工程光學（三）——光的衍射

前言

衍射（diffraction）就是指當一個波動遇到某種障礙物的時候，這種波動會偏離其原來直線傳播的方向.

本文將對光波衍射的基本理論和應用進行介紹，文章結構如下：

宏觀地描述發生衍射時，空間中各部分光波的情況，從而引出研究衍射現象的基本問題，並介紹影響衍射現象強弱的因素.
然後介紹惠更斯-菲涅耳原理，它形象地解釋了發生衍射時的具體情況，並提出了大致的數學表達式，為探究衍射現象提供了理論基礎.
接著就是菲涅耳-基爾霍夫衍射公式，它將上述的數學表達式中的細節明確化，這個公式將是全文的基礎.
考慮到衍射公式在計算的時候過於複雜，故在實際使用時，在滿足精度要求的條件下可對公式做近似處理，以便計算（這裡的近似都是以各種距離為線索）.首先進行初步的傍軸近似，對除了影響相位的復指數上的項以外的距離上的項，根據幾何關係做近似.並以此為基礎進行進一步近似.本文主要介紹菲涅耳近似和夫琅禾費近似，它們都是對影響相位的復指數上的項做近似，只是程度不同（這一節中會先說清怎樣近似）.在這兩種近似的情況下所研究的衍射現象分別稱為菲涅耳衍射和夫琅禾費衍射.
對於菲涅耳衍射，其近似程度相對較弱，近似式依然很好的體現了真實的距離，要求接收屏位於有限遠處.但這種近似式具體寫起來依然複雜，本文對菲涅耳衍射應用方面的介紹主要是定性的，利用菲涅耳波帶法分析菲涅耳圓孔衍射，並順便介紹菲涅耳波帶片.
對於夫琅和費衍射，則是對菲涅耳近似的更進一步，得到夫琅禾費近似，這種情況下認為接收屏與衍射屏的距離為無窮遠.本文對夫琅和費衍射將進行叫詳細的介紹，先是單個光孔的衍射，包括矩孔衍射、單縫衍射和圓孔衍射，並進一步通過雙縫衍射過度到更一般的多縫衍射.
最後通過衍射光柵來介紹對衍射現象的應用，先介紹光柵的性能，從光柵方程講到光柵色散，對於具體的光柵，只介紹閃耀光柵.

1.基本理論

1.1 基本問題

衍射使光可以波及幾何陰影區，也可以使幾何照明區內出現暗紋.這說明衍射使通過障礙後的空間光強分佈既不同於幾何光學的光強分佈，又不同於光自由傳播時的光強分佈，衍射使光強重新分佈.

如下圖所示，稱導致衍射發生的障礙物為衍射屏，對於它的特性可以用復振幅透射係數來描述，具體記作 $t(x_1,y_1)=A(x_1,y_1)e^{ivarphi(x_1,y_1)}.$

其中表示振幅，表示相位，表示衍射屏上的坐標.

那麼對於照明光場透過衍射屏前的復振幅分佈，以及剛剛透過衍射屏後的復振幅分佈，就滿足這體現了衍射屏對光場的調製作用.

應注意，最終在接收屏幕上的復振幅分佈完全不同於剛剛透過衍射屏後的復振幅分佈，即如下圖所示.

圖1

那麼衍射現象的基本問題就是：

已知照明光場和衍射屏特性，求接收屏上的光場分佈.
已知衍射屏特性和接收屏的光場分佈，探索照明光場的特性.
特別是已知照明光場特性和接收屏的光場分佈，設計衍射屏的結構和製造衍射光學元件.

衍射現象有兩個鮮明的特點：

限制與擴展：當光在衍射屏上的某一方向上受到限制，則在遠處的接收屏上的衍射光就會沿著該方向擴展.
光孔限度與光波長之比直接決定衍射效應的強弱，大致可分為如下三個等級：

，這時衍射效應很弱，光近乎直線傳播，但陰影的邊緣衍射效應仍不可忽略，它使陰影邊界失去了明銳的邊緣.
，這時衍射現象顯著，出現與光孔形狀相對應的衍射圖樣.
，這時衍射效應過於強烈，現象過於明顯，向散射過渡.

1.2 基本原理

惠更斯-菲涅耳原理（Huygens–Fresnel principle）

1609年，惠更斯對波在空間各點逐步傳播的機理提出一種假設：波面上的每一點都可以看作一個發出球面子波的次級波源，在後一時刻這些子波的包絡面就是新的波面.
後來菲涅耳基於光的干涉原理，考慮到這些子波來自同一光源，是相干的，因此，波面外任一點的光振動是波面上所有子波在該點相干疊加的結果.

綜上，惠更斯-菲涅耳原理可表述為：波面上的每一點都可以看作一個發出球面次級擾動（子波）的次級波源，波場中任一點的擾動，都可看作是所有次級波源所造成的次級擾動的相干疊加.

對於其數學表達式，根據下圖進行描述：

圖2

考察光源發出的球面波對點的作用.

選取與之間的一個波面，用這個波面上各點發出的子波在點相干疊加的結果表示對的作用.

設在上任一點的復振幅為 $ilde E_Q=frac{A}{R}e^{ikR}.$

其中是距離單位距離處的振幅，是波面的半徑.

另外，在點取波面的面元，菲涅耳認為，發出的子波在點產生的復振幅與入射波在面元上的復振幅，面元大小，傾斜因子成正比

表示子波的振幅隨面元法線的夾角的變化，其中稱為衍射角.

