CPT（Conservative Power Theory）是2003年Paolo Tenti 與Paoto Mattavelli提出一種新的功率理論[1]。它嘗試對非正弦條件下電壓電流進行分解，並將其分量作為有源濾波器或分散式電源參考電流指令的一部分，對系統諧波與不平衡分量予以補償，提高系統的電能質量。

2010 年該團隊對該理論進行改進[2]，2011 年給出了完善的描述[3]。

國際上，已有相關文章基於該理論研究微電網電能質量的治理問題[4]。

而Czarnecki教授對該理論進行細緻研究後[5]，認為該理論並不正確。

CPT理論中定義的無功電流為： i_{r}(t)=frac{W}{|hat{u}|^{2}}hat{u}(t)

其中： W=(hat{u},i)=frac{1}{T}int_{0}^{T}hat{u}(t)i(t)dt

W是CPT理論中定義的「無功能量」。加引號是因為電容的「無功能量」根據定義為負數，而能量顯然不能為負數。

hat{u}(t) 是電壓源 u(t) 的無偏積分。定義為：

其中：

CPT認為無功電流 i_{r} 可以由「無功能量」W 解釋，那究竟啥是「無功能量」？

CPT對「無功能量」的解釋為：」無功能量是電路中電感和電容儲能的能量「。

為了驗證該解釋，我們來計算理想LC電路中儲存的能量。如下圖所示

圖1、理想無功負載

電壓源為 u(t)=sqrt{2}Ucosomega t .

LC中儲存的能量為： E=frac{1}{2}Li_{L}^{2}(t)+frac{1}{2}Cu^{2}(t)=frac{U^{2}}{omega^{2}L}sin^{2}omega t + CU^{2}cos^{2}omega t

再來算算CPT理論中定義的W:

hat{u}(t)=sqrt{2}frac{U}{omega}sinomega t

W=(hat{u},i)=frac{1}{T}int _{0}^{T}hat{u}(i_{L}+i_{C})dt=(frac{1}{omega ^{2}L}-C)U^{2}

顯然」無功能量「並不是LC中儲存的能量。也就是CPT對W的解釋是錯的。

在LC諧振的情況，即 frac{1}{omega L}=omega C . W的值為0;

而儲存的能量E為 frac{1}{omega^{2}L}U^{2} .

下面的例子將更加證實」無功能量「W的解釋是錯誤的。

圖2、周期開斷的阻性負載

電壓源為： u(t)=sqrt{2}Usinomega t .右側為一個晶閘管與一個純電阻。晶閘管的導通角為 alpha .它的電流波形如下圖。

則電流可分解為： i(t)=sum_{k=1}^{infty}i_{n}(t)=i_{1}(t)+sum_{k=2}^{infty}i_{n}(t)

其中基波電流 i_{1}(t)=sqrt{2}I_{1}sin(omega t -varphi_{1})

電壓源的無偏積分為： hat{u}(t)=-sqrt{2}frac{U}{omega}cosomega t

所以」無功能量「為： W=(hat{u},i)=sum_{n=1}^{infty}(hat{u_{n}},i_{n})=(hat{u},i_{1})=frac{1}{T}inf_{0}^{T} hat{u} i_{1}dt=frac{UI_{1}}{omega}sinvarphi_{1}

沒有儲能能力的電路中 卻存在「無功能量」W，顯然W 與儲能現象是無關的。

即CPT理論對於其理論基石的解釋是錯的。

接下來我們在頻域中，分析純無功負載的「無功能量」

egin{equation}label{1} u(t)=sum_{nin N}=sqrt{2}sum_{nin N}U_{n}cosnomega_{1}t end{equation}

