前言

雖然本文的出現在系列文章中顯得比較突兀，但內容卻是介紹後面文章內容時所必需的.

本文主要介紹一下幾方面：

  1. 對於光的能量的描述，在不同的場合需要不同的計量方式，但根本上就分為兩套體系，其一是從物理學的角度，將光視為電磁輻射，基於輻射的觀點進行計量；其二就是從人類主觀觀察這一角度進行計量.二者形式上是相同的，但考慮到人眼對不同的波長敏感程度不同，因此二者的計量結果是有區別的.本節主要介紹這兩套計量量和計量單位以及二者的聯繫.
  2. 然後結合具體的現象，討論光在傳播過程中這些量的變化，例如點光源照射一個面、面光源照射一個面等情況.
  3. 接著就對光學系統的情況進行闡述，主要討論照度的變化，即物面上的照度經過光學系統到了像面上，發生怎樣的變化，這還要分為軸上點和軸外點來討論.
  4. 最後介紹光學材料，確切地說是透射光學材料，主要介紹光學材料的評價指標.

1. 輻射量與光學量

輻射量和光學量是兩類描述光強弱的系列物理量，其中輻射量本是用來描述電磁輻射強弱的，對於可見光波段(大約是 3.8 imes10^{-7}mleqslantlambdaleqslant7.6 imes 10^{-7}m )當然也適用.而光學量則是專用來描述可見光對視覺刺激強弱的.下面分別介紹這些.

1.1 輻射量

  • 輻射能

電磁輻射也是能量傳播的一種形式，通過這種形式發射、傳輸或接收的能量統稱輻射能，用 Q_e 表示，單位是焦耳(J).

  • 輻射能通量

輻射能通量簡稱輻通量，是指單位時間內發射、傳輸或接收的能量，用 Phi_e 表示，即 Phi_e=frac{dQ_e}{dt} ，單位是瓦特(W).

  • 輻射出射度、輻射照度

輻射出射度簡稱輻出度，是指輻射源單位面積內發出的輻通量，用 M_e 表示，即 M_e=frac{dPhi_e}{dA} ，單位是瓦特每平方米(W/m^2).

另一方面，對於接收也有輻射照度，簡稱輻照度，是指受照面單位面積內接收的輻通量，用 E_e 表示，即 E_e=frac{dPhi_e}{dA} ，單位自然也是W/m^2.

  • 輻射強度

輻射強度簡稱輻強度，是指點輻射源在發出輻射時，在某方向上元立體角內發出的輻通量，用 I_e 表示，即 I_e=frac{dPhi_e}{dOmega} ，單位是瓦特每球面度(W/sr).

  • 輻射亮度

輻射亮度簡稱輻亮度，是指在某方向上，輻射源單位面積內在某方向上的元立體角所發出的輻通量，用 L_e 表示，即 L_e=frac{d^2Phi_e}{cos heta dA dOmega}=frac{dI_e}{dA cos heta}. 單位是瓦特每球面度平方米(W/(sr cdot m^2)).

其中 heta 是指所考察方向與元單位立體角所指方向的夾角.

1.2 光學量

  • 光通量

是指可見光對人眼視覺的刺激程度，用 Phi_v 表示，單位是流明(lm).

  • 光出射度、光照度

是指光源單位面積發出的光通量，用 M_v 表示，即 M_v=frac{dPhi_v}{dA} ，單位是流明平方米( lm/m^2 ).

另一方面，對於接收也有光照度，即單位受照面積所接收的光通量，用 E_v 表示，即 E_v=frac{dPhi_v}{dA} ，單位是勒克斯( lx )（其實也是 lm/m^2 ）.

  • 發光強度

它是指點光源發光時，在某方向上元立體角發出的光通量，用 I_v 表示，即 I_v=frac{dPhi_v}{dOmega} ，單位是坎德拉( cd )（其實也是 lm/sr ）.

它是光學基本量，是國際單位制(SI)中七個基本量之一.在1979年10月的第十六屆國際計量大會上，對發光強度的單位坎德拉做了明確規定：給定一個頻率為 540.0154 imes 10^{12}Hz 的單色輻射源，與一個方向，且該輻射源在該方向上的輻射強度為 frac{1}{683}W/sr ，則此光源在該方向上的發光強度為 1cd .

