感覺無論是彈吉他還是拉大中小提琴的同學，都已經對泛音怎麼彈怎麼拉熟到不行，但是被當問到一些具體問題的時候，還是會不那麼清楚: 比如泛音和實音有什麼具體區別；為什麼只有特定的幾個地方能出泛音；為什麼有的地方泛音和實音音高一樣，有的地方卻不一樣；為什麼按在幾個不同的地方能出現同樣的泛音；五度四度三度泛音拉出來的實際音高是什麼......寫這篇文章就是要從原理上好好解釋一下泛音。

1. 泛音的原理以及和實音的區別

首先，拉空弦的時候，弦是這樣震動的：

所謂實音，就是拉琴的人把手指按在指版上。這其實就是通過縮短弦的長度，從而提高弦振動頻率。弦越短，音越高（左側琴頭，右側琴碼）：

（注意這種情況下靠近琴頭的那一側弦是不震動的，因為弓子只能拉到靠近琴碼的那一側）

而泛音則是用手指輕輕的碰觸弦上的某個點，不按死在指板上，使得手指兩側的弦都能夠震動：

於是這也就是為什麼，實音哪兒都能按出來（你能把弦縮短到任意長度）：

而泛音只能有特定的地點——想拉出泛音，必須把手指輕輕放在能把弦平分成整數份的點上，弦才能兩邊都震動起來：

比如上圖的二分點和兩個三分點。

如果不在整數平分點上，是沒辦法震起來的：

數學好的人可能會說，無論什麼位置，只要把份兒分的足夠小，就都能用整數份來表示：

這個，儘管理論上是這樣沒錯，但是實際上，拿小提琴為例，當震動的波長短到弦長度的六份之一，七分之一時，音高就已經快到了這根弦音域的極限了（之後我會仔細講弦長度和音高的關係），八分之一幾乎就聽不見了，出來的聲音質量就更沒法保證了。

2. 自然泛音列

所謂自然泛音列，就是空弦音以及在二分點，三分點，四分點...所產生的泛音按照順序排排坐（音高以大提琴C弦為例）：

3. 音程和弦長的關係

我們先離開泛音，說一說實音。

古人們很早就發現，當按照特定的比例縮短弦的時候（放在小提琴上就是在指板上找特定的點按下去，弦自然就縮短了），所產生的新音和空弦產生的音程總是一樣的。比如說在二分之一的點按下去聽起來是總是一個音程，在三分之一的點按下去聽起來總是另一個音程。這個音程也不會因為空弦的音高改變。

於是他們就開始用弦的長度來定義音程。定義當弦長為二分之一時，產生的新音和空弦之間的音程為純八度。或者換句話說，張力一樣的兩根弦，當一根弦長度是另一根弦的一半時，短的弦產生的音比長弦高一個純八度:

定義當弦長比例為三比二時，產生的音程是純五度:

四比三時則是純四度：

五比四為大三，六比五為小三:

值得注意的是，音程中我們習慣於加法，而弦長由於是比例變化，與之相對應的則是乘法，舉個例子：純五度加純四度等於純八度，這件事情如果從弦長來看則是，純五度要把弦縮短到三分之二，再加上純四度就要把弦在這個基礎上再縮短到四分之三，也就是(2/3)*(3/4)=(1/2)，二分之一正是想要提高八度所需要的弦長。

4. 幾個觀察

a. 泛音列的波長也是符合上面的規律的，比如第一個泛音比空弦高一個八度，波長則是二分之一。之前實音我們一直說的是弦長，其實正是因為實音的波長就是他的弦長。

b. 拉琴的人不會考慮，弦的四分之一，三分之一，他們只會考慮音程。然而如果仔細觀察他們的手指在弦上的位置，就會發現，其實他們在不知不覺中就已經找到了所在把位到琴碼這一段弦的四分點（純四度），五分點（大三度）等等。

c. 這也就是為什麼，同樣的音程，把位越高，手指間的距離就要越短。（圖為低把位和高把位所構造的純四度對比。同樣是要用一四指去構造一段弦的四分之一來把這段弦縮短到四分之三）

5. 空弦泛音的指法

我們現在回來說說，到底在空弦上那些泛音的二分點三分點四分點對應的是譜子上哪些音。

首先看泛音列的頭兩個音（以小提琴g弦為例。為了讓譜子能是正向的，我們必須想像一個頭衝下的小提琴）：

不難理解。我們提到過弦長的二分之一所對應的音程就是八度。所以把手輕輕放在比空弦高八度的音上（方塊符頭代表手要輕觸的地方），便是空弦的二分點。這個點上無論是泛音和實音都是同樣的音高（上面的黑色符頭代表實際聽起來的音高）

