首先,本文章對提高卷積題目的計算速度沒有任何幫助。只是想通過這篇文章解開很多同學心中的疑惑:卷積到底應該怎樣理解?
計劃分為兩個部分:
- 矢量的卷積
- 函數的卷積
我個人去理解很多數學概念都是通過它們的名稱,因為在絕大多數情況下,名稱本身是非常具有代表性的,其描述的往往是一個事物最本質的特徵,首先要讀懂一件事物的名稱才能更好的理解它。比如這裡要講的卷積。
談談我個人對卷積的理解:卷積,顧名思義分為一個動作,名曰「卷」,一個結果,名曰「積」。卷是個再通俗不過的動詞,而積表示的就是乘法的結果,所以卷積想要表達的意思就是將乘積捲起來。問題是怎麼卷?我相信這是很多同學疑惑的地方,下面我們就從矢量的卷積開始講起,讓各位同學體會一下這個卷的過程。
- 矢量的卷積
在開始講矢量的卷積之前,必須先要介紹一個與矢量的卷積密切相關的概念:矢量的張量積。
矢量的張量積在張量分析中又叫做並矢。千萬不要被這個張量積名字嚇到了,因為它畢竟還有另一個名字並矢。並矢並矢,顧名思義就是將幾個矢量並排寫。而且,並矢的定義式也十分簡單,比如兩個三維矢量 的並矢為:
需要注意的是,矢量 之間沒有任何符號!!!
上例中因為只有兩個矢量並在一起所以叫做二階並矢(本文章就以二階並矢為例介紹矢量的卷積)。顯然,並矢的結果是一個矩陣(但並矢一般不會是方陣,後面會舉例),這個矩陣中的元素是將是矢量中的所有項兩兩組合(相乘),再按照矩陣中的下標規定寫在相應位置就可以了。