綜上，在點的復振幅可表示為 $d ilde E(P)=CK( heta)frac{Ae^{ikR}cdot e^{ikr}}{Rcdot r}dsigma.$

其中是常數，是間的距離.

菲涅耳還假設，當時有最大值，且隨著增大，不斷減小.

那麼在上圖中間的波面上（光孔範圍內），各面元發出的子波對點產生復振幅的總和為 $ilde E(P)=Ccolor{brown}{frac{Ae^{ikR}}{R}}iint_Sigmafrac{e^{ikr}}{r}K( heta)dsigma.$

實際上，上式當中選取的積分的面並不僅限於波面，可以更一般地選取之間任何一個曲面（或平面），假設在所選取的面上的復振幅分佈為，那麼上式化為 $ilde E(P)=Ciint_Sigma ilde E(Q)frac{e^{ikr}}{r}K( heta)dsigma.$

菲涅耳-基爾霍夫衍射公式（Fresnel–Kirchhoff diffraction formula）

上式的理論本身並不嚴格，例如：的引入缺乏依據，且菲涅耳並沒有給出和常數的具體形式.

而基爾霍夫彌補了這個不足.從波動的微分方程觸發，利用格林公式（Greens theorem）以及電磁場的邊界條件給出了更完善的數學表達式：

$color{red}{ ilde E(P)=frac{A}{ilambda}iint_Sigmafrac{e^{ikl}}{l}frac{e^{ikr}}{r}Big[frac{cos(vec n,vec r)-cos(vec n,vec l)}{2}Big]dsigma}.$

這就是菲涅耳-基爾霍夫公式.

下面根據下圖對其進行解釋.

圖3

它表示單色點光源S發出的球面波照射到光孔上，在後的任一點處產生的復振幅.如上圖所示

公式當中，
是到的上任一點Q的距離；是到的距離；和分別是的法線與和方向的夾角. 的方向如圖上所示

這個所謂的完善化，是指令菲涅耳給出的公式當中 $C=frac{1}{ilambda}$ ， $ilde E(Q)=frac{A e^{ikl}}{l}$ ， $K( heta)=frac{cos(vec n,vec r)-cos(vec n,vec l)}{2}.$

注意與光源到衍射屏的具體情況 、衍射屏到接收屏的具體情況 都有關.

特別地，當點光源離光孔足夠遠，可近似地看作垂直入射到光孔的平行光（平面波），這時，那麼 $K( heta)=frac{1+cos heta}{2}$

注意這裡的近似是處理掉了衍射屏到接收屏的具體情況 ，而保留了的影響.

巴比涅原理（Babinets principle）

它是指：兩個互補屏（其中一個屏的透光部分恰是另一個平的不透明部分）單獨產生的衍射場的復振幅之和等於沒有衍射屏時的復振幅.

1.3 衍射公式的近似

由於菲涅耳-基爾霍夫衍射公式的被積函數形式較為複雜，往往不易計算.因此，對於實際的具體情況進行簡單的分類，然後加以近似處理，這樣就可以簡化計算.

初步預處理——傍軸近似

圖4

考慮光孔屏到接收屏的距離充分大的情況，如上圖所示，則可有如下兩點近似：

由於光孔的線度和接收屏上的考察範圍遠小於兩屏間的距離，因此近似認為衍射角（到了這裡，就把剩下的部分，即光源到衍射屏的具體情況 也處理掉了）
由於在整個考察範圍內，的變化不大，且的變化對（子波源對點的）振幅影響不大，近似認為（是兩屏間距）.但要注意，的變化對相位影響依然不可忽略，因此在復指數當中應保留.

綜上，衍射公式改寫為 $ilde E(P)=frac{1}{ilambda z_1}iint_Sigmafrac{Ae^{ikl}}{l}e^{ikr}dsigma$ 或 $color{red}{ ilde E(P)=frac{1}{ilambda z_1}iint_Sigma ilde E(Q)e^{ikr}dsigma}$

其中 $ilde E(Q)=frac{Ae^{ikl}}{l}$ 是光孔上的復振幅分佈.

菲涅耳近似

雖然在傍軸近似當中，復指數當中的遺留了下來，但還是可以進一步處理的.

如上圖所示，設光孔平面和接收平面分別取直角坐標和，那麼可以寫成 $r=sqrt{z_1^2+(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}=z_1Big[1+Big(frac{x-x_1}{z_1}Big)^2+Big(frac{y-y_1}{z_1}Big)^2Big].$

這裡的和分別是光孔上任一點和接收屏上任一點的坐標.

根據廣義二項式定理，對上式進行展開得到

$r=z_1Big{1color{brown}{+frac{1}{2}Big[frac{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}{z_1^2}Big]}color{green}{-frac{1}{8}Big[frac{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}{z_1^2}Big]^2}+cdotsBig}.$ 近似條件：如果充分大，以至於上式第三項之後，各項對於相位的影響遠小於時，即當 $frac{k}{8z_1^3}[(x-x_1)^1+(y-y_1)^2]^2_{max}llpi$ 時.

那麼第三項及以後的各項可被忽略，那麼近似認為 $r=z_1+frac{x^2+y^2}{2z_1}-frac{xx_1+yy_1}{z_1}+frac{x_1^2+y_1^2}{2z_1}$

這種近似就是菲涅耳近似，在菲涅耳近似條件下對衍射現象的研究稱為菲涅耳衍射.

