本文經授權轉載自《老顧談幾何》微信公衆號

【2019年3月22-24日，清華三亞人工智能高端論壇將在三亞市召開。23日下午，5：40-6：10pm，老顧將介紹和丘成桐先生的近期工作“最優傳輸觀點下的對抗生成模型”，包括用蒙日-安培方程正則性理論來解釋模式崩潰問題。敬請光臨指導。 】

老顧的童年生長在經濟文化相對落後的東北，母親家族世代生活在醫巫閭山腳之下。醫巫閭山上碑刻摩崖星羅棋佈，古剎殿堂雲霧繚繞。每年梨花綻放時節，遍山浸透“香雪海”。醫巫閭山的望海峯頂，坐落着契丹遼國太子耶律倍的讀書堂，這裏一度是契丹王朝的文化中心。千年之後，醫巫閭山脈草莽出沒，迷信橫行。童年時，父母經常哀嘆遼地科學落後，文化不興。那時冬日晚上，寒風呼嘯，滴水成冰，電視尚未普及，族人親戚經常聚在一起，談古論今，講述充滿薩滿風情的民間傳說。父輩們都認爲世間存在着一些世外高人，他們開了天眼，通曉天地玄機，洞悉歷史未來，領悟了宇宙奧義，超越了世俗生死。那時契丹佛教文化早已煙消雲散，但是女真薩滿文化仍有留存。當地民間傳說中依然記得這樣一位世外高人，耶律楚才。耶律楚才通天文地理，律歷術數，以及釋老醫卜，曾經輔佐成吉思汗、窩闊臺，爲留存推廣漢家文化，做出不可磨滅的貢獻。童年時，父母親戚教導老顧少年時要壯遊天下，追隨世外高人，努力習得真知灼見。

數十年後，老顧回顧求學生涯，覺得此生的確有幸遇到世外高人：丘成桐先生。丘先生的先祖可能爲躲避成吉思汗的鐵蹄，南下閩粵，成爲客家人。丘成桐先生童年貧寒卻壯志凌雲，苦學不輟，終開天眼，將微分幾何和偏微分方程融爲一爐，創立幾何分析學派，在數學領域開天闢地，震爍古今！丘先生證明過一系列猜想，氣魄恢弘，雷霆萬鈞！其中卡拉比-丘成桐流形揭示了宇宙間最爲幽深的奧祕，解釋了基本粒子的本源規律。倉頡造字而夜鬼哭，卡丘流形而上帝驚！當年小顧遠渡重洋，來到哈佛大學，拜在丘先生門下，承蒙丘先生不嫌小顧學識粗淺，矇昧愚鈍，將小顧收留並悉心教導。那時小顧慧根不夠，冥頑幼稚，無法領悟丘先生教授的天機。現在回想，依然懊悔不迭。但是在丘先生的指導下，在幾何分析門派的薰陶下，老顧多少有一些親身經歷和人生體悟。在丘先生超越時代的目光注視下，老顧竭盡所能將幾何分析的思想推向實踐應用。

目前丘成桐先生衆多弟子中，只有老顧同時在數學和計算機科學領域進行研究。因此，在數十年的學術生涯中，老顧能夠具有與衆不同的視角，看到獨特奇妙的風景，更有難以言傳的洞察和一言難盡的體驗。在過去的數十年中，老顧目睹了丘先生所創立的幾何分析學派高歌猛進，不斷揭示大自然瑰麗雄奇的祕密。特別是證明龐加萊猜想的黎奇曲率流方法更加體現了幾何分析方法的博大精深、強悍有力。另一方面，計算機科學徹底革命了人類社會，接踵而至的各種技術浪潮，深刻地改變着人類的經濟模式、社交方式和思維範式。丘先生認爲基礎科學的突破影響深遠，是人類文明的真正推動力量，但是，絕大多數的芸芸衆生囿於所處的社會環境和歷史侷限，很難充分認識並且有機會踐行這一點。作爲計算機科學家，老顧不懈地追逐每一個技術浪潮，力圖在每一次浪潮中尋求具有根本重要性的基礎問題，用丘先生教授的幾何分析手法加以解決。老顧一直夢想着將幾何分析的光輝思想在計算機技術中發揚光大，從而將陽春白雪介紹入尋常百姓家，從物質層面爲人類文明做出力所能及的些許貢獻。

