MP64：經典規範場(1)：纖維叢

廣義相對論、引力上的數學結構，和電動力學有某些類似性。我們先介紹一些經典(非量子)規範場的知識，從電動力學中熟悉一些概念，以便更好地理解Einstein場方程。

纖維叢

規範場要從纖維叢講起：

由於我們長期在歐式空間上處理問題，我們對歐式空間的點和平移點的向量之間的微妙關係缺少認識。現在到了微分流形上，我們逐漸要將點和點上生長的向量區分開。纖維叢就是數學上精確地描述如何在流形的點上生長向量，從而在流形的所有點上都長出線性空間的結構。

MP13：纖維叢

纖維叢的定義非常清晰地提示我們，流形上的點和點上生長出的向量有明確的區別——類比過去討論的仿射空間和變換羣的關係；流形上不同兩點上生長的向量有明確的區別——前面討論的平行移動和聯絡的問題。

根據cite{Karoubi2008}的定義：

令為拓撲空間，其上的準向量叢(quasi-vector bundle)：

i. ，有一個有限維實向量空間

ii. 這些向量空間的不交並 $E=sqcup_{}^{} E_x$ 上有一個拓撲，誘導出各個向量空間上的自然拓撲，且滿足投影(projection)映射 是連續的。

如果通過乘積拓撲(product topology)，令，可以在上構造準向量叢，則稱其為平凡向量叢(trivial vector bundles)。一個準向量叢，如果可以局部地與一個平凡向量叢同構，則稱為向量叢。

準向量叢的第一條公理表明，實向量空間是附著在點上的。這一點上長出的任何向量，都是依附在點上，所謂皮之不存毛將焉附，皮就是拓撲空間，毛就是點上的向量。各點上向量空間的不交並 $E=sqcup_{}^{} E_x$ 只是一個集合，並沒有任何數學結構，通過第二條公理通過自然拓撲確保了投影的連續性，於是它有了拓撲結構。

平凡向量叢是很容易理解的概念。我們見過許多平凡向量叢的例子。如果是微分流形，那麼可以決定一個切空間，不同點上的切空間雖然同構，但並非是一個。如果，此刻微分流形成為平直的仿射空間，而所有點上都有一個平移變換羣，於是兩者可以構造平凡向量叢。對於任意的微分流形，由於它局部和這個平凡向量叢同構，於是切叢構成向量叢。

G-叢

通過把平凡纖維叢粘合起來，可以構造纖維叢。這種做法，如果不考慮其上的微分結構，本質上就是一種拓撲技術——拓撲上基本的粘合映射/商空間技術。若 ${U_k}$ 是流形的開覆蓋，有線性空間，現在我們把平凡向量叢粘合起來，得到一個纖維叢。粘合的要點是要考慮到開覆蓋 ${U_k}$ 中鄰近(相交)的兩個開集之間，即對要考慮如何過渡，這裡可以回憶一下微分流形定義中坐標卡重疊區域的坐標過渡問題。

我們使用的過渡方法藉助於作用在線性空間上的變換羣。如果存在映射可以對保持羣結構

那麼稱是上的羣的一個表示(representation)。羣的表示是一種同態。實際上不同的Lie羣給出的是不同的Yang-Mills方程(Yang-Mills equation)，可以描述標準模型(standard model)中的各種力。這些羣就是所謂的對稱羣或者規範羣(gauge group)。