在這種近似下，得到菲涅耳衍射公式 $ilde E(x,y)=frac{e^{ikz_1}}{ilambda z_1}iint_{-infty}^{+infty} ilde E(x_1,y_1)e^{frac{ik}{2z_1}[(x-x_1)^2+(y-y_1)^2]}dx_1dy_1$

在改寫為後，對整個面積分，由於在光孔外的復振幅為零，因此可以這樣寫.
其中 $e^{frac{ik}{2z_1}[(x-x_1)^2+(y-y_1)^2]}$ 表示在菲涅耳近似條件下光孔上某點發出的球面子波在接收屏上的復振幅分佈.

如果將的近似式代入衍射公式，則它又可改寫為 $ilde E(x,y)=frac{e^{ikz_1}}{ilambda z_1}e^{frac{ik}{2z_1}(x^2+y^2)}iint_{-infty}^{+infty} ilde E(x_1,y_1)e^{frac{ik}{2z_1}(x_1^2+y_1^2)}e^{-i2pi(frac{xx_1}{lambda z_1}+frac{yy_1}{lambda z_1})}dx_1dy_1.$

夫琅禾費近似

在菲涅耳近似的基礎上，如果光孔屏與接收屏的距離更遠，則可以得到更進一步的近似.

對於上述近似當中的 $r=z_1+frac{x^2+y^2}{2z_1}-frac{xx_1+yy_1}{z_1}color{brown}{+frac{x_1^2+y_1^2}{2z_1}}$ ，其中第四項取決於光孔線度 相對於兩屏間的距離 的大小，那麼當充分大，以至於第四項對相位的影響遠小於時，即 $kfrac{(x_1^2+y_1^2)_{max}}{2z_1}llpi$ 時，第四項可以忽略，則近似認為 $r=z_1+frac{x^2+y^2}{2z_1}-frac{xx_1+yy_1}{z_1}.$

這就是夫琅和費近似，在夫琅禾費近似條件下對衍射現象的研究稱為夫琅禾費衍射.

之所以關於考察範圍的項目不能忽略，是因為它隨著的增大，衍射光波的範圍也在增大，相應的考察範圍也在增大.

那麼將此的近似式代入衍射公式得到

$ilde E(x,y)=frac{e^{ikz_1}}{ilambda z_1}e^{frac{ik}{2z_1}(x^2+y^2)}iint_{-infty}^{+infty} ilde E(x_1,y_1)e^{-i2pi(x_1frac{x}{lambda z_1}+y_1frac{y}{lambda z_1})}dx_1dy_1.$

綜上所述，夫琅禾費近似是由菲涅耳近似進一步得到，因此後文介紹當中，適用於菲涅耳衍射的公式都適用於夫琅禾費衍射，反之則不然.

2. 菲涅耳衍射(Fresnel diffraction)

在菲涅耳近似條件下，光孔屏和接收屏的距離（相較夫琅和費衍射）較近，因此也稱為近場衍射.本文不深究菲涅耳衍射公式，而是根據半定量的方法推算衍射圖樣，主要手段就是菲涅耳波帶法.

菲涅耳波帶法基本原理

考慮單色平面波垂直照射圓孔衍射屏（圓形光孔）上，先來考察點的光強情況.

點是接收屏與過圓孔中心C點且垂直於圓孔平面的垂線的交點.

圖5

根據惠更斯-菲涅耳原理分析光孔上各點發出的球面子波在點的復振幅情況，不妨按照下述作圖方法進行分析.

以點為中心，以 $z_1+frac{lambda}{2},color{brown}{z_1+lambda},cdots,color{brown}{z_1+frac{jlambda}{2}},cdots$ 為半徑作出一系列球面，這些球面與光孔相交，交線的集合為一組同心圓

間隔 $frac{lambda}{2}$ 是一個伏筆，後面會解釋這一點.

也可以將這些同心圓看作是由許多圓環組成的，這些環帶（圓環）叫做菲涅耳半波帶或菲涅耳波帶.下面對點光強的分析就是基於這些波帶，通過各個波帶對的作用來討論綜合作用.

首先應該注意到的是，各個波帶在點產生的振幅，正比於該波帶的面積，反比于波帶到點的距離.

另外有些書中還提到了這個振幅還依賴於傾斜因子，這種情況下振幅表示為 $| ilde E_j|=Cfrac{A_j}{r_j}frac{1+cos heta}{2}.$

這是標準寫法，雖然在前面的菲涅耳近似中已經認為傾斜因子，為了突出傾斜因子的作用要這樣寫.

上式中，是比例常數，是第波帶到點的距離，是第波帶的面積.

而波帶面積可用 $ho_j, ho_{j-1}$ 這兩圓面積之差表示.

並且有 $ho_j=Big[Big(z_1+jfrac{lambda}{2}Big)^2-z_1^2Big]^{frac{1}{2}}=sqrt{jz_1lambda}Big[1+frac{jlambda}{4z_1}Big]^{frac{1}{2}}.$

當 $color{brown}{z_1gglambda}$ 時近似認為 $ho_j=sqrt{jz_1lambda}.$

那麼波帶面積 $A_j=pi ho_j^2-pi ho_{j-1}^2approxpi z_1lambda.$ 這說明各波帶面積近似相等，影響振幅的主要因素是和衍射角

觀察振幅表達式可發現，隨著的增大，振幅會逐漸減小，即

到了這裡，前面的伏筆就發揮關鍵作用了，由於是相距 $frac{lambda}{2}$ ，那麼相鄰的波帶發出的子波間的光程差為半波長，相位差為，他們產生的復振幅就是一正一負，整體上的復振幅就是

考慮到相鄰波帶的振幅下降緩慢，可近似認為 $| ilde E_2|=frac{| ilde E_1|}{2}+frac{| ilde E_3|}{2}，| ilde E_4|=frac{| ilde E_3|}{2}+frac{| ilde E_5|}{2}，cdots.$ 且隨著的增大，兩相鄰波帶對點的振幅的差距越來越小.

