大家好，我是韋心(????)?」

下一次放假貌似要到清明節了。。。。。。又差不多是一個月看不到知乎，評論一樣的會在假期時間處理。

今天我們來聊聊洛必達法則，之前看到很多人在問：「分離參數之後遇到frac{0}{0}型能不能不用洛必達法則處理，有沒有其他方法？」在此奉上一個我半年前的小發現，之前想寫篇小論文來著，迫於時間問題以及我的表述不能十分嚴謹，於是放棄了這個打算，不過這個發現倒是十分有用，線下我教會了7~8名同學，反映的效果不錯，在此分享給大家。

如有錯誤指出，歡迎各位在評論區指出或私信給我，有一些數學上面的問題也可以加我的群進行討論，最後，你們的贊是我更新的最大動力?(^?^*)~

1 引言

中學階段的學習中，在導數部分的學習，縱觀近幾年各省份的高考與模考題，有一類題型尤其令人注目，那便是已知值域求參數範圍題型。目前在課內外比較受歡迎的一種解法便是分離參數法，把參數單獨分離到不等式的一側，對另一側的多項式直接構造函數求極值，若極值在端點處取得，則引入洛必達法則對其求極限。那麼，對於一般的高中生能不能有一種既簡單又不需要太大高度的方法，巧妙的解決這一類題呢？下面通過一道例題來探求這類題型的相關規律：

例1：（2017 全國二卷 理）設函數 f(x)=(1-x^{2})e^{x}

（Ⅰ）討論函數 f(x) 的單調性；

（Ⅱ）當 xgeq 0 時， f(x)leq ax+1 ，求實數 a 的取值範圍.

解：(Ⅰ）：f(x) 的定義域為 R ,

f』(x)=(-x^{2}-2x+1)e^{x} ，令 f』(x)=0 ，解得： x=-1pmsqrt{2} .

故：f(x)在 left( -infty,-1-sqrt{2} ight)，left( -1+sqrt{2},+infty ight) 單調遞減，

f(x)在 left( -1-sqrt{2},-1+sqrt{2} ight) 單調遞增.

(Ⅱ):未分離參數時，當 x=0 ，有 1leq1 ，原不等式成立。

分離參數，有： ageqfrac{(1-x^{2})e^{x}-1}{x} .

注意到右側函數在 x=0 處為 「frac{0}{0}」 型的不定式，下面應用洛必達法則：

ageq lim_{x ightarrow 0^{+}}{frac{(1-x^{2})e^{x}-1}{x}}=lim_{x ightarrow 0^{+}}{frac{(-x^{2}-2x+1)e^{x}}{1}}=1

故: ainleft[ 1,infty ight) .

關於洛必達法則，如有不懂的同學先科普一下：

至於去心領域，我也截一張圖說明：

下面給出一種我之後想到的「簡易方法」：

由於f(x)leq ax+1在 xgeq 0 時恆成立，

當 x=0 時，左右兩邊都等於 1 ，此時不等式成立。

因此當 xgeq0 ,在 x=0 的右鄰域左邊函數的增長率應該小於或等於右邊函數的增長率： [f(x)]leq(ax+1) ,即： f(x)leq a .從而 ageq(-x^{2}-2x+1)e^{x} .

構造 g(x)=(-x^{2}-2x+1)e^{x} , g(x)=(-x^{2}-4x-1)e^{x} .

當 x>0 時， g(x)=(-x^{2}-4x-1)e^{x}<0 ，

故 ageq g(0)=1>g(x),xin[0,+infty) ,

故 ain[1,+infty) .

2 進一步討論

在這裡沒有洛必達法則的出現，只是略微應用了一點點鄰域的思想，但是如果平時向高中生解釋這一點的話，不提起鄰域這個詞，人家也能聽懂，因而這完全可視為一個高中知識範圍內的好方法。

下面我們對該方法的原理進行進一步的討論：

其實上面我省略了一部分應該分類討論的步驟，在 x=0 的右鄰域，我們一定可以推導出 f(x)leq a ，從而有解集 ain[1,+infty) ，但在 xin[0,+infty) 之後大部分範圍我們是不能確定這個式子的，因而我們要對它進行分類討論:

1. 在 [0,+infty) 上，一直有 f(x)leq a ，即此時解集為 ain[1,+infty) ；

2. 在 [0,+infty) 上， exists區間Din[0,+infty), 有 xin D 使得 f(x)geq a ，

不過我們仍然要清楚小前提是必然有 f(x)leq a ，這是由當 xgeq 0 時， f(x)leq ax+1 的大前提推導出來的。

故f(x)geq a的解集 A 必定是f(x)leq a的解集 [1,+infty) 的子集，

又因為此時f(x)geq a的解集 A應該取 A 與[1,+infty)的交集。

故最後綜合 1.與2. ，應取 A 與[1,+infty)的並集，即：當 xgeq 0 時，解f(x)leq a得ain[1,+infty).