圖1. 曲面參數化。

公元兩千年左右，恰是計算機圖形學飛速發展的時代，基於物理的渲染計算模型成熟，數字幾何這一分支領域開始獨立，動漫遊戲工業蓬勃發展。最爲顯著的標誌就是昂貴的專用圖形工作站被廉價的圖形加速卡所取代，特別是紋理貼圖的技術極大地提高了渲染算法的質量、提高了計算機生成圖像的逼真程度。紋理貼圖依賴於曲面參數化技術，這一技術本質上等價於計算曲面到平面區域之間的微分同胚，同時儘量減小几何畸變。當時黎曼映照被用於拓撲簡單曲面的參數化，但是這種方法無法處理拓撲復雜曲面。那時，丘先生教會了老顧阿提亞-辛格指標定理：黎曼流形上橢圓形偏微分方程解空間的維數由流形的拓撲所決定。具有黎曼度量的可定向曲面都是黎曼面。在黎曼面情形，指標定理就是黎曼-羅赫定理。對於曲面全局參數化，我們的算法本質上是在計算全純一次微分（holomorphic one form）。當時，丘先生深入淺出地給老顧講解了這一理論的所有細節，酣暢淋漓，深邃精妙。老顧感悟到了這一理論美輪美奐，也想像到了巨大的實用價值。深刻理解了抽象理論之後，轉化成算法就自然是水到渠成。很快老顧實現了計算機算法，這或許是人類歷史上首次全純微分形式顯示在計算機屏幕之上。一旦抽象的黎曼面概念變成了通用算法，其應用的範圍就遠非其發明者所能想象。當時數字幾何領域的計算機科學家對於全純微分的概念並不瞭解，無法給與這一算法恰如其分的評價，致使這一發明受到冷遇。當時老顧年輕氣盛，滿腔熱情受到現實挫折後，變得憤世嫉俗。其實，那時也有很多學者具有遠見卓識，對於這一橫空出世的算法秉持支持欣賞態度。

圖2. 全純微分形式誘導的葉狀結構。

數年後，依隨核磁共振和計算機斷層掃描技術的成熟，醫學圖像浪潮興起。CT圖像用於直腸癌篩查。由於腸壁曲面具有很多皺褶，隱藏其間的息肉難以被查出。老顧和合作者們提出將直腸曲面攤開展平的想法，並用全純微分的方法加以實現，這成爲虛擬腸鏡技術的一個核心。很快基於全純微分方法的虛擬腸鏡算法專利被轉讓給西門子和GE公司，成爲他們CT掃描設備配套軟件的標配。十數年後，無論老顧走到任何一個城市，如果和當地醫院的放射科醫生攀談，都會談到虛擬腸鏡。前些天老顧和友誼醫院的大夫討論，他主動演示了虛擬腸鏡的實例，看到平展在屏幕上的直腸曲面，老顧頓覺釋然：全純微分形式終於以丘先生和老顧意想不到的方式在全世界普及開來，藉助虛擬腸鏡的應用而家喻戶曉。相信這一抽象的黎曼面概念和幾何分析的方法已經在全世界拯救過不少的生命，而這一切都來自於丘先生辦公室中的那塊黑板。那天午後，憑藉這塊黑板，丘先生教會了老顧上同調羣、調和微分形式、霍奇分解、全純微分等玄而又玄的概念。哪裏想到多年之後，天下有醫院處，就有幾何分析，就有全純微分。

圖3. 虛擬腸鏡。

那時候，每個週末都會從紐約飛來一位教授，俊逸瀟灑，風流倜儻。一雙明眸，深情誠摯，直達心底，令異性無法抗拒。這就是後來名滿天下的哈密爾頓先生（Richard Hamilton），黎奇曲率流的發明人。哈密爾頓先生和丘先生每個週末都夜以繼日、通宵達旦地討論如何用黎奇流證明龐加萊猜想。老顧也在那個階段學習了黎奇流的相關理論知識。丘先生一直認爲構造具有特殊性質的黎曼度量在微分幾何中具有中心的地位。老顧後來在工程領域的研究生涯中，真切地驗證了這一真知灼見。計算機視覺、醫學圖像領域中的曲面配準、形狀識別、幾何歸類本質上都和構造標準黎曼度量有關。而黎奇流是構造黎曼度量的不二法門。雖然隨着龐加萊猜想的證明完成，黎奇流的理論日臻完美，黎奇流的離散理論尚未發展成型。老顧和合作者們經過多年努力，最終建立了離散曲面黎奇流的嚴格理論，發展出實用的算法。走在曼哈頓街頭，高樓林立，行人如織，在老顧看來都是各色曲面，在黎奇流下萬宗歸一，都會變形成具有常曲率黎曼度量的曲面。宛如《駭客帝國》中的Neo走在矩陣（Matrix）之中，覺得世間萬物皆爲代碼，曼哈頓街頭的老顧也經常覺得眼前一切幻像，背後必有永恆的真實，因而經常物我兩忘，神遊天外。相比於全純微分形式，黎奇流更爲廣泛深刻，普適有力。雖然人們依然沒有意識到這一方法的潛在價值，老顧深信未來會有一天，黎奇流也會以令人難以想象的方式普惠天下。