那麼將這一系列振幅近似式代入復振幅表達式，就得到 $ilde E=frac{| ilde E_1|}{2}pmfrac{| ilde E_n|}{2}.$

其中，當為奇數時上式取正號，當為偶數時上式取負號.

進一步得出如下結論：

當為奇數時，點強度較大，當為偶數時，點強度較小，那麼當逐漸放大或縮小光孔時，點便出現明暗交替的變化.
另外，總波帶數還取決於到光孔的距離，那麼在光孔到觀察屏的距離改變時，總波帶數也會發生改變，因而影響點的光強.這意味著把觀察屏沿光軸移動時，也可以看到點出現明暗交替的變化.

最後要說的是極限情況，當光孔非常大，甚至不存在這個衍射屏（光孔屏）時，即無限增大，導致，那麼整體的振幅 $ilde E_infty=frac{ ilde E_1}{2}.$ 這說明點的復振幅是第一波帶產生復振幅的一半，因而其光強就是第一波帶產生光強的 $frac{1}{4}.$

圓孔衍射與圓屏衍射

對於上述圓孔的情況，這裡更完整的討論觀察屏上的整體情況.

對於觀察屏上更一般的點，與剛才的分析相同，也要以為中心，做如下圖所示的一系列同心球面交衍射屏與一組同心圓，同樣根據上述結論，考慮波帶數目，波帶面積（這裡就要考慮露出部分的面積）等影響振幅的因素.

整體來看，由於整個裝置軸對稱的性質，距離中心點相同的距離會有相同的光強，且由中心向外，光強時大時小的變化，那麼整個衍射圖樣就是一組亮暗交替的同心圓環.當然，由上述結論，中心點可能明也可能暗.

圖6

而如果用很小的不透明的圓屏代替上述衍射屏的情況，即圓屏衍射的情況則有如下分析.

首先考慮中心點，根據上述結論，全部波帶的共同作用下在點產生的復振幅是第一波帶產生復振幅的一半，進而光強是其 $frac{1}{4}.$ 這樣，擋住了第一波帶產生的復振幅，則中心點 總是亮斑.

值得一提的是，上述結論僅適用於小屏，如果圓屏過大，則從圓屏邊緣開始作出的第一波帶對點的作用會很小，這時點的強度也很小（如果屏足夠大，它是接近於零的），那麼和周圍相比，它並不能算是一個亮斑.

菲涅耳波帶片

根據前述關於中心點處光強的結論，設想有一種特殊的衍射屏，它擋住所有的偶數波帶，而奇數波帶暢通無阻，或者情況相反，那麼這些通過的光波將會在點同相位疊加，這樣振幅會大大增加.

例如有一個衍射屏共包含20個波帶，將其中的10個偶數波帶遮住，則點的振幅為 $| ilde E|=| ilde E_1|+| ilde E_3|+cdots+| ilde E_{19}|color{brown}{approx 10| ilde E_1|}color{green}{=2| ilde E_{infty}|}.$

表示振幅是衍射屏不存在時的20倍，進而光強是400倍.

稱這種（遮住奇數波帶或偶數波帶的）特殊衍射屏為菲涅耳波帶片.

菲涅耳波帶片的設計要以為基礎來計算各波帶的位置，在使用的時候，用單色平面波垂直照明時，將在特定位置的呈現亮斑.這就相當於普通透鏡的作用，故稱這個是菲涅耳波帶片的焦距.

根據前述第j個波帶外圓半徑近似式 $ho_j=sqrt{jz_1lambda}$ ，可得到焦距估算式 $f=z_1=frac{ ho_j^2}{jlambda}.$

上述情況是平行光垂直入射，會聚的點相當於在無窮遠處光軸上的點光源通過該波帶片所成的像.實際上，對於有限遠的光軸上的點光源，該波帶片也有和普通透鏡類似的成像關係式.

圖7

如上圖所示，在有限遠處的點光源的情況下，波帶片平面上的子波相位顯然不同，則在點產生復振幅的相位也不同，因此它不是亮點.為了尋找亮點的位置，還要考慮波帶片左側的光程差.

假設亮點在，那麼根據幾何關係，應當滿足光程差條件： $SQ+QS』-SS』=frac{jlambda}{2}.$

其中點是波帶片第個波帶的外圈上的點（第一波帶的內圈是圓心，外圈是與內圈光程差為 $frac{lambda}{2}$ 的圓環，也是第二波帶的內圈）.

這樣，發出的光通過奇數（或偶數）波帶在產生的復振幅便是同相位的，形成兩點.這時按照幾何光學的習慣，稱的距離為像距 .