  • 光亮度

是指某方向上，光源單位面積內在某方向上的元立體角所發出的光通量，用 L_v 表示，即 L_v=frac{d^2Phi_v}{cos heta dA dOmega}=frac{I_v}{cos heta dA} ，單位是尼特( nit )（其實也是坎德拉每平方米 cd/m^2 ）.

1.3 二者關係

兩種量綱體系之所以不同，問題就出在人眼對不同波長的光有不同的靈敏度.實驗表明，對於相同輻通量而波長不同的可見光人別作用於人眼，人眼所感受的明亮程度有所不同.為了建立二者之間的聯繫，要探究光譜光效率函數.（人眼對不同波長光所響應的靈敏度是波長的函數）

首先應該注意的是，實驗表明，觀察場明暗不同時，光譜光效率函數也不同.國際照明委員會(CIE)通過多次實驗得到了兩種光譜光效率函數，即明視覺光譜光效率函數 V(lambda) 和暗視覺光譜光效率函數 V』(lambda) .函數圖像如下圖所示（圖像已做歸一化處理）.

圖1

V(lambda) 和 V(lambda) 趨勢相同，但峯值所對應的波長不同，明視覺的 V(lambda) 的峯值在 lambda=5.55 imes10^{-7}m 處，而暗視覺的 V(lambda) 的峯值在 lambda=5.07 imes10^{-7}m 處.

  • 明視覺

在明視覺條件下， Phi_v 和 Phi_e 的關係是 dPhi_v(lambda)=K_mV(lambda)Phi_e(lambda)dlambda.

其中 K_m=683lm/W ，是明視覺條件下 V(lambda)=1 的絕對光譜效率值.（這是去歸一化的操作）

那麼對於整個可見光範圍內有 Phi_v=int_{380}^{780}K_mV(lambda)Phi_e(lambda)dlambda .

  • 暗視覺

在暗視覺條件下， Phi_v 和 Phi_e 的關係是 dPhi_v(lambda)=K_m』V』(lambda)Phi_e(lambda)dlambda.

其中 K_m=1755lm/W ，是暗視覺條件下 V』(lambda)=1 的絕對光譜效率值.

那麼對於整個可見光範圍內有 Phi_v=int_{380}^{780}K_m』V』(lambda)Phi_e(lambda)dlambda .

2.光傳播過程中光學量的變化

後文中所用的量綱體系都是光學量而不用輻射量，故不寫出下標.

  • 點光源在某表面的照度

考慮一點光源 S ，其發光強度為 I ，距離光源 r 處有一個元面積 dA 的平面，其法線與 vec r 成 heta 角，如下圖所示.

圖2

根據定義，該面上的光照度為 E=frac{dPhi}{dA}.

另一方面，對於光源的發光強度又有 I=frac{dPhi}{dOmega}.

由幾何關係可以知道 dOmega=frac{cos heta dA}{r^2} ，那麼上式可以改寫成 dPhi=frac{Icos heta dA}{r^2}.

綜上該面上的照度為 color{red}{E=frac{Icos heta}{r^2}}.

  • 面光源在某表面的照度

考慮一個光源的元發光面積為 dA_s ，亮度為 L ，其法向量為 vec n_1 ，與之距離為 r 處有一個受照面，元面積為 dA ，法向量為 vec n_2. 其中 vec n_1 與矢徑 vec r 的夾角為 heta_1 ， vec n_2 與矢徑 vec r 的夾角為 heta_2. 如下圖所示.

圖3

則受照面的光照度為 E=frac{dPhi}{dA}=frac{L dA_s cos heta_1cos heta_2}{r^2}.

  • 管內的亮度傳遞

考慮一個光管，兩端截面面積很小，分別為 dA_1,dA_2 ，則稱它為元光管.

和剛才所說的兩個面的情況類似，只是這裡將兩面之間封閉起來，如下圖虛線所示，這種封閉使光在其中傳輸的時候光能沒有損失.圖中的 domega_1,domega_2 分別指第二個面對第一個面中心的張角和第一個面對第二個面中心的張角.

