alpha .General Proposition:

1.0.

Sup F ， R_h ，

If forall p(x)，q(x)in F[x]，s.t.p(x) imes q(x)=0 ，

Then p(x)=0 vee q(x)=0，

F[x]=R_e

Demonstration：

1.1.

If Isubset F(x) ， m(x)in I ， cof[m(x),1]=1 ，

deg[m(x)]=min{degF[x]}

Then card[m(x)]=1.

1.2.

Sup n(x)in I ， cof[n(x),1]=1 ，

deg[n(x)]=deg[m(x)]

Then exists b(x)=m(x)-n(x)in I .

If b(x) imes c^{-1}_{deg{b(x)}}=b_1(x)，cof[n(x),1]=1，b_1(x)in I

Due to deg b_1(x)=deg b(x)<deg m(x)

Then b_1(x)=0，b(x)=0，m(x)=n(x)

m(x) 生成 I.

1.3. <m(x)>subset I

Due to Isubset R ， m(x)in I

Then <m(x)>subset I

1.4. Isubset<m(x)>

If p(x)in I，

Then p(x)/m(x)，s.t. p(x)=q(x)m(x)+r(x)，

r(x)=0 vee 0leq deg{r(x)}<deg{m(x)}，

Due to Isubset R ， m(x)in I，

Thenr(x)=p(x)-q(x)m(x)in I，

If r(x) imes c^{-1}_{deg{r(X)}}=r_1(x)，r_1(x)in I，

Then 0leq deg r_1(x)=deg r(x)<deg m(x)，

Due to deg[m(x)]=min deg F[x]，

Then r_1(x)=0，r(x)=0，p(x)=q(x) imes m(x)in<m(x)>,

Isubset<m(x)>

To sum up，

I=<m(x)>

2.0.

If p_1,p_2,,,p_nin F[x] ，

Then <P>=<gcd{p_1,p_2,,,p_n}>

Demonstration：

2.1.

Sup I=<P>

Due to 1.

exists m(x)subset I，cof[m(x),1]=1，

deg[m(x)]=min degF[x]， card m(x)=1，

s.t.I=<m(x)>，

Due to p_i(x)in<m(x)>，

Then exists a_i(x)in F[x]，i=1,,,n.

s.t.p_i(x)=a_i(x) imes m_i(x)，i=1,,,n. ，

m(x)|p_i(x)，i=1,,,n.

2.2.

If q(x)|p_i(x)，i=1,,,n.

Then p_i(x)in <q(x)>，i=1,,,n.

Due to <P>

Then <m(x)>=<P>subset <q(x)>，

m(x)in<q(x)>，q(x)|m(x)，

m(x)=gcd{p_1(x),,,p_n(x)}.

3.0.

if R_p， then forall rin R_p，r is irreducibleLeftrightarrow r is primary.

Demonstration：

3.1.if R_i， then rin R_i，r is irreducibleLeftarrow r is primary.

Sup p=ab，

If p is primary，

Then p|ab，p|avee p|b，

If p|a，

Then a=xp，p=ab=xpb，

Due to R_psubset R_i，p is eliminated，

Then 1=xb，b is reversible，p is irreducible

3.2.if R_i，then rin R_i，r is irreducibleRightarrow r is primary.

If rin R，r is irreducible，

Then <r><br /> e R，<br /> eg exists ，s.t.<r>??R ，極大理想

If exists ，s.t.<r>subset subset R，

Then forall xin R，r=xa，

Due to r is irreducible.

Then xvee a is reversible，

If a is reversible，

Due to

Then =R，

If x is reversible，

Due to

Then =<xa>=<r>，

因為構成一對矛盾，

所以 <r> 是極大理想。

3.3.If r is irreducible，r|ab， 要證 r|avee r|b，r is primary

Due to

Then abin<r>

Known <r> 是極大理想，要證 ain <r>vee bin<r> .

If a otin <r>，

Due to <r> 是極大理想

Then =R，

因為 =R，

所以 exists x,yin R，s.t.1=xa+yr.

If s.t.b imes 1=b imes(xa+yr).

Due to r|ab，s.t.r|xab

r|yrb，r|b，bin<r>

Similarly，

If b otin <r>，

Then ain<r>， r is primary.

4.

If R_p，

Then forall {}，exists min Z，s.t.==,,,.

5.

If R_p，

u is unitary，

p_1,p_2,,,p_n are primary，

Then forall rin R,r e 0，s.t.r=up_1p_2...p_n

2>除了排列次序 vee 可逆元u外，素元分解方式是唯一的。

eta .Special Proposition

0.

F[x] 是單變數多項式域， F 是域

1.

deg{p(x)} 是單變數多項式 p(x) 的最高階數degree，

2.

gcd{p_1,p_2,,,p_n} 是集合元素 {p_1,p_2,,,p_n} 的最大公因子，

3.

If 理想序列 I_1,I_2,,,I_n，forall I_isubset R，exists I_iin I_{i+1}

Then {I_i} 是環R的一個理想升鏈(Ascending Chain of Ideals)，

4.

forall r,sin R，exists xin R，s.t.s=x imes r ，r|s對r是可除的(divisible)，if

forall r,sin R，exists xin R，s.t.s=x imes r ，r|s對r是可除的(properly divisible)，if

forall a,bin R，exists muin R，s.t.a=mu imes b ，a,b是相伴的(associated)，if

exists uin R，exists muin R，s.t.1= u imes mu，mu 是可逆的(unitary,unit)，if

r e0，r=a imes bRightarrow a 是可逆的 veeb 是可逆的 veer 是不可逆的，if

r 是不可約的/不可因的/不可還原的(irreducible)，if

r e 0，r|(a imes b)Rightarrow r|avee r|bvee r是不可逆的，if

r 是素的(primary,prime)，if

5.

<s>subset <r> ， r 對 s 是可除的(divisible)，if and only if

<s>subset<r> ， r 對 s 是可真除的(properly divisible)，if and only if

<s>=<r> ， r,s 是相伴的，if and only if

muin R，<mu>=R ， mu 是可逆的，if and only if

6.

理想升鏈

If exists (I_1,I_2,,,I_n)，forall I_isubset R，I_isubset I_{i+1}，i=1,2,...,

Then {I_i} is ascending chain of ideals.


推薦閱讀：
查看原文 >>
相关文章