根據幾何關係可知： $SQ=sqrt{l^2+ ho_j^2}，QS』=sqrt{l』^2+ ho_j^2}$

根據廣義二項式定理，對上兩式進行展開，並分別保留前兩項（很小，因此後面部分可以忽略）得到

$SQ=lBig(1+frac{ ho_j^2}{2l^2}Big)$ ， $QS』=l』Big(1+frac{ ho_j^2}{2l』^2}Big).$

代入光程差條件式得到 $lBig(1+frac{ ho_j^2}{2l^2}Big)+ l』Big(1+frac{ ho_j^2}{2l』^2}Big)-(l+l』)=frac{jlambda}{2}.$ 並根據半徑近似式 $ho_j=sqrt{jz_1lambda}$ 可將上式化簡為

$frac{1}{l』}+frac{1}{l}=frac{1}{f}.$

它表達的波帶片的物距、像距、焦距的關係和普通透鏡所滿足的成像公式（高斯公式）完全相同（後面關於幾何光學的文章會具體說道這些）.

這裡還要補充一個實際中常用到關係，即計算某圓孔所包含的波帶數.
對於單色平面波入射，前述已有公式 $ho_j=sqrt{jz_1lambda}$ ，那麼 $j=frac{r^2}{z_1lambda}.$ 其中是圓孔的半徑，是光孔屏到觀察屏的距離，是單色光波長.而對於有限遠點光源的情況，根據上述成像公式不難推得 $j=frac{r^2}{zlambda}Big(1+frac{l』}{l}Big).$ 其中與分別是像距和物距（點光源到光孔屏的距離）.

3. 夫琅和費衍射(Fraunhofer diffraction)

3.1 單個光孔衍射

基本理論

根據前面的介紹，夫琅禾費近似下的衍射屏到觀察屏的距離是相當大的，那麼對平行光嚴格性的要求也很高，於是有如下實驗裝置：

圖8

如上圖所示：點光源位於透鏡的焦點處，這樣照射到光孔上的光為平行光（幾何光學中的結論）.
光孔緊貼著透鏡，然後通過的後焦面來觀察夫琅禾費衍射.透鏡的作用在於將不同方向的平行光會聚於不同的點，不同子波源發出的各個方向的平行光當中有的方向上會同相增強，有的方向則會反向相消，這樣才生成明暗相間的條紋.

在這種條件下，認為，則衍射公式化為

$ilde E(x,y)=frac{1}{ilambda f}e^{ikBig(f+frac{x^2+y^2}{2f}Big)}iint_Sigma ilde E(x_1,y_1)e^{-frac{ik}{f}(xx_1+yy_1)}dx_1dy_1.$

根據下圖進一步考察其內容

圖9

先考察 $e^{ikBig(f+frac{x^2+y^2}{2f}Big)}$ 項.在菲涅耳近似下，光孔面的坐標原點到觀察屏某點的距離為 $rapprox f+frac{x^2+y^2}{2f}.$ 因此這一項整體上表達的是點處的子波源發出的子波在點的相位.
另一部分就是 $e^{-frac{ik}{f}(xx_1+yy_1)}$ ，其輻角 $kfrac{(xx_1+yy_1)}{f}$ 指的是光孔內任一點和點發出的子波到達點處的相位差.

為了分析這個相位差，分別作由、兩點到點的路徑，分別如上圖的紅、藍兩線所示.在上取一點，使兩路徑的光程差為，即

近似認為的方向餘弦和的方向餘弦相同.

方向餘弦利用餘角化為正弦，則有其中的 $sin heta_x=frac{x}{r}approxfrac{x}{f}，sin heta_y=frac{y}{r}approxfrac{y}{f}.$

其中分別是與軸和軸夾角的餘角，稱為二維衍射角.

設為方向的單位矢量，根據幾何關係 $Delta=CH=vec qcdotvec{CQ}=x_1sin heta_x+y_1sin heta_y=frac{xx_1+yy_1}{f}.$

那麼相位差 $delta=kDelta=kfrac{xx_1+yy_1}{f}.$

綜上所述，衍射公式（透鏡後焦面上的衍射分佈）可化為

$ilde E=frac{1}{ilambda f}e^{ikBig(f+frac{x^2+y^2}{2f}Big)}iint_Sigma ilde E(x_1,y_1)e^{-ikfrac{xx_1+yy_1}{f}}dx_1dy_1.$

矩孔衍射

對於這種特殊的孔徑，具體分析如下：假設據孔橫向寬度為，縱向寬度為，如下圖所示

圖10

為描述方便，先做一些整合：設 $C』=frac{ ilde E(x_1,y_1)}{ilambda f}e^{ikf}$ ， $l=sin heta_xapproxfrac{x}{f}$ ， $w=sin heta_yapproxfrac{y}{f}$ .

那麼對於接收屏上的復振幅分佈具體的有 $ilde E=C』e^{ikfrac{x^2+y^2}{2f}}color{brown}{int_{-frac{a}{2}}^{frac{a}{2}}e^{-iklx_1}dx_1}color{green}{int_{-frac{b}{2}}^{frac{b}{2}}e^{-ikwy_1}dy_1}$

$=C』abfrac{sinfrac{kla}{2}sinfrac{kwb}{2}}{frac{kla}{2}frac{kwb}{2}}e^{ikfrac{x^2+y^2}{2f}}$

為了計算強度分佈，這裡還要進行進一步簡化：

考慮點的復振幅，設該點的強度為

$alpha=frac{kla}{2}=frac{pi a}{lambda}sin heta_x.$

$eta=frac{kwb}{2}=frac{pi b}{lambda}sin heta_y.$

則接收屏上任一點P的光強 $I=I_0Big(frac{sinalpha}{alpha}Big)^2Big(frac{sineta}{eta}Big)^2$

這就是矩孔夫琅和費衍射的強度分佈公式.

下面分別考察軸和軸上的光強分佈.

