Budeanu功率理論

1927年，羅馬西亞電氣工程師Budeanu 第一次意識到非正弦系統的視在功率存在兩個以上的分量，並可通過三維圖顯示出來。他在著作《Reactive and Fictive Powers》(無功功率與虛功率)中解釋了他的理論，科學家將其稱為：Budeanu理論。

上圖中，電壓為非正弦，負載為純電阻，故電流也為非正弦量，利用傅里葉分解理論，電壓和電流可分解為：

電壓： u=sum_{h=1}^{ u}sqrt{2}V_{h}sin(omega t+ heta_{h})

電流： i=sum_{h=1}^{ u}sqrt{2}I_{h}sin(omega t+ heta_{h})

諧波電流有效值的平方可以分解為兩個正交項：

I_{h}^{2}=(I_{h}cos heta_{h})^2+(I_{h}sin heta_{h})^2

其中 heta_{h} 為諧波電壓相量 extbf{V}_{h} 與諧波電流相量 extbf{I}_{h} 之間的夾角。也就是將諧波電流分解為：與電壓同相的電流 I_{h}cos heta_{h} 和 與電壓正交的電流 I_{h}sin heta_{h} 。

在下列推導過程中，需要用到拉格朗日恆等式：

sum_{h=1}^{ u}A_{h}^{2}sum_{h=1}^{ u}B_{h}^{2}= (sum_{h=1}^{ u}A_{h}B_{h})^{2}+sum_{m=1}^{ u-1}sum_{n=m+1}^{ u}(A_{m}B_{n}-A_{n}B_{m})^{2}

這樣視在功率平方表達式為：

egin{equation} egin{split} S^{2}&=V^{2}I^{2}=sum_{h=1}^{ u}V_{h}^{2}sum_{h=1}^{ u}I_{h}^{2}\ &=sum_{h=1}^{ u}V_{h}^{2}sum_{h=1}^{ u}[(I_{h}cos heta_{h})^2+(I_{h}sin heta_{h})^2]\ &=sum_{h=1}^{ u}V_{h}^{2}sum_{h=1}^{ u}(I_{h}cos heta_{h})^2+sum_{h=1}^{ u}V_{h}^{2}sum_{h=1}^{ u}(I_{h}sin heta_{h})^2\ &=(sum_{h=1}^{ u}V_{h}I_{h}cos heta_{h})^{2}+(sum_{h=1}^{ u}V_{h}I_{h}sin heta_{h})^{2}+ sum_{m=1}^{ u-1}sum_{n=m+1}^{ u}(V_{m}I_{n}cos heta_{n}-V_{n}I_{m}cos heta_{m})^{2}+ sum_{m=1}^{ u-1}sum_{n=m+1}^{ u}(V_{m}I_{n}sin heta_{n}-V_{n}I_{m}sin heta_{m})^{2}\ &=(sum_{h=1}^{ u}V_{h}I_{h}cos heta_{h})^{2}+(sum_{h=1}^{ u}V_{h}I_{h}sin heta_{h})^{2}+ sum_{m=1}^{ u-1}sum_{n=m+1}^{ u}[(V_{m}I_{n})^2+(V_{n}I_{m})^2-2V_{m}V_{n}I_{m}I_{n}cos( heta_{m}- heta_{n})] end{split} end{equation}

這樣視在功率被分解為三項，如下圖所示：

第一項為總有功功率： P=sum_{h=1}^{ u}V_{h}I_{h}cos heta_{h}

第二項為總無功功率： Q_{B}=sum_{h=1}^{ u}V_{h}I_{h}sin heta_{h}

第三項為畸變功率： D_{B}=sqrt{sum_{m=1}^{ u-1}sum_{n=m+1}^{ u}[(V_{m}I_{n})^2+(V_{n}I_{m})^2-2V_{m}V_{n}I_{m}I_{n}cos( heta_{m}- heta_{n})]}

到目前為止，Budeanu理論已經有80多年。它最重大意義在於：首次認識到非有功功率與無功功率的區別。即視在功率應分解為有功功率與非有功功率，而不是有功功率與無功功率。

然而該理論並不是完善的理論，也受到了科學家的質疑。

對Budeanu理論的質疑

上圖為W.Lyon 用以證明Budeanu功率理論中畸變功率的致命缺陷。

非正弦電壓： u=sin(omega t)+sin(3omega t) pu

基頻下阻抗值： R_{a}+jX_{a}=1+j pu，R_{b}+jX_{b}=1-j pu

Budeanu功率理論下，功率量的計算公式如下：

總有功功率： P=sum_{h=1}^{ u}V_{h}I_{h}cos heta_{h}

總無功功率： Q_{B}=sum_{h=1}^{ u}V_{h}I_{h}sin heta_{h}

畸變功率： D_{B}=sqrt{sum_{m=1}^{ u-1}sum_{n=m+1}^{ u}[(V_{m}I_{n})^2+(V_{n}I_{m})^2-2V_{m}V_{n}I_{m}I_{n}cos( heta_{m}- heta_{n})]}

支路電流：

egin{equation} egin{split} i_{a}&=frac{sinomega t}{1+j}+frac{sin3omega t}{1+3j}\ &=frac{sqrt{2}}{2}sin(omega t-frac{pi}{4})+frac{1}{sqrt{10}}sin(3omega t- heta_{3}) end{split} end{equation}

egin{equation} egin{split} i_{b}&=frac{sinomega t}{1-j}+frac{sin3omega t}{1-3j}\ &=frac{sqrt{2}}{2}sin(omega t+frac{pi}{4})+frac{1}{sqrt{10}}sin(3omega t+ heta_{3}) end{split} end{equation}

