【指點江山】2019丘賽幾何&拓撲團體試題部分解答

1.證明或否定： $Tmathbb{S}^2$ 微分

同胚於 $mathbb{S}^2 imesmathbb{R}^2$ .

由龐加萊對偶定理我們有作為 -模， $H^{ast }_c (xi )congmathbb{Z}oplusmathbb{Z}$ ，其中兩個群分別位於第二維和第四維。設 $au_{mathbb{S}^2 }$ 是 $mathbb{S}^2$ 嵌入中的基本同調類，則其在兩個向量叢中的相交數分別為和，因此兩個空間不同胚。

2.解決Russel Crowe在2011年的電影「美麗心靈」中給學生出的以下問題：設 $V={F:mathbb{R}^3setminus X omathbb{R} : abla imes F=0}, W={F= abla g}$ ,計算。首先對為一般的閉集給出一個一般結果，再將問題具體到：（a） (b) (c)

翻譯一下結果就會發現這是在問 $mathbb{R}^3setminus X$ 的一維上同調群的維數。根據二元組 $(mathbb{R}^3 ,mathbb{R}^3setminus X)$ 我們可以得到 $H^1 (mathbb{R}^3setminus X;mathbb{R} )cong H_1 (mathbb{R}^3setminus X;mathbb{R} )^{dual}oplus H_0 (mathbb{R}^3setminus X;mathbb{R} )cong H_2 (mathbb{R}^3 ,mathbb{R}^3setminus X;mathbb{R} )^{dual}oplusastcong H_2 (X;mathbb{R} )^{dual}oplusast$ ，剩下的結果都是顯然的。同時我們也可以從直觀上看到後面的三個例子都符合我們的一般性結果。

3.設 $mathbb{T}^2$ 是帶有標準定向的2-環面， $F:mathbb{T}^2 omathbb{T}^2$ 是一個沒有不動點的對合（），求證在 $H^1 (mathbb{T}^2 )$ 上的誘導映射是恆等映射。

應用Lefchetz不動點公式和Poincare對偶定理的直接計算，沒什麼多說的。

4.令是酉矩陣的乘法群，是正交矩陣的乘法群，令是相對應的特殊酉群和特殊正交群。這四個群都是實李群。

(a)計算和的維數；

(b)當時，計算和的基本群.

第一問直接看李代數即可。第二問，對，我們有纖維從 $SU(n-1) o SU(n) omathbb{S}^{2n-1}$ ，從而根據同倫群長正合列我們知道因為 $SU(2)congmathbb{S}^3$ 。對我們有纖維叢 $O(n-1) o O(n) omathbb{S}^{n-1}$ ，從而有，而 $O(2)congmathbb{S}^1coprodmathbb{S}^1$ ，因此 $pi_1 (O(2))congmathbb{Z}$ ，而直接從纖維叢序列上面看可以知道 $pi_1 (O(3))congmathbb{Z}_2$ .