台湾 || 语言: 大陆简体港澳繁體台灣正體

fft海面模拟（三）

雪花台湾 2019-06-10 15:04

接上一篇：杨超：fft海面模拟（二）

00:15

00:13

本篇说如何用IFFT计算海面IDFT模型。

将海面IDFT模型

$h(vec{x},t)=sum_{vec{k}} ilde{h}(vec{k},t)e^{ivec k cdot vec x}$

写成标量形式：

$h(x,z,t)=sum_{m=-frac{N}{2}}^{frac{N}{2}-1}sum_{n=-frac{N}{2}}^{frac{N}{2}-1} ilde{h}(k_x,k_z,t)e^{i(k_xx+k_zz)}$

接下来将 kx和kz展开，因为：

$k_x=frac{2 pi n}{L}, nin{{-frac{N}{2},-frac{N}{2}+1,...,frac{N}{2}-1}}$

$k_z=frac{2 pi m}{L}, min{{-frac{N}{2},-frac{N}{2}+1,...,frac{N}{2}-1}}$

故：

$h(x,z,t)=sum_{m=-frac{N}{2}}^{frac{N}{2}-1}sum_{n=-frac{N}{2}}^{frac{N}{2}-1} ilde{h}(frac{2 pi n}{L},frac{2pi m}{L},t)e^{i(frac{2pi n}{L}x+frac{2 pi m}{L}z)}$

为使下标从0开始，令m=m+N/2，n=n+N/2，则。得：

$h(x,z,t)=sum_{m=0}^{N-1}sum_{n=0}^{N-1} ilde{h}(frac{2 pi (n-frac{N}{2})}{L},frac{2pi (m-frac{N}{2})}{L},t)e^{i(frac{2pi (n-frac{N}{2})}{L}x+frac{2 pi (m-frac{N}{2})}{L}z)}$

令 $ilde{h}(n,m,t)= ilde{h}(frac{2 pi (n-frac{N}{2})}{L},frac{2pi (m-frac{N}{2})}{L},t)$ ，并将 $e^{ifrac{2pi(m-frac{N}{2})z}{L}}$ 由内层求和号中提出，得：

$h(x,z,t)=sum_{m=0}^{N-1}e^{ifrac{2pi(m-frac{N}{2})z}{L}}sum_{n=0}^{N-1} ilde{h}(n,m,t)e^{ifrac{2 pi(n-frac{N}{2})x}{L}}$

上式可拆成：

$h(x,z,t)=sum_{m=0}^{N-1}h(x,m,t)e^{ifrac{2pi(m-frac{N}{2})z}{L}}$

$ilde h(x,m,t)=sum_{n=0}^{N-1} ilde{h}(n,m,t)e^{ifrac{2 pi(n-frac{N}{2})x}{L}}$

由于L长度可随意选取，为向IDFT形式靠拢，取L=N，得：

$h(x,z,t)=(-1)^zsum_{m=0}^{N-1} ilde h(x,m,t)e^{ifrac{2pi mz}{N}}$ ...(a)

$ilde h(x,m,t)=(-1)^xsum_{n=0}^{N-1} ilde{h}(n,m,t)e^{ifrac{2 pi nx}{N}}$ ...(b)

接下来把x和z展开。因为：

$x=frac{uL}{N}，u in{{-frac{N}{2},-frac{N}{2}+1,...,frac{N}{2}-1}}$

$z=frac{vL}{N}，v in{{-frac{N}{2},-frac{N}{2}+1,...,frac{N}{2}-1}}$

又因为L=N，且为使下标变为从零开始，令u=u+N/2，v=v+N/2，得：

$x=u-frac{N}{2}，u in{{0,1,...,N-1}}$

$z=v-frac{N}{2}，v in{{0,1,...,N-1}}$

代入(a)、(b)得：

$h(u-frac{N}{2},v-frac{N}{2},t)=(-1)^{v-frac{N}{2}}sum_{m=0}^{N-1} ilde h(u-frac{N}{2},m,t)e^{ifrac{2pi mv}{N}}(-1)^{m}$ ...(c)

$ilde h(u-frac{N}{2},m,t)=(-1)^{u-frac{N}{2}}sum_{n=0}^{N-1} ilde{h}(n,m,t)e^{ifrac{2 pi nu}{N}}(-1)^{n}$ ...(d)

令：

$A(u,v,t)=h(u-frac{N}{2},v-frac{N}{2},t)/(-1)^{v-frac{N}{2}}$

$B(u,m,t)= ilde h(u-frac{N}{2},m,t)(-1)^{m}$

$C(u,m,t)= ilde{h}(u-frac{N}{2},m,t)/(-1)^{u-frac{N}{2}}$

$D(n,m,t)= ilde{h}(n,m,t)(-1)^{n}$

则(c)、(d)变为：

$A(u,v,t)=sum_{m=0}^{N-1}B(u,m,t)e^{ifrac{2pi mv}{N}}$ ...(1)

$C(u,m,t)=sum_{n=0}^{N-1}D(n,m,t)e^{ifrac{2 pi nu}{N}}$ ...(2)

至此，已化成非归一化的IDFT形式，可以套用IFFT了！

总结起来海面IFFT计算流程如下：

1，根据菲利普频谱公式得到各 $ilde{h}(k_x,k_z,t)$ 。（参见：杨超：fft海面模拟(一)）。

2，根据 $ilde{h}(n,m,t)= ilde{h}(k_x,k_z,t)$ 得到各。

3，根据 $D(n,m,t)= ilde{h}(n,m,t)(-1)^{n}$ 得到各。(符号校正1)。

4，根据（2）式计算行IFFT，得到各。

5，根据 $B(u,m,t)=C(u,m,t)(-1)^{m+u-frac{N}{2}}$ 得到各。(符号校正2)。

6，根据（1）式计算列IFFT，得到各。

7，根据 $h(x,z,t)=A(u,v,t)(-1)^{v-frac{N}{2}}$ 得到各。(符号校正3)。

8，结束。

可见，计算量主要集中在1，4，6步，其余步骤均为简单转换。

以N=4为例：

假设1，2，3步已执行完，而后便是核心的计算行、列IFFT步骤（4~6步），图示如下：

相关文章