矩陣的特徵值到底表示矩陣的什麼「特徵」
矩陣的「特徵」體現在矩陣對向量的作用上。
特徵值和特徵向量隱藏在方陣中，我們可以通過計算把它們提取出來。這一「特徵」由特徵值和特徵向量一起體現。
- n 維方陣具有 n 個不同的特徵向量
n 維方陣 M 左乘一個向量 a。相當於是 M 對 a 在 n 個方向上進行 了不同程度的拉伸（不同方向的拉伸導致方向的旋轉）。
這 n 個方向，就是 n 個不同的特徵向量所指的方向。這 n 個特徵向量又可以構成 n 維空間 S_n 的一組 基 。利用這一組基可以得到向量 a 在 空間 S_n 中的表示， a_n。
a 和 a_n 表示的完完全全的一個向量。就像是一個人的兩個名字。
這時用 M 左乘 a_n，相當於對 a_n 在 S_n 的各個方向上進行了不同程度的拉伸變換。程度的不同體現在 特徵值 的不同，特徵向量 v 對應的特徵值 λ 越大，那麼 矩陣 M 在 v 所表示的方向上對 a_n 的拉伸作用越明顯。
λ > 1, 拉伸；
λ = 1, 不變；
λ < 1, 壓縮。
2. 方陣 J 具有 Jordan form
此時的 n 維方陣 J 僅有 m<n 個特徵向量。
J·a 也可以理解為對向量 a 進行了拉伸（壓縮）操作。
方陣 J 首先將 a 投影到一個 m 維的空間 S_j ， 得到 a 的影子 a_m。
然後對 a_m 在 m 個方向（特徵向量的方向）上根據所對應的特徵值都大小進行不同程度的拉伸（壓縮）。
這時候 a 的影子 a_m 變了，但由於投影的方式沒有變，所以必然有 a 也變化了。
a 的變化也不是隨便變化的，因為影子 a_m = J·a 由 J 和 a 共同決定。
a 在隨著它的影子的變化而成比例的變化。
不變的地方在於，a 與投影面的之間的夾角不變。
夾角不變，那麼 a 的「長度」與它的影子 a_m 的「長度」的比值就不改變。
這就是一個具有 Jordan form 的方針 J 對一個 向量 a 進行的拉伸變化。
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