2. 时间序列分析-自回归移动平均过程及脉冲响应函数

上一节介绍了自回归过程，本节介绍移动平均过程以及两者的结合。然后推导脉冲响应函数。

一、移动平均过程

字面意思，移动平均过程（Moving Average Process, MA）指的是白杂讯的移动平均，白杂讯定义见第0节。根据白杂讯滞后的阶数分为一阶和高阶。一阶的移动平均过程具有以下形式：

$y_{t}=mu+epsilon_{t}+ heta_{1}epsilon_{t-1}$

其中， $left{epsilon_{t} ight}$ 为白杂讯： $Eepsilon_{t}=0$ , $Cov(epsilon_{t}, epsilon_{s})=0,t≠s$ 。 $heta_{1}$ 为待估计参数。常数为 $left{ y_{t} ight}$ 的均值。因为对等式两边求期望 $E(y_{t})=Emu+Eepsilon_{t}+ heta Eepsilon_{t-1}=mu$ 。

高阶（阶）的移动平均过程形式如下：

$y_{t}=mu+epsilon_{t}+ heta_{1}epsilon_{t-1}+cdotcdotcdot+ heta_{q}epsilon_{t-q}$

其中， $left{epsilon_{t} ight}$ 为白杂讯： $Eepsilon_{t}=0$ , $Cov(epsilon_{t}, epsilon_{s})=0,t≠s$ 。 $heta_{1}, heta_{2},cdotcdotcdot, heta_{q}$ 为待估计参数。为 $left{ y_{t} ight}$ 的均值。

形式上看，可以视为 $y_{t}$ 自身均值与有限个白杂讯的线性组合。或者理解为围绕自身均值进行白杂讯形式的微小的波动。我们有 $y_{t}$ 的时间序列数据，如何估计参数？不可行因为我们没有 $epsilon_{t}$ 的数据。 $left{epsilon_{t} ight}$ 为独立同分布的正态分布，是可行的。

二、自回归移动平均过程

自回归移动平均过程（）由和删去常数项的两块组成，因为中已经有常数项 $eta_{0}$ ，形式如下：

$y_{t}=eta_{0}+eta_{1}y_{t-1}+cdotcdotcdot+eta_{p}y_{t-q}+epsilon_{t}+ heta_{1}epsilon_{t-1}+cdotcdotcdot+ heta_{q}epsilon_{t-q}$

如果让，就得到 $y_{t}=mu+epsilon_{t}+ heta_{1}epsilon_{t-1}+cdotcdotcdot=mu+sum_{j=0}^{∞} heta_{j}{epsilon_{t-j}}$

其中， $heta_{0}=1$ 。的意义是把 $y_{t}$ 的决定因素追溯到无穷远的过去，每期有一个冲击 $epsilon_{t}$ ，累加起来得到 $y_{t}$ 。要有意义，需要无穷级数 $sum_{j=0}^{∞} heta_{j}{epsilon_{t-j}}$ 收敛。收敛的一个充分条件是系数绝对值可加总，即 $sum_{j=0}^{∞}| heta_{j}|<∞$ 。实践中样本容量有限，不能追溯到无穷远。但仍有重要的理论意义，因为与都可以写为的形式！证明见下。

三、脉冲响应函数

首先把改写为

$y_{t}=eta_{0}+eta_{1}y_{t-1}+epsilon_{t}\ =eta_{0}+eta_{1}(eta_{0}+eta_{1}y_{t-2}+epsilon_{t})+epsilon_{t}\ =cdotcdotcdot\=eta_{0}(1+eta_{1}+eta_{1}^{2}+cdotcdotcdot)+epsilon_{t}+eta_{1}epsilon_{t-1}+eta_{1}^{2}epsilon_{t-2}+cdotcdotcdot\=frac{eta_{0}}{1-eta_{1}}+epsilon_{t}+eta_{1}epsilon_{t-1}+eta_{1}^{2}epsilon_{t-2}+cdotcdotcdot$

第一个等号是的定义，第二个等号是 $y_{t-1}$ 表达式的迭代，第三个等号省略的是 $y_{t-2}$ ， $y_{t-3}$ ,...不断迭代。第四个等号是无穷等比数列求和。把最后一行对比表达式，发现 $frac{eta_{0}}{1-eta_{1}}$ 相当于原来的， $eta_{1}^{j}$ 相当于原来的 $heta_{j}$ ，所以平稳的和是等价的！

为什么这么写？

因为改写之后，可以视为过去所有扰动项效应之和，并且扰动项，或者叫冲击，对的影响力呈几何级数递减，即 $frac{partial y_{t}}{partialepsilon_{t-j}}=eta_{1}^{j}$ 。表达式的含义：第期的冲击 $epsilon_{t-j}$ 变化一个单位对的影响为 $eta_{1}^{j}$ 。注意到 $frac{partial y_{t}}{partialepsilon_{t-j}}$ 与绝对时间无关，只是相对时间间隔的函数。所以 $IRF=frac{partial y_{t}}{partialepsilon_{t-j}}=eta_{1}^{j}$ 被称为脉冲响应函数（Impulse Response Function，IRF）。字面意思就是刻画对 $epsilon_{t-j}$ 一单位脉冲的响应。画在平面上就被称为脉冲响应图。类似地，采取不断迭代的方法，可以把和写成的形式，定义脉冲响应函数。如何直观理解脉冲响应函数？具体例子见下一节。