它的無偏微分為：

egin{equation}label{2} hat{u}(t)=sum_{nin N} hat{u}_{n}(t)= sqrt{2}sum_{nin N}frac{U_{n}}{nomega_{1}}sin nomega_{1}t end{equation}

n次諧波下，純無功負載可表示為：

egin{equation}label{3} mathbf{ Y_{n}}=G_{n}+jB_{n}=jB_{n} end{equation}

若在n次諧波下，負載為感性的，則

egin{equation}label{4} jB_{n}=j(omega c-frac{1}{omega L})=-jfrac{1}{omega L_{e}}<0 end{equation}

egin{equation}label{5} i_{n}(t)=sqrt {2}|B_{n}|U_{n}cos(nomega_{1}t-90^{circ})=sqrt{2}|B_{n}|U_{n}sinnomega_{1}t end{equation}

若n次諧波下，負載為容性

egin{equation}label{6} jB_{n}=j(omega c-frac{1}{omega L})=jomega C_{e}>0 end{equation}

egin{equation}label{7} i_{n}(t)=sqrt{2}|B_{n}|U_{n}cos(nomega_{1}t)angle0^{circ}astangle90^{circ}=-sqrt{2}|B_{n}|U_{n}sin(nomega_{1}t) end{equation}

因此，純無功負載的電流可表示為

egin{equation}label{8} i(t)=sum_{nin N}i_{n}(t)=-sqrt{2}sum_{nin N}Sgn{B_{n}}|B_{n}|U_{n}sinnomega_{1}t end{equation}

無功能量 W為：

egin{equation}label{9} W=(hat{u},i)=sum_{nin N}(hat{u}_{n},i_{n})=sum_{nin N}W_{n}=-sum_{nin N}sgn{B_{n}}|B_{n}|frac{U^{2}_{n}}{nomega_{1}} end{equation}

從這個式子可以看出，根據不同諧波次數下 B_{n} 可正可負，導致W中部分分量相互抵消。

這種現象與Budeanu理論中 Q_{B} 的定義類似。

諧波無功功率 Q_{B}

egin{equation}label{10} Q_{B}=sum_{nin N}U_{n}I_{n}sinvarphi_{n}=sum_{nin N}Q_{n} end{equation}

正因為無功功率相互抵消的錯誤，才逐漸導致人們逐漸拋棄了它

若把Qb改寫下，則w與Qb極其類似

egin{equation}label{11} Q_{B}=sum_{nin N}U_{n}I_{n}sinvarphi_{n}=-sum_{nin N}sgn{B_{n}}|B_{n}|U^{2}_{n} end{equation}

此外，在Budeanu理論中， Q_{n} 代表相應諧波下無功能量的振幅，振幅 Q_{n} 的求和在電路中無任何物理現象對應。

因此，「無功能量」w似乎回到了功率理論發展的起點，它與Illovici在1925定義 Q_{I} 等效

根據Illovici所述，無功能量應定義為純電感電路中瓦特表測得的數據，假設電路無損耗。則

egin{equation}label{12} Q_{I}=sum_{nin N}frac{1}{n}U_{n}I_{n}sinvarphi_{n}=-sum_{nin N}sgn{B_{n}}|B_{n}|frac{U^{2}_{n}}{n}=omega_{1}W end{equation}

即， Q_{I} 與W只相差一個係數 omega_{1} ，與 Q_{I} 一樣，他不能描述物理現象。

無功電流

egin{equation}label{13} i_{rT}(t)=frac{W}{|hat{u}|^{2}}=frac{1}{L_{e}}hat{u}(t) end{equation} 「無功能量W」的物理意義不明確， i_{rT}(t) 同理。

利用CPC理論可詳細闡述

egin{equation}label{14} u(t)=sqrt{2}Resum_{nin N}U_{n}e^{jnomega_{1}t} end{equation}

CPT理論下無功電流為：

egin{equation}label{15} i_{tT}=sqrt{2}Resum_{nin N}frac{1}{jnomega_{1}L_{e}} extbf{U}_{n}e^{jnomega_{1}t} end{equation}

