【投資組合理論】馬科維茨與MPT
二戰結束後，歐美經濟發展，股市復甦，人們的投資需求也逐漸增強。投資的本質是在不確定的收益和風險之間做出選擇，所以如何測定組合投資的風險與收益，如何平衡這兩項指標進行資產分配是市場投資者迫切需要解決的問題。
在這種背景下，1952年，年輕的馬科維茨（Markowitz）在《金融學雜誌》上發表了論文《資產組合的選擇-投資的有效分散化》，標誌著現代投資組合理論（MPT）的正式誕生。他的理論主要包括均值方差分析方法和投資組合有效邊界模型。這套理論在實踐中證明是有效的，被認為是現代金融學的開端，他也因此獲得了1990年的諾貝爾經濟學獎。
均值方差分析方法
投資是通過節省現在的消費，期望獲得未來更高的消費能力的一種行為。收益是獲得未來消費能力中高出現在的部分，風險代表了獲取收益的不確定性。投資時要首先要考慮的兩個因素就是收益和風險。馬科維茨的均值方差分析方法就描述了如何測定和平衡這兩個因素。
未來的收益是不確定的，是一個隨機變數，因此不能用一個確定的數值來描述收益率。一般通過概率分布來描述隨機變數。概率分布的兩個重要數字特徵是均值和方差。
均值方差分析方法在描述收益率時，使用概率分布的均值。由於均值也稱數學期望，所以這個描述被稱為期望收益率，記做E(R)。在描述風險時，使用概率分布的方差，記做Var(E)。方差代表了分布的一種離散程度，而離散程度正好可以刻畫不確定性。根據概率分布知識可知：
。
投資組合有效邊界模型
如果進行多個投資，那麼就得到了一個投資組合。那怎麼根據單個投資去進行最優的組合？投資組合和各個投資的收益和風險有什麼關係呢？
根據前邊的均值方差分析方法，我們可以把問題轉換一下，轉換為研究聯合分布和單個分布之間的關係。馬科維茨投資組合有效邊界模型就是通過這個研究得出的。
馬科維茨觀察不同投資的組合，並推導出各投資在不同權重下的風險-收益曲線，也就是聯合分布的方差（標準差）-均值曲線。最終，他發現，存在一條最優組合曲線，對於給定收益率（均值），這條曲線上的投資組合有最小的風險（方差），這條曲線就是有效邊界，也稱有效前沿。
這個過程需要強大的計算能力，因為計算組合的方差時，根據單個投資權重和投資間協方差進行加和。曲線上每一個點都需要進行這個計算。例如，有n個投資的投資組合，就有n(n-1)/2個協方差需要計算，計算量和投資個數是平方關係。這個均值和方差的計算過程可以用以下公式描述：
下圖就是多個投資組合的風險-收益圖形。其中每一個點代表一個投資組合，黃色的線就是有效前沿，上邊的點在給定預期收益的情況下，有最小的風險。
投資者在進行投資時，只需要選擇其無差異曲線(indifference curve)和有效前沿的交點就能得到最優投資組合，如下圖。
雖然這些理論現在看來可能比較平常，但是放到那個年代，是非常具有開創性的。那個年代的投資分析很少有定量方法，大多都是靠經驗和感覺，而且偏收益分析而輕風險分析。馬科維茨的理論提供了可靠的量化分析方法均值方差分析方法，將收益和風險共同分析，且給出了有效前沿的模型。用現在的話說，就是大開腦洞。這套理論為投資組合管理未來的發展奠定了基礎。
當然這套理論也有缺陷，比如有相同的均值和方差，只是前兩階矩相同，分布和風險可能是不同，因為還有偏度等高階矩的影響。但這不會動搖這套理論的重要地位。
附：模型假設
1.風險是基於收益率波動進行衡量的。
2.投資者是風險厭惡的。
3.投資者傾向於提升效用。
4.效用函數是concave function，邊際效用呈現遞減趨勢，效用隨風險增加而增加，。
5.分析基於單一投資期。
6.在給定風險的情況下，投資者會選擇收益更高的投資，在給定收益的情況下，投資者會選擇風險更低的投資。
7.投資者是理性的。
說明：對於concave function，不太好翻譯，因為大陸很多數學書籍關於函數凹凸性定義和國外的定義是相反的，和很多經濟學書籍也是相反的。Convex Function就是函數圖形在切線之下的函數。
參考資料
[1] 韓立岩.投資學：金融資產定價
[2]埃爾頓等.現代投資組合理論和投資分析
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