單獨考察軸時，令軸方向分量的方向餘弦 .此時光強分佈公式化為 $I=I_0Big(frac{sinalpha}{alpha}Big)^2.$ 觀察其函數圖像如下圖所示

圖11

它的極大值點有很多，但極大值逐漸降低，稱處的極大值點為主極大，這裡 .

而對於極小值點，分佈在處，這裡 .

在其他每相鄰兩個極小值點之間也有一個極大值點，稱他們為次極大，它們顯然由 $frac{d}{dalpha}Big(frac{sinalpha}{alpha}Big)^2=0$ 決定，即

根據前述和的表達式，對於中央亮斑，其邊緣應滿足，

進而其角半寬度近似為 $Delta heta_x=frac{lambda}{a}$ ， $Delta heta_y=frac{lambda}{b}.$
相應的半寬尺寸近似為 $Delta x_0=frac{lambda}{a}f$ ， $Delta y_0=frac{lambda}{b}f.$

綜上可得一些結論：

光孔的橫向寬度越大，則中央亮斑的橫向寬度越窄，沿著橫向的各級次極大也越窄.
中央亮斑集中了絕大部分的光能，可用其角半寬度衡量衍射效應的強弱，根據其表達式可知：縫寬越小衍射效應越強，波長越長衍射效應越強.
特別地，當波長趨於零時，衍射效應可以忽略，在這種近似下對光學現象的研究稱為幾何光學.

單縫衍射

這其實是矩孔衍射的特殊形式.即一個方向的寬度遠遠小於另一個方向的寬度的情況.

例如使，這便是一個豎縫，如下圖所示

圖12

一些細節上面已經說過了，這裡不再重複，只是有一個概念要提一下就是衍射強度分佈 $I=I_0Big(frac{sinalpha}{alpha}Big)^2$ 當中的 $Big(frac{sinalpha}{alpha}Big)^2$ 稱為單縫衍射因子.

圓孔衍射

再將衍射屏的光孔替換為圓孔，即是圓孔衍射，如下圖所示，其中圓孔半徑為 .

圖13

在這種情況下，用極坐標描述會更方便，那麼有如下替換.

對於衍射屏：
對於觀察屏：
對於方向餘弦： $frac{x}{f}=frac{rcospsi}{f}= hetacospsi，frac{y}{f}=frac{rsinpsi}{f}= hetasinpsi.$ （其中是衍射角（與光軸的夾角））
對於微分：

那麼 $ilde E=C』int_0^aint_0^{2pi}e^{-ikr_1 hetacos(psi_1-psi)}r_1dr_1dpsi_1.$

其中 $C』=frac{ ilde E(x_1,y_1)}{ilambda f}e^{ikf}$ ，另外根據前述經驗 $e^{ikBig(frac{x^2+y^2}{2f}Big)}$ 項在計算光強時會被消去，這裡故作省略.

積分過程涉及到貝塞爾函數及其性質，較為複雜，這裡不做摘錄，感興趣的讀者可以查閱文首圖片當中提到的《高等物理光學》-羊國光、《物理光學》-梁銓廷等書.

最後得到 $ilde E=pi a^2C』frac{2J_1(ka heta)}{ka heta}$

其中是一階第一類貝塞爾函數.

進而得到光強分佈分佈表達式 $I=(pi a^2)^2|C』|^2Big[frac{2J_1(ka heta)}{ heta}Big]^2$

若令觀察屏坐標原點點的光強，並設則

$I=I_0Big[frac{2J_1(Z)}{Z}Big]^2.$

圖14

光強隨的分佈如上圖所示.

同樣在處，對應的就是點是中央主極大.

而當滿足時有極小值，這些值（由衍射角決定）決定暗環的位置.

且沒相鄰兩極小間有一個次極大，它要滿足 $frac{d}{dZ}Big[frac{J_1(Z)}{Z}Big]=-frac{J_2(Z)}{Z}=0$ ，即 .

其中是二階第一類貝塞爾函數.

艾裏斑(Airy disk)是點光源通過理想透鏡成像時，由於衍射而在焦點處形成的光斑.

那麼這個中央亮斑就是艾裏斑.

設其半徑是，它由第一個強度為零的決定，根據公式可近似算得第一個極小所對應的 .即

$Z=frac{kar_0}{f}=1.22piRightarrowcolor{red}{r_0=1.22frac{flambda}{2a}}.$

或者用角半徑表示為 $heta_0=frac{r_0}{f}=frac{0.61lambda}{a}.$

這說明光斑的大小與圓孔半徑成反比，與光波波長成正比.此規律和單縫衍射是相同的.

3.2 多縫衍射

多縫夫琅和費衍射本質上是所有單縫夫琅禾費衍射復振幅分佈的疊加.可看作單縫衍射和多縫干涉的結果.這裡先通過雙縫衍射的詳細分析瞭解一些細節，再觀察更一般的多縫衍射.

雙縫衍射

將單縫衍射屏換成平行等寬的兩個狹縫的衍射屏這便是雙縫衍射裝置，如下圖所示.

圖15

延續前述的方法，忽略不影響光強分佈的 $e^{ikfrac{x^2+y^2}{2f}}$ ，則

$ilde E=C』iint_{Sigma_1+Sigma_2}e^{-ik(lx_1+wy_1)}.$

同樣的有 $l=frac{x}{f}，w=frac{y}{f}$ ，分別指兩狹縫.