接下來是泛音列的第三第四個音：

首先，靠近琴頭的三分點A不難找：我們已經知道把空弦縮短三分之一（弦長變成原來的三分之二）後所產生的音高高出空弦純五度，所以我們只要把手放在高出空弦純五度那個音上，這便是這個弦的第一個三分點。

那麼第二個三分點B呢，從圖上可以看出，B恰恰在第AC這段弦的二分之一的位置。我們又知道，二分之一所對應的的音程是純八度，於是不難算出，第二個三分點就在比第一個三分點高八度的那個音的位置上。

看第四個泛音，用同樣的道理也可以算出，靠近琴頭四分點A在純四度的地方，第二個四分點B在AD這段弦三分之二的位置，也就是比A高出純五度的位置上，第三個四分點C則處於BD的二分之一位置，也就在比B高八度的位置。

和第三個泛音唯一不同之處在於，由於四不是質數，所以第二個四分點B恰恰處在二分點上。單獨在這裡輕觸的話，弦沒有理由把自己震出四個小波，拉出來的自然也就是第二個泛音。也就是說有效的四分泛音點只有A和C。

第五第六個泛音：

同樣的道理，就不重複了。五是質數，所以四個泛音點皆有效。而六則能同時被二和三整除，導致中間三個分別是二分三分點的位置無效，只剩下兩個有效泛音點

第七第八個泛音由於波長太短，極其不穩定，這裡也就不討論了。

觀察力敏銳的同學會發現，弦上整分點排列從譜面上看起來好像是一個倒立著泛音列（八度永遠在最上，然後五度，然後四度...）有興趣的同學可以嘗試解釋一下這是為啥，我就不說了。

除此之外我們會發現，最靠近琴碼的泛音點出來的音高一定是和在這個點按下去的實音一樣的，其他點則必然音高不同。因為只有在那個點上，實音的弦長被縮短到和泛音波長一樣長：

最後用一張圖總結一下以上說的所有泛音（左側琴頭，右側琴碼。上面一行為指法，下面一行為實際音高。不同顏色代表不同整數平分點——深藍二，黃三，淺藍四，紅五，棕六）：

6. 人工泛音

之前講的泛音都是在空弦上用一根手指輕觸就可以得到的。然而拉琴的人不止有一根手指（不然能拉琴也是奇蹟）。所謂人工泛音就是用一根手指按出一個實音，然後在用另一根手指去輕觸第一根手指到琴碼這一段弦的整數平分點。

之前在4b那裡說過，學弦樂的人用構造純音程的時候其實在自動在用手指尋找整分點。也就是說當他們用第二根手指去構造 ：

a. 純四度時，找到的就是這段弦四分點，所產生的音高比這個實音高出兩個純八度。（人工泛音高出實音的音程永遠是和相對應的自然泛音高出空弦的音程一樣的。比如這裡四分點所對應的就是第四個泛音，高出空弦兩個八度）。

（人工泛音的記譜法：下面的符頭是實音，方塊是泛音手指輕觸的位置，上面的小符頭是聽起來的實際音高）

b. 純五度時，找到的是三分點，音高高出實音純八度加純五度。一般來說，弦分段越少，出來的泛音越清晰。所以五度泛音就會比四度泛音聽起來更有輪廓感。缺點在於，兩指之間距離比較大。小提琴低把位需要伸張四指才能做到，弦越長的樂器在低把位越困難。

c. 大三度時，找到的是五分點，高出兩個八度加一個大三度。由於把弦五段分後音質聽起來已經不那麼清晰，所以採用這個泛音一般是為了特殊的音效或者指法。

d 純八度時，找到的是二分點，高出一個純八度。這個泛音只有在很高的把位，也就是弦長已經很短了的情況下才可能做到。小提琴上低把位一四指夠純五度已經幾乎是極限了。另外我們知道二分點上的泛音總是和實音音高是一樣的，所以實際上拉八度泛音也只能做出音色上的區別，並不能有不同的音高。

一切關於泛音的事情就說完了。拉琴彈吉他的同學可以去玩兒一玩兒。

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這裡是用來過濾非超級Nerd的分割線

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7. 簡短的提一下平均律

既然上面花了很長篇幅講弦長和音程的關係，不如來利用一下。

所謂平均律就是說，十二個一模一樣的半音加起來恰好是一個八度。那我們能否算出，要把音高降低一個半音，弦長要變成原來的多少倍呢？

我們說過，音程的加法對應的是弦長比例的乘法。

已知降低一個八度，弦長變成原來的兩倍。

設降低半音的弦長倍數為x，降低十二個半音後弦長變成原來的兩倍，也就是說x乘以自己十二遍，正好是二

x=二的十二次方根。

這貨是個無理數，而純五純四所對應的的比例可都是分數。

這也就是就是為啥如果小提琴的每個五度都特別純的話，它的空弦和鋼琴一起聽就會彆扭。

關於調律問題，以後有機會再展開講。


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