 N 後，有

egin{cases} frac{N_0}{N}=frac{mathcal{V}}{v_Q}frac{4}{sqrtpi}left[sqrt{frac{aepsilon_0}{kT}} anh^{-1}{a}-sqrt{frac{aepsilon_0}{kT}} anh^{-1}{frac{a}{sqrt C}}+left(sqrt C-1 ight)sqrt{frac{epsilon_0}{kT}} ight] \ 1=frac{mathcal{V}}{v_Q}zetaleft(frac{3}{2} ight)+frac{V}{v_Q}frac{4}{sqrtpi}left[sqrt{frac{aepsilon_0}{kT}} anh^{-1}{a}-sqrt{frac{epsilon_0}{kT}} ight] end{cases} 。 ag{81}

化簡可得

1-frac{N_0}{N}=frac{mathcal{V}}{v_Q}zetaleft(frac{3}{2} ight)+frac{mathcal{V}}{v_Q}frac{4}{sqrtpi}left[sqrt{frac{aepsilon_0}{kT}} anh^{-1}{frac{a}{sqrt C}}-sqrt{frac{Cepsilon_0}{kT}} ight]。 ag{82}

該等式在熱力學極限下是（注意 extstyleepsilon_0=frac{3h^2}{8mL^2}=Thetaleft(V^{-{2/3}} ight) ）

egin{align} lim_{N,V ightarrowinfty}{left(1-frac{N_0}{N} ight)} &=frac{mathcal{V}}{v_Q}zetaleft(frac{3}{2} ight)+frac{mathcal{V}}{v_Q}frac{4}{sqrtpi}lim_{N,V ightarrowinfty}{left[sqrt{frac{aepsilon_0}{kT}} anh^{-1}{frac{a}{sqrt C}}-sqrt{frac{Cepsilon_0}{kT}} ight]} \&=frac{mathcal{V}}{v_Q}zetaleft(frac{3}{2} ight)+frac{mathcal{V}}{v_Q}frac{4}{sqrtpi}lim_{N,V ightarrowinfty}{left[sqrt{frac{epsilon_0}{kT}} anh^{-1}{frac{1}{sqrt C}}-sqrt{frac{Cepsilon_0}{kT}} ight]} \&=frac{mathcal{V}}{v_Q}zetaleft(frac{3}{2} ight) 。 ag{83} end{align}

我們又已經知道，在熱力學極限下，

zetaleft(frac{3}{2} ight)=frac{v_Qleft(T_c ight)N}{V}=frac{v_Qleft(T_c ight)}{mathcal{V}}， ag{84}

也就是說，

lim_{N,V ightarrowinfty}{left[1-frac{N_0left(T ight)}{N} ight]=frac{v_Qleft(T_c ight)}{v_Qleft(T ight)}}Rightarrowfrac{N_0}{N}=1-left(frac{T}{T_c} ight)^{3/2}，在T<T_c時。 ag{85}

不出所料，這個結果與將基態粒子數 N_0 分離出去的方法（也即7.6節的敘述）所得到的結果是一致的。

總結

現在，我們已經基本清楚了這個理想玻色氣體的玻色-愛因斯坦凝聚的過程的大部分細節；不過若你不只學過數學分析/高等數學的話，可能會覺得利用留數定理等方法更加簡便，但是，為了讓盡量多的人能夠看懂，我們盡量避免去利用超出數學分析/高等數學內容的數學知識——你可以看到，我們從頭到尾應用的大部分是泰勒-麥克勞林級數以及特殊函數的無窮級數。

