如何估算日地距離？

天文中許多許多量的估算都依賴於日地距離，但是這一個量在現代科學技術完善之前是怎麼被估算出來的？

以下內容翻譯（準確說是大致按照它的意思重寫）自：

How was the Earth-Sun distance originally calculated??

astronomy.stackexchange.com

並未獲得原答主授權，僅供參考。

在Sheehan和Westfall的著作《金星凌日（The Transits of Venus）》中，我們可以看到，喜帕恰斯（Hipparchus）在埃拉托色尼（Eratosthenes）所測量的地球（註：大圓面，可能是赤道的）的周長的基礎上算出地月距離，阿利斯塔克（Aristarchus）又在地月距離的基礎上計算出了日地距離。
薩摩斯（註：愛琴海中一島名）的阿利斯塔克是第一個用幾何學方法嚴格計算日地距離的人。當在地球上看，月亮恰好有一半被照亮的時候（上弦月或者下弦月），此時地球 - 月球 - 太陽成直角，如下圖所示（圖是我自己加的，沒按比例畫）。此時，他可以測量天空中太陽和月亮的角距離，進而通過地月距離計算出日地距離。

一個示意圖

答主簡單的估算：

設地月距離（質心距離，下同）為 $d_{1}$ ，日地距離為 $d_{2}$ ，日月角距離為。其中和已知。

則 $cosalpha=frac{d_1}{d_2}$ ， $d_{2}=frac{d_1}{cosalpha}$ 。

帶入測量值，地月距離取半長軸約為 $d_{1}=3.844 imes10^5, m{km}$ ，測量得此時的日月角距離為，得 $d_{2}=frac{d_1}{cosalpha}$ $approx1.573 imes10^8, m{km}$ 。而現代天文學和空間科學的觀測所測量出的地球繞太陽公轉的軌道半長軸為 $aapprox1.496 imes10^8, m{km}$ ，可見這樣估算出的值是比較準確的（誤差的來源主要是地月距離不一定是半長軸的長度）。

不過，根據上面的那篇stackexchange帖子，阿利斯塔克實際上測出的日月角距離為，這就很尷尬了——算出來的日地距離只有大概 $d_2^{,}approx7.34 imes10^6, m{km}$ 。

實際上第一個比較準確地測量出日地距離的是惠更斯（Huygens）。
惠更斯是怎麼做到的呢？當時他知道，在望遠鏡中看，金星和我們的月亮一樣會有相位的變化。他還知道，金星的相位變化取決於太陽 - 金星 - 地球所成的夾角。當金星位於地球與太陽之間時，背向我們的那一面被照亮，我們看到的金星就是暗的。當金星在太陽的另一側時，被照亮的面積就會更大。而當太陽、金星和地球成恰當角度時，金星看起來就是上弦或者下弦的相位。現在，如果我們知道三角形的兩個內角和一條邊，那這個三角形就確定了。惠更斯知道太陽 - 金星 - 地球的角度，因為這個角度確定了相位。他也可以直接測量太陽 - 地球 - 金星的角度，這也就是天球上金星和太陽的角距離。那麼，他現在只需要知道是時金星與地球的距離就可以了。剩下來的就是簡單的三角學了。然而惠更斯在這裡就卡住了。當然，他知道，如果你知道一個東西的視大小（註：角度）和絕對大小（註：線度），就能測出它的距離。問題在於，惠更斯認為自己知道金星到底有多大——通過一些數字命理學和神祕學的東西（註：其實就是瞎蒙的），他得出結論，金星應該和地球一樣大。然而不得不承認，歷史的行程真的可以比自我奮鬥更重要，他居然蒙對了！（註：金星的半徑大概是0.95個地球半徑）通過簡單的幾何學和瞎蒙的數據，惠更斯首次給出了一個天文單位的較為準確的估計值。

勞資就是這麼牛逼！不服咋的？

1672年，卡西尼（Cassini）試圖利用火星視差的方法計算日地距離。他的方法是正確的。

視差是所觀測的天體（相對於觀測者）在兩處不同位置時在天球上形成的角度差。位移相同，離得越遠，視差越小。然而，結果的準確程度取決於視差測量的精度，在那個時代，後者無法做到精確測量。

1716年，艾德蒙·哈雷（Edmond Halley）發現可以利用金星凌日來精確測量不同緯度的觀測者觀測到的太陽的視差。

在不同的緯度上觀測金星凌日，可以看到金星從太陽盤面上不同的位置劃出一根不同長度的弦。金星在凌日期間基本上是勻（角）速的，故弦長基本上正比於凌日時間。所以說，觀測者並不需要進行長度測量，只需要計時就行了。幸運的是，當時的擺鐘已經足夠精確了。他們可以以較高的精度測量長達若干小時的凌日過程所需的時間。不過，下一次金星凌日要等到1761年。

尷尬的是，在等待過程中，人們發現了黑滴現象（Black drop effect），這使得精確測量凌日的起止時間變得十分困難。此外，還有當時的望遠鏡的成像質量、氣流的幹擾等各種因素。這些因素使得當時人們計算出太陽相對於地球半徑的距離的視差從8.28角秒到10.20角秒都有。

最後，在1769年的金星凌日時，人們在挪威、加拿大的哈德遜灣設立了北部觀測站，並把著名航海家、探險家詹姆斯·庫克（James Cook）船長派到了大溪地（Tahiti，就是《神盾局特工》裏Coulson天天refer的那個magical place）設立南部觀測站。最終，計算出太陽相對於地球半徑的距離的視差為8.6角秒，與現代測量值8.794角秒相差並不算多。

按照8.6角秒計算，則 $dapproxfrac{R}{sinalpha}approxfrac{6.4 imes10^3, m{km}}{sin8.6}approx1.535 imes10^8, m{km}$ 。同樣和今天的精確值 $aapprox1.496 imes10^8, m{km}$ 對比可以看出，這在那個年代是一個非常準確的估計值。