圖4

光在第一個面上的光通量為 dPhi_1=L_1 cos i_1 dA_1 domega_1=L_1 cos i_1 dA_1frac{dA_2 cos i_2}{r^2}.

光在第二個面上的光通量為 dPhi_2=L_2 cos i_2 dA_2 domega_2=L_2 cos i_2 dA_2frac{dA_1 cos i_1}{r^2}.

由於不發生光能損失，因此 dPhi_1=dPhi_2 ，進而 L_1=L_2. 這說明光在元光管內傳播，任意截面上光通量不變，光亮度也不變.

  • 折反射後的亮度

如下圖所示，符號和以往一樣，這裡不詳細解釋：

dS 以及這一系列的符號代表入射光的量；

dS』 以及這一系列的符號代表折射光的量； dS』』 以及這一系列的符號代表反射光的量.

圖5

顯然有 egin{cases}dPhi=Lcos i dS_0 domega\[2ex] dPhi』=L』cos i』 dS_0 domega』\[2ex] dPhi』』=L』』cos i』』 dS_0 domega』』end{cases}

且 dPhi=dPhi』+dPhi』』 （不考慮吸收和散射）

根據反射定律和折射定律可以得到 egin{cases}domega=domega』』\[2ex]n』^2cos i』 domega』=n^2cos i domegaend{cases}

綜上 frac{dPhi』』}{dPhi}=frac{L』』}{L} ，實際上這就是反射比 ho .還有 dPhi』=(1- ho)dPhi.

最後可以得到 L』=(1- ho)Lfrac{n』^2}{n^2}.

特別地，當 ho=0 時，即忽略界面反射損失的情況下 frac{L』}{n』^2}=frac{L}{n^2} 這說明，光束經過理想折射後，光亮度 L 雖產生變化，但 frac{L}{n^2} 是不變的.

  • 餘弦輻射體

對於一個發光表面，若其發光強度在空間中的分佈可以用 I_ heta=I_Ncos heta 來表示，就稱它為餘弦輻射體.如下圖所示.

圖6

根據光亮度的定義，其光亮度可表示為 L_ heta=frac{I_ heta}{dAcos heta}=frac{I_N}{dA}. 這顯然是常數.說明餘弦輻射體在各方向的光亮度相同.一般的漫反射表面都具有近似於餘弦輻射的特性.

餘弦輻射體對孔徑角為 U 的立體角範圍內發出的光通量利用球面坐標系計算為 Phi=L dAint_{phi=0}^{phi=2pi}int_{ heta=0}^{ heta=U}sin hetacos heta d heta dvarphi=pi L dAsin^2U.

特別地，對於全部空間，即 U=frac{pi}{2} 時， Phi=pi L dA .這時光出射度 M=pi L.

3. 成像系統像面上的照度

3.1 軸上點

對於成像光學系統而言，假設其物像方孔徑角分別為 U 和 U』 ，成像物體為餘弦輻射體，那麼有 Phi=pi L dAsin^2U ，而像面上則是 Phi』=pi L』 dA』sin^2U』 .

若整個光學系統的透射比為 au ，則有 Phi』= auPhi.

對於軸上像點而言，其光照度 E』=frac{Phi』}{dA』}= aupi Lfrac{dA}{dA』}sin^2U. 注意到 frac{dA}{dA』}=frac{1}{eta^2} ，因此 E』=frac{ aupi Lsin^2U}{eta^2}.

在後面的像差理論將會看到，若小視場大孔徑的系統成完善像，則應滿足正弦條件 eta=frac{nsin U}{n』sin U』} ，則綜上得到 E』=frac{n』^2}{n^2} aupi Lsin^2U』 .

  • 這說明軸上點的照度與孔徑角正弦的平方成正比，和垂軸放大率的平方成反比.

3.2 軸外點

軸外點的情況如下圖所示，軸外點的主光線與光軸夾角為 omega ，這就是軸外點的像方視場角，由此可見， U_m』<U』 ，這說明在物面亮度均勻的情況下，軸外像點的照度一定比軸上點低.

圖7

和軸上點類似，軸外點的照度為 E_M』=frac{n』^2}{n^2} aupisin^2U_m』 .