這與Shepherd和Zakikhani定義的無功電流不同

egin{equation}label{16} i_{r}(t)=sqrt{2}Resum_{nin N}jB_{n} extbf{U}_{n}e^{jnomega_{1}t} end{equation} 即 i_{rT}(t) 只是 i_{r}(t) 的一部分

測試算例：

圖4、RL負載和電容器補償無功能量W

egin{equation}label{17} W_{c}=(hat{u},i_{c})=-sum_{nin N}frac{nomega_{1}C}{nomega_{1}}U^{2}_{n}=-Csum_{nin N}U_{n}^{2}=-C|u|^{2} end{equation}

取並聯電容 C=frac{W}{|u|^{2}} ,則可完全補償「無功能量W」

CPT下 i_{rT}(t) 為

egin{equation}label{18} i_{rT}^{}(t)=sqrt{2}Resum_{nin N}j(nomega_{1}C-frac{1}{nomega_{1}L_{e}}) extbf{U}_{n}e^{jnomega_{1}t} end{equation}

由於C與 L_{e} 在諧波階次下變化規律不同，真實的 i_{rT}^{}(t) 並不如上式所表達那樣隨著階次增加，W逐漸減小為0.等效電感增加至無窮，真實的無功電流沒用被補償

無效電流

egin{equation}label{19} i(t)=i_{a}(t)+i_{rT}(t)+i_{v}(t) end{equation}

所以

egin{equation}label{20} i_{v}(t)=i(t)-[i_{a}(t)+i_{rT}(t)] end{equation}

在CPT理論中該量是在時域中確定的，物理概念不清晰，利用CPT可在頻域中進行解析

egin{equation}label{21} i_{a}(t)=G_{e}u(t)=sqrt{2}Resum_{nin N}G_{e} extbf{U}_{n}e^{jnomega_{1}t} G_{e}=frac{P}{|u|^{2}} end{equation}

egin{equation}label{22} i_{rT}(t)=sqrt{2}Resum_{nin N}frac{1}{jnomega_{1}Le}U_{n}e^{jnomega_{1}t} end{equation}

所以

egin{equation}label{23} i_{v}=sqrt{2}R_{e}sum_{nin N}[(G_{n}+jB_{n})-G_{e}-frac{1}{jnomega_{1}L_{e}}] extbf{U}_{n}e^{jnomega_{1}t} end{equation}

其中分散電流為：

egin{equation}label{24} i_{s}(t)=sqrt{2}R_{e}sum_{nin N}[(G_{n}-G_{e}) extbf{U}_{n}e^{jnomega_{1}t}] end{equation}

正交分量為：

egin{equation}label{25} i_{vr}(t)=sqrt{2}R_{e}sum_{nin N}j(B_{n}+frac{1}{nomega_{1}L_{e}}) extbf{U}_{n}e^{jnomega_{1}t} end{equation}

因此

egin{equation}label{26} i_{v}(t)=i_{s}(t)+i_{vr}(t) end{equation}

無效電流的rms值為

egin{equation}label{27} |i_{vr}|=sqrt{sum_{nin N}(B_{n}+frac{1}{nomega_{1}L_{e}})^{2}U^{2}_{n}} end{equation}

圖5、RL負載補償無功能量W的結果

當將電容如圖5連接到電路中補償「無功能量W」，所以供電電流中不包含無功電流 i_{r} ，無效電流中的正交分量變為：

egin{equation}label{28} i_{vr}^{,}=sqrt{2}Resum_{nin N}j(B_{n}+nomega_{1}c)U_{n}e^{jnomega_{1}t} end{equation}

均方根值為

egin{equation}label{29} |i_{vr}^{,}|=sqrt{sum_{nin N}(B_{n}+nomega_{1}C)^{2}U_{n}^{2}} end{equation}

因此， i_{rT} 的容性補償改變了無效電流值且隨著諧波階次增加，變化越大。

即， i_{rT} 的補償總是伴隨著無效電流均方值的增加。下面以一個算例說明，

egin{equation}label{30} U_{1}=U_{5}=100e^{j0^{o}}V , |u|=100sqrt{2}V end{equation}