由此，我們還可以推廣出一個結論：

對於函數 f(x) 和 g(x) 在區間 [a,b] 上（其實只要區間有一個端點可取到就行，在此取閉區間是為了一次性說明），若有 f(x)geq g(x) ，且 f(a)=g(a) ，則有 f(x)geq g(x) ;

若有 f(x)geq g(x) ，且 f(b)=g(b) ，則有 f(x)leq g(x) 。

3 一個實例的分析

下面附上我們學校上個學期期末高三理數的一道壓軸大題：

例2：（婁底市2018年下學期高三教學質量檢測試卷）已知函數 f(x)=frac{x}{ax+1}+frac{1}{e^{x}}+frac{1}{b} （ e 為自然對數的底數， a，b 為實數）.

(Ⅰ）若函數 f(x) 在點 P(1,f(1)) 處的切線方程為 (e-1)x-ey-e+2=0 ,求實數a，b 的值；

(Ⅱ）若 b=-1 ，當 xgeq 0 時， f(x)geq 0 .求實數 a 的取值範圍.

解：(Ⅰ） f(1)=frac{1}{a+1}+frac{1}{e}+frac{1}{b} , f(x)=frac{1}{left( ax+1 ight)^{2}}-frac{1}{e^{x}} , f(1)=frac{1}{left( a+1 ight)^{2}}-frac{1}{e} .

y-f(1)=f(x)(x-1)Rightarrow left[ frac{e}{left( a+1 ight)^{2}}-1 ight](x-1)+left( frac{e}{left( a+1 ight)}+1+be ight)-ey=0 解得 a=0 或 a=2 ， b=-1 .

(Ⅱ）法一（洛必達法則）：當 xgeq 0 時， f(x)=frac{x}{ax+1}+frac{1}{e^{x}}-1geq 0 .

當 x=0 時，左右兩邊都等於 0 ，此時不等式成立。

因此當 x>0 , frac{x}{ax+1}geq1-frac{1}{e^{x}}Rightarrow ax+1leqfrac{xe^{x}}{e^{x}-1} .

分離參數，得： aleqfrac{xe^{x}-e^{x}+1}{xleft( e^{x}-1 ight)}=frac{e^{x}left( x-1 ight)+1}{xleft( e^{x}-1 ight)} ，

注意到右側函數在 x=0 處為 「frac{0}{0}」 型的不定式，下面應用洛必達法則：

aleqfrac{e^{x}left( x-1 ight)+1}{xleft( e^{x}-1 ight)}=frac{xe^{x}}{e^{x}left( x+1 ight)-1}=frac{e^{x}left( x+1 ight)}{e^{x}left( x+2 ight)}=frac{1}{2} .

法二（鄰域思想）：當 xgeq 0 時， f(x)=frac{x}{ax+1}+frac{1}{e^{x}}-1geq 0Rightarrow frac{x}{ax+1}geq1-frac{1}{e^{x}} ，

當 x=0 時，左右兩邊都等於 0 ，此時不等式成立。

因此當 xgeq0 ， (frac{x}{ax+1})geq(1-frac{1}{e^{x}})Rightarrowfrac{1}{(ax+1)^{2}}geqfrac{1}{e^{x}}Rightarrow e^{frac{x}{2}}geq ax+1

當 x=1 時，左右兩邊都等於 0 ，此時不等式成立。

因此當 xgeq0 ， (e^{frac{x}{2}})geq (ax+1)Rightarrow aleq(frac{e^{frac{x}{2}}}{2})_{min}=frac{e^{frac{0}{2}}}{2}=frac{1}{2}

由於上面法一、法二給出的都是 a 的上界，下面給出a的下界：

由於 frac{x}{ax+1}geq1-frac{1}{e^{x}}geq0Rightarrow ax+1>0Rightarrow a>-frac{1}{x}.

因為 lim_{x ightarrow +infty}{-frac{1}{x}}=0 ,故 ageq0 .

綜上所述， ain[0,frac{1}{2}] .

我們可以注意到上面法一使用了洛必達法則兩次，法二一樣的對鄰域思想也用了兩次，；且使用洛必達法則時求的是當 x ightarrow0 的極限，鄰域思想也是在 x=0 的鄰域內討論。由此我們不由得可以發現它們具有相關聯的地方。

這裡繼續用（2017 全國二卷 理）那題為例來說明：

在完全分離參數前， 有當 xgeq0，axgeq(1-x^{2})e^{x}-1 .

我們知道在完全分離參數之後，「frac{0}{0}」 型的極限是在當 x=0 時取得；同樣，這裡的取等條件也是 x=0 .