特別地，當 U_M』 較小時，有 sin U_M』approx an U_M』=frac{frac{D』cosomega』}{2}}{frac{l_0』}{cosomega』}}=sin U』cos^2omega』 .

其中 D』 為出瞳直徑， l_0』 為像面到出瞳的距離.

將它代入前式得到 E_M』=frac{n』^2}{n^2} aupi Lsin^2U』cos^4omega』.

  • 這說明軸外像點的光照度隨視場角 omega』 的增大而降低.

3.3 光學系統中的光能損失

這裡主要考慮發生折反射時的損失和介質吸收造成的損失.

在前面光的電磁理論部分已經提到過，反射比 ho=left(frac{n』-n}{n』+n} ight)^2 ，這說明兩介質折射率相差越大，反射比越大.

以冕牌玻璃（ ho_1approx0.04 ）和火石玻璃（ ho_2approx0.05 ）為例，若有 N_1 個空氣-冕牌玻璃界面， N_2 個空氣-火石玻璃界面，則 Phi』=0.96^{N_1}0.95^{N_2}Phi .顯然，當光學元件數目較多時，折射面的光能損失是不容忽視的.

上面討論的折射面只恨 ho e0 ，而對於接下來要說的反射面，則是隻恨 ho e1 .對於反射面，則有 Phi_1= hoPhi_0 ，其中 Phi_0 是指入射光通量， Phi_1 是指反射光通量.

對於鍍銀的反射面， hoapprox0.95 ；鍍鋁則有 hoapprox0.85 ；而對於拋光良好的稜鏡全反射面，則有 hoapprox1.

最後說介質吸收造成的損失.

設介質的透明係數為 P ，厚度為 l ，則有 Phi=Phi_0P^l .其中 Phi_0 是指入射該介質前的光通量， Phi 是指經介質吸收後剩餘的光通量.

顯然，對於多元件系統， Phi=Phi_0P_1^{Sigma d_1}P_2^{Sigma d_2}cdots

4. 透射光學材料

透射材料主要分為光學玻璃、光學晶體、光學塑料三大類.對其光學特性的分析主要從它們的折射率以及對各色光的透射率角度入手.

  • 光學玻璃最為常用，一般能透過波長為 0.35mu msim2.5mu m 的各色光，在此之外的波段將會被強烈吸收.光學晶體的透射波段範圍一般更寬.
  • 光學塑料的優點在於價格便宜、密度小、易於模壓成型、不易破碎，但其熱膨脹係數和折射率溫度係數比光學玻璃大得多，容易收溫度影響而性質不穩定.

實際上，同一種介質對於不同波長的光，其折射率也是不同的，對於目視光學儀器，最重要的是看它的D光( lambda=589.3nm )或d光( lambda=587.6nm )、F光( lambda=486.1nm )、C光( lambda=656.3nm )的折射率.這是因為在可見光波段，F光和C光大概在人眼靈敏廣譜區的兩端，而D光和d光位於中間.

具體的考察參數有以下幾種：

  1. 平均折射率 n_D （D光折射率）；
  2. 平均色散 dn=n_F-n_C （F光和C光折射率之差）；
  3. 阿貝常數 u_D=frac{n_D-1}{n_F-n_C} ；
  4. 部分色散 n_{lambda_1}-n_{lambda_2} （任意一對譜線的折射率之差）；
  5. 相對色散 frac{n_{lambda_1}-n_{lambda_2}}{n_F-n_C} （部分色散與平均色散之比）.
  • 阿貝常數越大則色散越低，反之色散越高.關於阿貝常數，在後面介紹像差理時論會用到.

根據光學玻璃的折射率或阿貝常數的不同，通常將其分為兩大類，冕牌玻璃和火石玻璃.

  • 冕牌玻璃用K表示，它具有低折射率和低色散（阿貝常數較大）的特點，例如K9玻璃，折射率約為1.5163，阿貝數為64.06.
  • 火石玻璃用F表示，它具有高折射率和高色散（阿貝常數較小）的特點.

5. 附錄

光學中，常用太陽光譜中的夫琅禾費譜線作為特徵單色譜線來表徵介質的折射率，主要信息如下.

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