設兩縫間距為（應注意，縫間距並不是指兩縫間不透光部分的距離，如上圖所示）那麼具體的有

$ilde E=color{brown}{C』int_{-frac{a}{2}}^{frac{a}{2}}e^{-iklx_1}dx_1int_{-frac{b}{2}}^{frac{b}{2}}e^{-ikwy_1}dy_1}color{green}{+C』int_{d-frac{a}{2}}^{d+frac{a}{2}}e^{-iklx_1}dx_1int_{-frac{b}{2}}^{frac{b}{2}}e^{-ikwy_1}dy_1}.$

$=C』abfrac{sinfrac{kla}{2}sinfrac{kwb}{2}}{frac{kla}{2}frac{kwb}{2}}+C』bfrac{sinfrac{kwb}{2}}{frac{kwb}{2}}int_{d-frac{a}{2}}^{d+frac{a}{2}}e^{-iklx_1}dx_1.$

和前面的想法相同，只考慮沿軸的復振幅分佈，則 $frac{sinfrac{kwb}{2}}{frac{kwb}{2}}=1.$ 以及 $int_{d-frac{a}{2}}^{d+frac{a}{2}}e^{-iklx_1}dx_1=afrac{sinfrac{kla}{2}}{frac{kla}{2}}e^{-ikld}.$

綜上 $ilde E=C』abfrac{sinfrac{kla}{2}}{frac{kla}{2}}(1+e^{-ikld}).$

這說明兩狹縫在P點產生的復振幅有相位差 $color{red}{delta=kld=frac{2pi}{lambda}dsin heta}.$ 可以發現，這正與通過幾何關係上兩光束的光程差而推得的相位差相符合.

（符號遵循矩孔衍射的習慣，是衍射角，如上圖所示）

再同樣按照如下簡化表示： $alpha=frac{kla}{2}$ ，可進一步得到光強分佈表達式

$I=4I_0Big(frac{sinalpha}{alpha}Big)^2cos^2frac{delta}{2}.$

其中是點的光強.

可以發現：

$Big(frac{sinalpha}{alpha}Big)^2$ 是單縫衍射因子，描述了單縫夫琅禾費衍射的強度分佈；
$4cos^2frac{delta}{2}$ 描述了兩縫到某點的相位差，即兩光束干涉對衍射結果的影響.

這印證了雙縫衍射是單縫衍射和雙光束干涉共同作用的結果.

二者都影響著光強的分佈，現單獨考察干涉部分對光強分佈的影響，可知

當時，即（其中）時，呈現光強極大值.
而 $delta=Big(m+frac{1}{2}Big)2pi$ 時，即 $Delta=dsin heta=Big(m+frac{1}{2}Big)lambda$ （其中）時，呈現光強極小值.

下圖（ $frac{delta}{2}Rightarrowcos^2frac{delta}{2}$ ）間接地展示了對光強分佈的影響.

圖16

另一方面，對於單縫衍射因子的（單獨）影響，前面已經討論過：

當時有主極大.
當（其中）時有極小值.
當時有次極大.

下圖（ $alphaRightarrowBig(frac{sinalpha}{alpha}Big)^2$ ）間接地展示了對光強分佈的影響.

圖17

那麼綜合來看會發現一個衝突的情況，就是干涉極大恰好與衍射極小重合的情況，即同時滿足和

顯然這時，這種情況發生的條件就是 $m=nfrac{d}{a}$ （其中沿用舊例取）.在這些本應是亮紋的干涉級處卻呈現暗紋，故稱缺級.

例如的情況，則會出現的干涉級為缺級，如下圖所示.

圖18

多縫衍射

對於更一般的情況，假設衍射屏開有個等寬等間距狹縫，狹縫寬度為，長度為，間距為，考慮這種情況下接收屏上的光強分佈，實驗裝置如下圖所示.

圖19

先考察位於光軸中心的狹縫的衍射圖樣，根據前述結論，其在點的復振幅為

$ilde E_o= ilde E_0frac{sinalpha}{alpha}.$

其中是中央點的復振幅， $alpha=frac{pi}{lambda}asin heta$ ， $sin heta=frac{x}{f}.$

而且，相鄰單縫在點產生復振幅的振幅與中心點相同，只是有相位差 $delta=frac{2pi}{lambda}dsin heta.$

那麼整體上

$ilde E= ilde E_0frac{sinalpha}{alpha}[1+e^{idelta}+e^{i2delta}+cdots+e^{i(N-1)delta}]$

$= ilde E_0frac{sinalpha}{alpha}frac{sinfrac{Ndelta}{2}}{sinfrac{delta}{2}}e^{i(N-1)frac{delta}{2}}.$

因此點的光強為 $I=I_0Big(frac{sinalpha}{alpha}Big)^2Big(frac{sinfrac{Ndelta}{2}}{sinfrac{delta}{2}}Big)^2.$

下面依此討論衍射圖樣特徵.

還是先考察干涉部分，當 $delta=frac{2pi}{lambda}dsin heta=2mpi$ 時即時（其中）有極大值，這時 $lim_{delta ightarrow2mpi}Big(frac{sinfrac{Ndelta}{2}}{sinfrac{delta}{2}}Big)^2=N^2.$ 這些極大值稱為主極大，各級主極大的強度就是 $I=N^2I_0Big(frac{sinalpha}{alpha}Big)^2$ ，這是單縫衍射在各極大位置上產生強度的倍.

如果幹涉的主極大和衍射的極小值重合時會產生缺級，這和雙縫衍射的情況是一樣的，缺級的干涉級為 $m=nfrac{d}{a}.$

對於多縫夫琅和費衍射，縫間距影響各級主極大的位置，縫寬影響光強在各級主極大間的分配，它們各司其職影響著衍射圖樣.