則負荷諧波電流 均方根值為

egin{equation}label{31} I_{1}=70.7e^{-j45^{o}} end{equation} egin{equation}label{32} I_{5}=19.9e^{-j79^{o}} end{equation} egin{equation}label{33} |i|=73.4A end{equation}

設 omega_{1}=1 ,則無功能量為

egin{equation}label{34} W=Resum_{n=1,5}frac{U_{n}}{jnomega_{1}}(Y_{n}U_{n})^{*}=0.538 imes10^{4}J end{equation}

所需的並聯電容值為

egin{equation}label{35} C=frac{W}{|u|^{2}}=0.269F end{equation}

供電電流變為：

egin{equation}label{36} I_{1}^{,}=55.1e^{-j24.8^{o}}A, end{equation} egin{equation}label{37} I_{5}^{,}=115.3e^{-j88.0^{o}}A, end{equation} egin{equation}label{38} |i^{,}|=127.8A end{equation}

雖然「無功能量」被補償為0，但無效電流rms值增加了，降低了功率因數。

畸變功率

根據CPT理論，LC電路中電流僅包含無功電流和無效電流，即

egin{equation}label{39} i(t)=i_{rT}(t)+i_{v}(t) end{equation}

供電電流既不包含Fruze功率理論下的有功電流，也不包含CPC功率理論下的分散電流。 i_{rT} 和 i_{v} 相互正交：

egin{equation}label{40} |i|^{2}=|i_{vt}|^{2}+|i_{v}|^{2} end{equation}

兩邊乘以電壓rms值 |u| ，則有：

egin{equation}label{41} s^{2}=Q_{T}^{2}+D_{T}^{2} end{equation}

其中， D_{T}=|i_{v}| imes|u| 為負載的畸變功率（無效功率），畸變功率首次由Budeanu提出，它定義為

egin{equation}label{42} D_{B} riangleqsqrt{S^{2}-P^{2}-Q_{B}^{2}} end{equation}

然而， D_{T} 與 D_{B} 是完全不同的。 D_{B} 解釋為電壓電流的互相畸變對負載視在功率的影響的度量。但這個觀點被Czarnecki批評否定。下面檢查 D_{T} 是否與電壓電流的相互畸變有關。

圖6、無功負載電路

設

egin{equation}label{43} u(t)=sqrt{2}(100sinomega_{1}t+30sin3omega_{1}t)V end{equation}

egin{equation}label{44} omega_{1}=1 rad/s end{equation}

導納 Y_{1}=-j1/2S,Y_{2}=j1/2S 「無功能量」W 為

egin{equation}label{45} W=-sum_{nin {{1,3}}}sgn{B_{n}}|B_{n}|frac{U_{n}^{2}}{nomega_{1}}=4.85kJ end{equation}

egin{equation}label{46} |widehat{u}|=sqrt{sum_{nin{1,3}}(frac{U_{n}}{nomega_{1}})^{2}}=sqrt{(frac{U_{1}}{omega_{1}})^{2}+(frac{U_{3}}{3omega_{1}})^{2}}=100.5Vt end{equation}

所以

egin{equation}label{47} |i_{rT}|=|frac{Q}{|widehat{u}|^{2}}widehat{u}(t)|=frac{|W|}{|widehat{u}|}=48.26A end{equation}

負載電流rms值為

egin{equation}label{48} |i|=sqrt{sum_{nin {1,3}}(Y_{n}U_{n})^{2}}=sqrt{(0.5 imes100)^{2}+(0.5 imes30)^{2}}=52.20A end{equation}

所以

egin{equation}label{49} egin{split} |i_{v}|&=sqrt{|i|^{2}-|i_{vT}|^{2}}=19.9A qquad D_{T}=|i_{v}||u|=2.08kVA\ i(t)&=sqrt{2}[50sin(omega_{1}t-frac{pi}{2})+15sin(3omega_{1}t+frac{pi}{2})]\ &=sqrt{2}[50sinomega_{1}(t-frac{T}{4})+15sin3omega_{1}(t-frac{T}{4})]A=frac{1}{2}u(t-frac{T}{4})\ end{split} end{equation}

