我們今天聊點好玩的。

CS界最火熱的莫過於人工智慧技術了，其中最有趣的就是神經病網路；

而物理中近幾年來最有意思的是超出朗道相變的拓撲相變理論。

最近，有人在使用機器學習相關方法去做相變的表徵，例如：

https://www.nature.com/articles/nphys4037.pdf?origin=ppub?

www.nature.com

我們發現，作者使用了無監督學習中的主成分分析（PCA）去分類Kitaev Model的糾纏譜（ES）從而得到拓撲分類；一個簡單的問題是，這樣的主成分分析是建立在ES已經成功分類的基礎之上的，

來自上文。

而糾纏特徵譜是一個相對本身就很高級的概念，我想指出，因為有限大小的格子，在能隙內存在邊界上的無能隙的激發，僅僅通過本徵譜或者本徵函數就可以學習到拓撲相變，不需要ES將數據進行複雜的預處理。

為什麼物理可以被機器學習？實際上，物理上的東西是比生活中的東西更加適合被機器理解的，一個簡單的想法是，對於local的哈密頓，有一些所謂的domain wall；而在時間域上， left| psi(t+dt) ight angle=Norm(left|psi(t+dt) ight angle-iHdtleft| psi(t+dt)) ight angle 關聯度很大，因此無論是N D統計或者是N+1 D動力學，至少傳統的RNN，CNN看起來是優秀的，但是畢竟是煉丹，多得就不知道了。

我們先看一個低能力的例子，然後做作業的時候，我們大開腦洞。

本徵函數的例子我將通過SSH模型給出，也就是我們這裡的重點，而本徵譜學起來很簡單。

SSH的哈密頓量很簡單，

拓撲相出現在 delta t<0 的時候，由於是二次的，一兩行命令就能寫出來體系的哈密頓核：

diag1 = np.array(
[1 + delta_t*(-1)**(i) for i in range(2*L-1)],
dtype = complex,
)
H = np.diag(diag1,-1) +np.diag(diag1,1)

然後我們可以隨意將之對角化拿到不同能量下的粒子數分佈：

w,v = blas.eigh(H)
N=np.real(np.conj(v)*v)

隨後，N的第 N 列就對應了 w 中第 N 個本徵能量對應的本徵函數的分佈，我們將之畫出，得到拓撲相和非拓撲相下的分佈：

紅色圈圈就是我們的目標,也就是SSH模型在零能量附近的邊緣態。

我們可以用電腦大量的產生這樣的數據，我自己是產生了一大推，並且可以手動的加上on-site弱的disorder（也可以不加，但是拓撲是穩定的），我們現在隨便寫一個神經病網路，我用的是一個叫做派電筒(pytorch)的包，我們這樣去寫一個無監督學習：

class AutoEncoder(nn.Module):
def __init__(self):
super(AutoEncoder, self).__init__()

self.encoder = nn.Sequential(
nn.Linear(4*L*L, 128),
nn.ReLU(),
nn.Linear(128, 64),
nn.ReLU(),
nn.Linear(64, 2),
)
self.decoder = nn.Sequential(
nn.Linear(2, 64),
nn.ReLU(),
nn.Linear(64, 128),
nn.ReLU(),
nn.Linear(128, 4*L*L),
)

def forward(self, x):
encoded = self.encoder(x)
decoded = self.decoder(encoded)
return encoded, decoded

各個量的含義自明。

我們使用阿達姆優化器，小氣的正方形錯誤作為我們的損失函數，我們在0前後隨便搜8000個數據（可以是加無序的拓撲），然後patch成32個，然後shuffle了送進去，我們很快可以得到：

1標記的是有拓撲的，0標記的是沒有拓撲的地方；收斂的很快，為了大家方便，我特意煉丹到一個比較慢的學習步驟上去，得到：

我們看到，學波函數簡直是一個trivial的事情。

本徵譜的一個簡單的例子是，在有限大的方格子畫磁通為 Phi = {p over q} 2 pi 的能譜分佈：

來自NPJ QI,2016,15,Wang,etc.

會發現在能隙中的本徵值的個數 N_l 和總的本徵值的個數 N 大概有著 1/l 的關係，其中 l 是體系的周長。如果上面的圖太密集了不好看，就看我畫的，懶得打標題了：

通過使用任何一種無監督學習的辦法去學習本徵譜，我們可以對體系的拓撲性質進行刻畫（有無拓撲），至少通過我的測試，可以將體系分為Qauntum Hall (Z), Normal Insulator, 和Normal Mental. 這個看起來就更加基本一些了。通過本徵譜學習拓撲，留作習題。

作業：

1、Qi Xiao-Liang 指出，[1712.01850] Determining a local Hamiltonian from a single eigenstate 對於一局域哈密頓的單一的本徵態，就幾乎足夠得到整個哈密頓了。看起來很詭異，但是通過關聯譜函數的研究，我們看到，事實確實如此。試構建合適的人工智障，基於單個本徵態去判斷體系是否有能隙。

2、對於相互作用體系，我們能否如此進行拓撲分類？對於非厄米體系呢？

3、試利用RNN去處理TEBD的前一段數據，證明，RNN對於某些體系確實具有預測能力。

4、試證明，上面的自煉丹過程(auto-encode)確實能夠區分MBL態，無論這個態的數據來自ED還是來自DRMG-X。

蔡家麒，華中科技大學物理學院，

於18年10月作

Email: caidish艾特hust.edu.cn

Blog: https://physcai.com

代碼太zz，就不開源了。

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