下面依然看干涉部分，現在想取得極小值，那麼就要讓分子當中的 $frac{Ndelta}{2}$ 是的整數倍，而分母當中的 $frac{delta}{2}$ 不是的整數倍纔行，即 $frac{delta}{2}=Big(m+frac{m』}{N}Big)pi$ ，（其中，而）直觀地說就是 $dsin heta=Big(m+frac{m』}{N}Big)lambda.$

滿足這些條件，光強為零，就是極小值.

上式同時說明瞭兩個相鄰主極大間有 N-1個極小值.以及兩個極小值間的角間距為 $delta heta=frac{lambda}{Ndcos heta}$ ，同時這也是主極大的角半寬度.

這些進一步說明瞭縫數越大，則主極大的寬度越小，亮紋越明銳.

最後談一談關於次極大.

次極大是由 $frac{d}{dfrac{delta}{2}}Big(frac{sinfrac{Ndelta}{2}}{sinfrac{delta}{2}}Big)^2=0$ 決定的.簡單說就是 $N anfrac{delta}{2}= an Nfrac{delta}{2}.$

這裡不深入討論其他的規律，只介紹一些結論：

相鄰兩個極小值之間有一個次極大.（相鄰兩個主極大間有N-1個極小值，也就有N-2個次極大）.
次極大的強度與距離主極大的距離有關，但它們總是很小，即使是主極大旁邊最強的次極大，其強度也只有主極大的4%左右.
次極大的寬度隨縫數N的增大而減小，如果N充分大，則現象就是它與極小值混成一片.

隨著縫數的增多，衍射圖樣的特徵如下圖所示.

圖20

4. 衍射光柵（diffraction grating）

4.1 基本理論

對於衍射的基本情況介紹得已基本足夠，下面就來談一談衍射的應用，這裡要說的就是光柵.

衍射光柵就是利用衍射的原理對入射光波的振幅和相位或二者之一進行空間週期性調製的光學元件.

按調製方式分類可分為振幅型光柵和相位型光柵.
按工作方式分類可分為透射型光柵和反射型光柵.按工作表面形狀分類可分為平面光柵和凹面光柵.按入射波調製的空間可分為二維光柵和三維光柵.按光柵製作方式可分為機刻光柵、複製光柵和全息光柵等.

衍射光柵的夫琅禾費衍射圖樣稱為光柵光譜.

光柵最重要的應用是作為分光元件，這裡主要介紹光柵在這方面的性質.

以反射光柵為例，其工作過程如下圖所示.

圖21

圖(a)表示的是入射光與衍射光分居光柵法線兩側的情況；
圖(b)表示的是入射光與衍射光位於光柵法線同側的情況.

根據上圖的幾何關係可以發現，在光束經過光柵作用的前後，相鄰兩光束的光程差為

如果所考察的衍射光與入射光位於光柵法線的同側則取正，異側則取負.

根據前面的結論，在各級主極大處的（相鄰單縫的衍射光在該點的）光程差滿足那麼在這裡就要變成（其中）這就是光柵方程.

稱縫間距為光柵常數.

下面依此來討論如何利用這一特性進行分光.

根據光柵方程，實際中固定，在同一級當中，衍射角與波長是相對應的.這種現象稱為光柵色散，這就表示光柵有分光能力.

稱兩條譜線通過光柵分開的角度隨波長的變化率為角色散.

對光柵方程進行微分得到 $color{red}{frac{d heta}{dlambda}=frac{m}{dcdotcos heta}}.$

這表示角色散與光柵常數成反比，與級次成正比.

稱物鏡焦面（和夫琅禾費衍射一樣，通過透鏡觀察衍射圖樣）上兩條譜線分開的距離隨波長的變化率為線色散.

那麼得到 $frac{dl}{dlambda}=ffrac{d heta}{dlambda}color{red}{=ffrac{m}{dcdot heta}}.$

顯然線色散也與光柵常數d成反比，與級次m成正比.

通常用的光柵通常每毫米就有成百上千條刻線（狹縫），意味著光柵常數d很小，因此光柵的色散本領很強.
值得一提的是，在衍射角不太大的地方，隨變化的變化很小，近乎可以忽略其變化，那麼在這種情況下，根據色散關係式可認為色散是均勻的，進而在測定波長時可認為 (或 )隨的關係是線性的，這就非常方便，這也是光柵光譜相對稜鏡光譜的優點之一.

下面就進一步說光柵的色分辨本領.

通過上述討論我們知道，用光柵進行分光是將不同波長的光通過衍射，在衍射圖樣上進行分離來進行的，那麼它總有一個限度，當波長差小於某個限度的時候，由於在衍射圖樣上分開的效果不明顯而導致無法分辨（這個限度根據瑞利判據確定），假設恰好不能分辨的兩光波的波長就是和

那麼色分辨本領定義為 $A=frac{lambda}{Deltalambda}.$

根據前述的多縫衍射的結論，

譜線角半寬度 $Delta heta=frac{lambda}{Ndcos heta}$

以及角色散表達式 $frac{d heta}{dlambda}=frac{m}{dcdotcos heta}$

可得到角距離所對應的波長差 $color{brown}{Deltalambda}=frac{dlambda}{d heta}Delta heta=frac{dcdotcos heta}{m}cdotfrac{lambda}{Ndcdotcos heta}color{brown}{=frac{lambda}{mN}}.$