圖4. 黎奇曲率流計算的標準黎曼度量。

依隨時代的發展，當下以深度學習爲代表的人工智能掀起狂潮。這一浪潮對於傳統的科學哲學帶來了前所未有的衝擊。深度學習用相關性替代因果律，用經驗公式替代理論體系，很多學者主張用計算蠻力取代深刻理解。主流的觀點認爲人工的特徵篩選無法和機器的端到端學習相匹敵。傳統的拓撲幾何、偏微分方程迅速成爲冷門，年輕一代將巨大的熱情和精力投入到永無止境的調參中去。在一片喧囂中，老顧依然堅持從丘先生那裏學來的治學方法：用嚴密的數學來分析事物的本質，用幾何觀點來理解深度學習的方法。老顧傾向於認爲數據具有內在的模式，模式可以用高維數據空間中低維流形上的概率分佈來描述。深度學習方法能夠隱式地發現流形的結構，同時實現概率測度變換。而概率測度變換可以由多年前丘先生教給老顧的蒙日-安培方程理論來理解。

圖5. 蒙日-安培方程方法計算的最優傳輸映射。

1995年，老顧剛到哈佛大學，在麻省理工選修“機器視覺”課程。當時Horne教授提出基於閔可夫定理的曲面表示方法。當時老顧求教於丘先生，丘先生給老顧講解了蒙日-安培方程理論，特別是基於亞歷山大定理的幾何求解方法。丘先生也給老顧講解了蒙日-安培方程解的正則性理論，提到了汪徐家教授的定理。當時老顧只體會到這些定理的美學價值，但是並沒有意識到如此深邃的理論會有朝一日直接應用到工程領域。在數十年的計算機科學領域的學術生涯中，老顧從來沒有看到過任何研究工作是基於偏微分方程解的正則性理論。但是，出乎意料的事情再度發生。近幾年來，深度學習中的對抗生成網絡方法如日中天，但是這一方法的訓練相對困難，系統對於超參數異常敏感，經常出現所謂的模式崩潰的現象。老顧團隊認爲對抗生成網絡的一部分計算是用於概率測度變換，這一變換和蒙日-安培方程的解密切相關。由正則性理論，概率變換映射通常是非連續變換，而深度神經網絡只能表達連續映射，這一內在矛盾解釋了深度學習的內在困難，例如模式崩潰。令人意外的是，經過多年的蟄伏，二十五年前學習的理論居然成爲解決時下熱門問題的關鍵；在最爲反傳統的時髦領域，根本問題的解決之道在於最爲傳統的理論。依據蒙日-安培方程的亞歷山大定理，老顧的團隊提出了新穎的計算框架，這一框架非常適合硬件實現，期待基於這一理論的AI芯片早日出現。

圖6. 模式崩潰的幾何解釋。

回顧過去的歷史，老顧看到幾何分析的思想和方法在計算機科學發展的每一個浪潮都大有用武之地，對於很多領域根本問題的理解都有獨到的觀點，提出了卓有成效的解決方法。雖然計算機技術的發展日新月異，但是它們依然是根植於基礎數學。丘先生數十年前教授給老顧很多幾何分析的方法，領先於時代，在當時的技術水平下無法充分發揮其內在的潛力；數十年後這些抽象的概念和思想逐漸被轉化成計算機算法，日益滲透到社會生活之中。

童話中的世外高人的確行走於人間，那些開了天眼之後洞察的自然奧祕，經過刻苦學習之後可以被天資平庸之人所領悟。能夠師承丘先生，老顧一直覺得三生有幸。全純微分形式、黎奇流、標準黎曼度量、蒙日-安培方程等等，丘先生傳授的這些基本概念和思想成了老顧生命中的壓艙石，令老顧時刻警醒，免於浮躁，超脫喧囂。行走於紅塵之中，飄忽於天地之間，老顧無時不刻體會到超越於生命之外的永恆。

丘先生有一次告訴老顧，宇宙是高維的，時空的每一點都有一個卡拉比-丘流形作爲纖維，在未來，這些纖維將會成爲星際旅行的關鍵。我們由衷希望在丘先生九十壽辰之際，這一夢想成爲現實！

【2019年3月20日清晨，寫於上海浦東機場。】