物有本末，事有終始[6]，就讓我們總結一下在這篇文章中所做的工作吧：

  • 首先從巨勢的定義 Phi_mathrm{G}equiv U-TS-mu N 出發，推導出該理想玻色氣體系統（一個巨正則系綜）的巨勢關於溫度的全導數
  • left(frac{partialPhi_mathrm{G}}{partial T} ight)_{V,mu}=-S=-kleft(ln{mathcal{Z}}+frac{U-mu N}{kT} ight)。
  • (7.122)的解析形式 {Nv_Q}/{V}={mathrm{Li}}_{3/2}left(e^{mu/kT} ight) 在假設「 mu>0 時 {mathrm{Li}}_{3/2}left(e^{mu/kT} ight) 仍舊有定義」下，有 e^{mu/kT} 是 sqrt{1-x} 的同階無窮小。將這個無窮小代回巨勢關於溫度的導數，發現該導數在 mu=0 所對應的溫度T_c左右連續，但是三階導數不連續了——也即玻色-愛因斯坦凝聚是一個三階相變過程。
  • 由於上面的推導過程中，不是同時應用的熱力學極限（ N,V ightarrowinfty 而 {V/N}=mathcal{V} 保持恆定），難免會有不嚴謹的地方——例如無法利用玻色-愛因斯坦分布預測基態粒子數 N_0 。為此，我們將(7.122)的積分下限改為 epsilon_0 ，用近似方法推導出了相對誤差在 epsilon_0/kT 量級的解析解： N=frac{V}{v_Q}frac{2}{sqrtpi}gleft({mu/kT} ight)equivfrac{V}{v_Q}frac{2}{sqrtpi}gleft(mu^prime ight) gleft(mu^prime ight)= egin{cases} frac{sqrtpi}{2}{mathrm{Li}}_{3/2}left(e^{mu^prime} ight)+2sqrt{mu^prime} anh^{-1}{sqrt{frac{epsilon_0^prime}{mu^prime}}}-2sqrt{epsilon_0^prime} ,&mu^prime<0 \ frac{sqrtpi}{2}zetaleft(frac{3}{2} ight)+2sqrt{mu^prime} anh^{-1}{sqrt{frac{mu^prime}{epsilon_0^prime}}}-2sqrt{epsilon_0^prime} ,&0lemu^prime<epsilon_0^prime end{cases}
  • 進一步驗證了這個分段函數確實具有內部光滑性、連接點連續性以及嚴格單調性。最後數值解出了 mu 關於溫度的變化曲線。
  • 最後將這個方程推向熱力學極限，正確地得出了與將基態粒子數N_0分離出去的方法（也即7.6節的敘述）同樣的結果。

最後，希望我們的文章起到了拋磚引玉的作用，讓大家能夠「知所先後，則近道矣」[6] 。

最後補充如何直接計算系統的熵

吉布斯熵公式（Gibbs entropy formular）[7]描述了當某一系統並非所有的微觀態都等概率時該系統的熵；當所有微觀態概率相同時，它就化簡為公式(2.45)：

S=-ksum_{所有的態s}{p_sln p_s}xrightarrow{p_sequiv1/Omega}S=-kOmegafrac1Omegaln{frac1Omega}=klnOmega， ag{0-1}

（其中 p_s 是系統處於系統微觀態 s 的概率）可以幫助我們進一步地計算該玻色子系統的熵，不過，我們先要利用假設——粒子間無相互作用——對其進行化簡。

利用任一微觀態的概率——公式(7.6)——可得

egin{align} S&=-ksum_{所有的態s}{p_sln p_s} \&=-kfrac1{mathcal Z} sum_s{left{e^{-(E_s-mu N_s)/kT}left[-lnmathcal Z -(E_s-mu N_s)/kT ight] ight}} \&=frac k{mathcal Z}sum_s{e^{-(E_s-mu N_s)/kT}lnmathcal Z} +frac k{mathcal Z}sum_s{left[e^{-(E_s-mu N_s)/kT}(E_s-mu N_s)/kT ight]} \&=kleft(lnmathcal Z+frac{ar E-muar N}{kT} ight) 。 ag{0-2} end{align}

其中， ar{E} 、 ar{N} 為系統的平均能量和平均粒子數（權重為微觀態概率，即吉布斯因子除以巨配分函數）。注意到在該玻色子系統中，粒子數已經被確定為 N 、系統平衡時能量為 U ，故 ar{E}=U,ar{N}=N ，即腳註[3]。

[1]：可參照習題5.23。

[2]：不加任何標註的廣延量都是熱力學平均值，如U、N。

[3]：這個關係其實也告訴我們， extstyle S=kleft(lnmathcal Z+frac{U-mu N}{kT} ight) ；這個方程同樣可以從後文講的吉布斯熵公式（Gibbs entropy formular）推導出來。

[4]：由集合U的元素u和集合V的元素v組成的有序對(u,v)所構成的集合稱為U和V的直積集合。

[5]：Donnelly, R. J., & Barenghi, C. F. (1998). The observed properties of liquid helium at the saturated vapor pressure. Journal of physical and chemical reference data, 27(6), 1217-1274.

[6]：《禮記·大學》第一段。

[7]：可以參照習題6.43。

Content Created: 2019年2月10日

Last updated：2019年3月6日

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