依據圖theta 3 可知， cos heta_{3}=frac{1}{sqrt{10}},sin heta_{3}=frac{3}{sqrt{10}}

  • 註：此例的計算不對。本例計算3次頻率的阻抗存在錯誤，請忽略這個例子。以後有時間再修改

由此支路a上功率分量：

P_{a}=1*frac{sqrt{2}}{2}*cos(-frac{pi}{4})+1*frac{1}{sqrt{10}}*cos(- heta_{3})=0.5+0.1=0.6 pu

Q_{a}=1*frac{sqrt{2}}{2}*sin(-frac{pi}{4})+1*frac{1}{sqrt{10}}*sin(- heta_{3})=-0.5-0.3=-0.8 pu

egin{equation} egin{split} D_{a}&=sqrt{(V_{1}I_{3})^{2}+(V_{3}I_{1})^{2}-2V_{1}V_{3}I_{1}I_{3}cos(frac{pi}{4}- heta_{3})}\ &=sqrt{(1*frac{1}{sqrt{10}})^2+(1*frac{sqrt{2}}{2})^2-2*1*1*frac{sqrt{2}}{2}*frac{1}{sqrt{10}} cos(frac{pi}{4}- heta_{3})}\ &=sqrt{0.2}pu end{split} end{equation}

其中， cos(frac{pi}{4}- heta_{3})=cos(frac{pi}{4})cos( heta_{3})+sin(frac{pi}{4})sin( heta_{3})=frac{sqrt{5}}{2}

同理，支路b上功率分量為：

P_{b}=1*frac{sqrt{2}}{2}*cos(frac{pi}{4})+1*frac{1}{sqrt{10}}*cos( heta_{3})=0.5+0.1=0.6 pu

Q_{b}=1*frac{sqrt{2}}{2}*sin(frac{pi}{4})+1*frac{1}{sqrt{10}}*sin( heta_{3})=0.5+0.3=0.8 pu

egin{equation} egin{split} D_{a}&=sqrt{(V_{1}I_{3})^{2}+(V_{3}I_{1})^{2}-2V_{1}V_{3}I_{1}I_{3}cos(frac{pi}{4}- heta_{3})}\ &=sqrt{(1*frac{1}{sqrt{10}})^2+(1*frac{sqrt{2}}{2})^2-2*1*1*frac{sqrt{2}}{2}*frac{1}{sqrt{10}} cos(-frac{pi}{4}-(- heta_{3}))}\ &=sqrt{0.2}pu end{split} end{equation}

顯然原電路等效與電源與一個純電阻相連接，無功功率為0。所計算出的 Q_{a}+Q_{b} 也確實為0。但是兩並聯支路的畸變功率之和為 2sqrt{2} ，該值不為0。可電路中並沒有使波形畸變的元件，因此Budeanu定義的畸變功率並不能解釋實際電路中的功率現象。

L.S.Czarnecki給出了另一個例子說明Budeanu的理論不具備與非正弦電路中功率現象相關的屬性。

非正弦電壓為： u=sqrt{2}[sin(omega t)+sin(3omega t)]pu

基頻下負載阻抗: Z_{1}=1+j0.5-j1.5=1-j quad pu

三次諧波下阻抗: Z_{3}=1+j0.5*3-j1.5/3=1+jquad pu

因此電流為： i=[sin(omega t+frac{pi}{4})+sin(3omega t-frac{pi}{4})]pu

由此計算：

視在功率: S=sqrt{V^{2}I^{2}}=sqrt{sum_{h=1}^{ u}(V_{h})^2*sum_{h=1}^{ u}(I_{h})^2}=sqrt{(1+1)*(1/2+1/2)}=sqrt{2}pu

有功功率：P=1*1/sqrt{2}*cos(-frac{pi}{4})+1*1/sqrt{2}*cos(frac{pi}{4})=1pu

無功功率： Q_{B}=1*1/sqrt{2}*sin(-frac{pi}{4})+1*1/sqrt{2}*sin(frac{pi}{4})=0pu

畸變功率： D_{B}=sqrt{S^{2}-P^{2}-Q_{B}^{2}}=1pu

Czarnecki認為無功功率 Q_{B}=0 的結果沒有意義，這是人為的，且與坡印亭矢量的事實相抵觸。

個人認為這與無功功率的定義有關係。實際的無功功率並不是一個定值，而是以Q為振幅變化的函數。

一般我們認為的無功功率Q 其實是瞬時無功功率的振幅。所以如果 Q_{B} 代表的是幅值，顯然是錯誤的。但我想，Budeanu的 Q_{B} 應該是一個周期內無功功率的均值所以在這個案例中取值是0。

即Czarnecki站在瞬時的角度，指責 Q_{B}=0 沒有反應出真實的無功振蕩分量。

而站在一個周期的角度， Q_{B}=0 又確實是正確。

因此，我想只能認為 Q_{B} 不能揭示暫態的情況，所以不太被接收吧。

參考文獻：

[1] Alexander Eigeles Emanuel著，車延博等譯. 功率定義及功率流的物理機制[M]. 北京：中國電力出版社，2014.

[2] Grzegorz Benysek,Marian Pasko著，陶順等譯. 功率理論與電能質量治理[M]. 北京：機械工業出版社，2014.

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