洛必達法則對除式的分子分母分別求導，鄰域思想對左側右側函數分別求導，依據求導的基本法則，參數（常數） a 可以提出來。

還有就是參數 a 後面的函數的正負，無論是在完全分離參數後使用洛必達法則，還是在未完全分參運用鄰域思想，它對不等號的方向都有著直接的影響。

因此，由上述，我們可以知道，鄰域思想是洛必達法則「frac{0}{0}」 型未定式極限的一個特殊情形。希望大家能夠認識到這一點。只不過鄰域思想提供了一個更容易被人接受的「增長率」作為切入口，更容易被理解以及實際的解題書寫運用。

4 關於洛必達法則的使用

不管是在線上還是線下，發現好多高中生都喜歡問，高考能不能用洛必達法則，會扣分嗎？

在此我想說：用不用是你的事，用的有沒有技巧性更是另一回事（如果大家能學會我的鄰域思想，我覺得是可以完全取代高中範圍對洛必達法則的需求的），至於扣分的問題，一旦你吧那幾個字寫出來，我想是個老師看到都會扣分的，下面給出一種簡易的證明方法（以上面百度的為例）：

lim_{x ightarrow a}{frac{f(x)}{g(x)}}=frac{lim_{x ightarrow a}{f(x)}}{lim_{x ightarrow a}{g(x)}}=frac{lim_{x ightarrow a}{f(x)}-f(a)}{lim_{x ightarrow a}{g(x)}-g(a)}=frac{lim_{x ightarrow a}{frac{f(x)-f(a)}{x-a}}}{lim_{x ightarrow a}{frac{g(x)-g(a)}{x-a}}}=lim_{x ightarrow a}{frac{f(x)}{g(x)}}

這裡只是應用了導數的定義，沒超綱。

還有，一些同學在使用洛必達法則的時候不太會注意使用的前提以及失效的條件，在此也提一下（這裡應用 @醬紫君 的一個優質回答）：

作者：醬紫君

洛必達法則失效的情況有哪些？?

www.zhihu.com圖標

LHospital 何時失效並不是個有意義的問題...

廢話,一個定理怎麼可能會有錯的時候,除非適用條件不滿足亂套定理...初中生高中生不懂亂用還可以原諒...都大學生了別和中學生一般見識...=============================================原理上洛必達法則適用的情況必定能用泰勒秒殺,用幾次洛必達就用幾階泰勒滅之...放心好了,運算量不會上天的,對一個複雜的複合函數求導絕對比連續展開兩次泰勒運算量大...泰勒法不像洛必達用前還要判定,煩得要死...跳過思考就是暴力干,適合我這種肝大無腦的玩家...1.壓根不是未定型...洛必達法:

你若作死,便是晴天...這死法,我無話可說,不對,無可奉告...

----------------------------------------------------------2.求導後的極限不存在

分子分母同時求導以後應該是雙份的快樂啊,為什麼會這樣呢.....

[egin{aligned} L &= mathop {lim }limits_{x o infty } frac{{x + cos x}}{x}\ &= mathop {lim }limits_{x o infty } 1 + frac{{cos x}}{x}{ ext{(cos有界)}}\ &= 1\ end{aligned}]人被殺...就會死...式子求導就狗帶...秀了恩愛分得快...----------------------------------------------------------3.詐屍型

所謂的陷阱題,其實錯誤和上面一樣的,不過比較隱蔽,因為剛開始明明是未定型,但是求導一次後就不是了,大多數碰得到的都是這種.