負荷電流僅是電壓相移的 frac{T}{4} ，儘管存在 D_{T} 電壓電流互相併未畸變，這也證明了 D_{T} 與電壓電流畸變無關。

CPT理論中，不平衡電流僅含兩種成分，有功無功成分定義為

egin{equation}label{53} |i_{uT}|=I_{a}^{u}=sqrt{sum_{n=1}^{3}(frac{P_{n}}{U_{n}})^{2}-(frac{P}{U})^{2}} end{equation}

P_{N} 代表n相負載的有功功率， U_{n} 是n相電壓rms值，U是集總參數rms 值。

egin{equation}label{54} |u|=U=sqrt{U_{1}^{2}+U_{2}^{2}+U_{3}^{2}} end{equation}

然而（50）並未能給出正確的不平衡電流，以下算例：

圖7、不平衡負載阻性電路

egin{equation}label{50} egin{split} E_{1}=100^{j0^{circ}}V,E_{2}=100V^{-j120^{circ}}V,E_{3}=100V^{j120^{circ}}V\ P_{1}=0,P_{2}=15kW,P_{3}=15kW,P=30kW\ U_{1}=U_{2}=U_{3}=100V,quad U=|u|=sqrt{3}U=173.20V\ |i_{uT}|=I_{2}^{u}=sqrt{sum_{n=1}^{3}(frac{P_{n}}{U_{n}})^{2}-(frac{P}{U})^{2}}=122.4A end{split} end{equation}

這並不是電路中真實的不平衡電流，已知

egin{equation}label{53} egin{split} i(t)&=i_{a}(t)+i_{u}(t)\ |i|^{2}&=|i_{a}|^{2}+|i_{u}|^{2}\ |i|&=sqrt{I_{1}^{2}+I_{2}^{2}+I_{3}^{2}}\ |i_{a}|&=frac{P}{|u|}=frac{30 imes10^{3}}{173.2}=173.20A end{split} end{equation}

因此

egin{equation}label{63} |i_{u}|=sqrt{|i|^{2}-|i_{a}|^{2}}=173.20A end{equation}

雖然兩種演算法不平衡電流值不同，但第二種演算法與對稱分量法保持一致

結論

CPT理論似乎返回到了Illovici與Budeanu理論，CPT對無功電流未能給出很好的解釋，W與實際物理現象無關，無效電流 i_{v} 沒有物理意義，雖與畸變功率 D_{T} 有關，但與電壓電流之間的畸變無關。總之，CPT誤讀了電路中的功率現象。

[1] Tenti, P., & Mattavelli, P. (2003). A time-domain approach to power term definitions under non-sinusoidal conditions. LEnergia Elettrica, 81, 75-84.

[2] Tenti, P., Mattavelli, P., & Paredes, H. K. M. (2010, June). Conservative power theory, sequence components and accountability in smart grids. In Nonsinusoidal Currents and Compensation (ISNCC), 2010 International School on (pp. 37-45). IEEE.

[3 Tenti, P., Paredes, H. K. M., & Mattavelli, P. (2011). Conservative power theory, a framework to approach control and accountability issues in smart microgrids. IEEE Transactions on Power Electronics, 26(3), 664-673.

[4] Mortezaei, A., Simoes, M., Savaghebi, M., Guerrero, J., & Al-Durra, A. (2016). Cooperative control of multi-master-slave islanded microgrid with power quality enhancement based on conservative power theory. IEEE Transactions on Smart Grid.

[5] Czarnecki, L. S. (2016, October). What is wrong with the Conservative Power Theory (CPT). In Applied and Theoretical Electricity (ICATE), 2016 International Conference on (pp. 1-6). IEEE.


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