泰勒展法:[egin{aligned} L &= mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{{e^x} - cos x}}{{{x^2}}}\ T_3 &= mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{left( {1 + x + frac{{{x^2}}}{2} + Oleft( {{x^3}} ight)} ight) - left( {1 - frac{{{x^2}}}{2} + Oleft( {{x^3}} ight)} ight)}}{{{x^2}}}\ &= mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{x + {x^2} + Oleft( {{x^3}} ight)}}{{{x^2}}}\ &= mathop {lim }limits_{x o 0} frac{1}{x} + 1 + Oleft( {{x^1}} ight)\ &= infty\ end{aligned}]無腦過...詐屍?屍體燒了怎麼輸...----------------------------------------------------------4.循環型[egin{aligned} L &= mathop {lim }limits_{x o infty } frac{x}{{sqrt {{x^2} + 1} }}\ &= mathop {lim }limits_{x o infty } frac{{x^prime }}{{(sqrt {{x^2} + 1} )^prime }}\ &= mathop {lim }limits_{x o infty } frac{{(sqrt {{x^2} + 1} )^prime }}{{x^prime }}\ &= mathop {lim }limits_{x o infty } frac{x}{{sqrt {{x^2} + 1} }}\ &= { ext{毅種循環...}}\ end{aligned}]泰勒法[egin{aligned} L &= mathop {lim }limits_{x o infty } frac{x}{{sqrt {{x^2} + 1} }}\ &= mathop {lim }limits_{x o infty } frac{x}{{x + frac{1}{{2x}} + Oleft( {frac{1}{{{x^3}}}} ight)}}\ &= mathop {lim }limits_{x o infty } frac{{{x^2}}}{{{x^2} + frac{1}{2} + Oleft( {frac{1}{{{x^2}}}} ight)}}\ &= 1\ end{aligned}]我是函數式玩家...循環什麼的...不存在的......注意[sqrt {{x^2} + 1} sim 1 + frac{{{x^2}}}{2} + Oleft( {{x^3}} ight)] 的收斂域...無窮遠處展開式是 [sqrt {{x^2} + 1} sim x + frac{1}{{2x}} + Oleft( {frac{1}{{{x^3}}}} ight)] 才對...呃啊....記憶量好像變成了雙倍啊.....----------------------------------------------------------5.吸收型[egin{aligned} L &= mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{exp ( - 1/{x^2})}}{{{x^2}}}\ &= 2mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{exp ( - 1/{x^2})}}{{{x^5}}}\ &= 4mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{exp ( - 1/{x^2})}}{{{x^8}}}\ &= ext{狗die}\ end{aligned}]攻擊反而給怪加血...我已經沒有什麼話可說的了...[egin{aligned} L &= mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{exp ( - 1/{x^2})}}{{{x^2}}}\ &= mathop {lim }limits_{x o infty } {x^2}{e^{ - {x^2}}} = 0\ T_2 &= mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{1 - frac{1}{x} + Oleft( {frac{1}{{{x^2}}}} ight)}}{{{x^2}}} = 0\ end{aligned}]泰勒也不好用,0點處本身無法展開,除非強行在無窮遠處展開...搞事情這是,取個倒數多簡單的事...----------------------------------------------------------6.極端複雜型[L = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{7{x^3} + 6{e^{ - {x^2}}}sin x - 6x}}{{3ln frac{{1 + x}}{{1 - x}} - 6x - 2{x^3}}}]傻子都看得出來出題人在湊階,就是為了坑洛必達...事實上這道題要用6次洛必達...如果你沒背等價無窮小的話...泰勒總歸背過吧...怎麼著也比6次求導運算量小...----------------------------------------------------------7.變限積分

樓上又說變限積分不能用泰勒...開玩笑...

習題留作證明,不是,證明留作習題

所以有種強行的做法:[egin{aligned} L &= mathop {lim }limits_{x o infty } frac{1}{x}int_0^x {left| {sin t} ight|{ ext{d}}t} \ {T_2} &= mathop {lim }limits_{x o infty } frac{1}{x}left( {2left[ {frac{x}{pi }} ight] - 1 - cos Oleft( {{x^2}} ight)} ight)\ &= mathop {lim }limits_{x o infty } frac{1}{x}left[ {frac{{2x}}{pi }} ight] - Oleft( {frac{1}{{{x^2}}}} ight)\ &= frac{2}{pi }\ end{aligned}]這個比較蛋疼...展開後還有取整函數(來自周期性)...反正不是正常大學生該會的方法了...還是用幾何法比較靠譜...----------------------------------------------------------8.抽象函數暫時找不到例子,洛必達無能為力,但是泰勒法還是能過,直接設ax+bx^2+cO(x^3)然後湊個數,相當於高中的特殊值法...===========================================100金幣能買到的神技....怎麼看都是給五級新手玩家用的...打打村口的史萊姆還可以...到外面面對各種Boss根本打不出傷害...Update1:我只是說可以用泰勒...沒說只能用泰勒...畢竟泰勒還是記憶量很大的...關鍵是我想找到一個萬能方法解決所有初等的極限,不過這個想法破產了...我碰到了幾個反例...級數型...天生無法多項式展開...這是 Stolz 可以彌補一下...無法展開的,收斂域夠不著的...[L = mathop {lim }limits_{x o infty } frac{1}{x}log ({a^x} + {b^x}) = log max (a,b)] ...0點能展開但是0點收斂域不能到達無窮遠處,然後無窮遠處本身又無法展開...這個用一次洛必達後反而能做....

5 總結

本文通過對洛必達法則「frac{0}{0}」 型未定式極限進行討論，從而總結出使用鄰域思想巧妙解出該類參數範圍的討論題，在此還得重新說一下鄰域思想的一個小優勢：

如（婁底市2018年下學期高三教學質量檢測試卷）那題，使用洛必達法則需要對參數 a 完全分離參數，用鄰域思想可「半分參」，因而可以規避一些因而處理分離參數導致的計算錯誤。


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