模擬電磁波問題中的金屬物體——選擇合適的邊界條件
金屬是一種高導電材料，能夠非常好地反射入射的電磁波—光、微波及無線電波。當通過 RF 模塊和波動光學模塊模擬頻域電磁波問題時，您可以通過其中的幾個選項來模擬金屬對象。這裡，我們將介紹阻抗、過渡邊界條件和完美電導體邊界條件，並說明每類條件何時使用。
什麼是金屬？
對於什麼是金屬這個問題，我們可以從用於求解電磁波問題的 Maxwell 控制方程組開始。考慮以下頻域形式的 Maxwell 方程組：
上述方程通過 RF 模塊和波動光學模塊的電磁波，頻域介面求解。方程求解了工作（角）頻率
下的電場
。其他輸入項包括以下材料屬性：
是 相對磁導率、
是 相對介電常數，
是電導率。
出於本文的討論目的，我們將假設集膚深度相對較小且有損耗的材料都是金屬。有損耗材料指任何介電常數或磁導率為複數值、或電導率非零的材料。也就是說，有損耗材料會向控制方程引入一個虛數值項。這會在材料內產生電流，集膚深度是電流進入材料內深度的測量指標。工作頻率非零時，電磁感應都會將有損耗材料中的電流推向邊界處。集膚深度是指電流減小到 63% 時進入材料的距離，可以通過以下公式計算：
和
都可以是複數值。
在極高的頻率（接近光學波段）下，材料接近等離子共振，我們實際上會通過複數值介電常數來表徵金屬。但當在低於這些頻率下對金屬進行模擬時，我們可以假設介電常數為一、磁導率為實數值，電導率非常高。因此上述方程可以簡化為：
阻抗邊界條件
既然已經知道了集膚深度，我們希望能將該值與模擬對象的特徵尺寸
進行對比。
有幾種定義方式。根據具體情況，特徵尺寸可以定義為體積與表面積的比值，或模擬對象最薄部分的厚度。
我們假設一個
的對象；也就是說，對象遠大於集膚深度。雖然會有電流進入對象內部，但集膚效應會將這些電流推到表面上。因此，從模擬的角度來看，我們可以將電流看作在表面上方流動。此時就可以使用阻抗邊界條件，它會將邊界「背後」的所有材料處理為無限大。從電磁波的角度來看，這一點成立，因為
說明波不會穿透對象。
藉助阻抗邊界條件 (IBC)，我們可以假定電流完全在表面之上，因此不必再模擬模型金屬域內任何部分的 Maxwell 方程組。所以，不必再對這些域的內部進行網格剖分，並能顯著減少計算工作量。此外，IBC 還計算了由有限電導率造成的損耗。對於 IBC 適用情況以及與解析結果的對比，您可以查看腔體諧振器的 Q 因子和諧振頻率教程案例。
隨著
，IBC 將逐漸更精確；對於類似球體的光滑對象，即使
，它仍能保持精確。對於類似楔形的鋒利對象，拐角處會略微不精確，不過正如 「通過圓角消除電磁場的奇異性」 文章中的討論，這屬於局部影響，也是向模擬引入尖角後的一個固有問題。
現在，如果我們要處理類似鋁箔這種一個維度遠小於其他維度的對象呢？此時，一個方向上的集膚深度可能會與厚度相當，因此電磁場將部分穿透材料。此時就不再適合使用 IBC，我們將使用過渡邊界條件。
過渡邊界條件
過渡邊界條件 (TBC) 適用於模擬對象的厚度與特徵尺寸和曲率相比較小的導電材料層。即使厚度是集膚深度的數倍，還是可以使用 TBC。
TBC 會將材料屬性及膜厚度作為輸入項，並通過膜厚度及切向阻抗來計算阻抗。這些可以用於將膜兩側表面的電流關聯起來。也就是說，TBC 會造成所傳輸電場的下降。
從計算的角度來看，為了計算 TBC 兩側的電場，邊界處的自由度數將增加一倍，如下圖所示。此外，還將計算通過膜厚度的總損耗。有關該邊界條件使用的示例，您可以查看分光器教程案例，它利用一個複數值介電常數模擬了銀薄層。
增加表面粗糙度
截至目前，TBC 和 IBC 都假定表面是完美的。我們一般認為平面邊界在幾何上是完美的。正如 「線性靜態問題的網格剖分注意事項」 文章中的介紹，彎曲邊界可以在所用有限元網格的精度內被解析，即幾何的離散誤差。
對於 IBC，輸入是表面高度粗糙度的均方根 (RMS)。對於 TBC，輸入為膜厚度變化的均方根。粗糙度的幅值應大於集膚深度，並遠小於零件的特徵尺寸。表面的等效電導率會隨粗糙度的升高而降低，如 E. Hammerstad 和 O. Jensen 在 「微帶線計算機輔助設計的精確模型」 論文中的介紹。雪球模型是第二個粗糙度模型，用到了 P. G. Huray 在「信號完整性基礎」 中提到的關係式。
完美電導體邊界條件
我們還應該再分析一種理想化的情況 — 完美電導體 (PEC) 邊界條件。對於無線電和微波領域的許多應用而言，金屬邊界處的損耗要遠小於系統內的其他損耗。例如在微波電路中，電介質基板處的損耗通常遠大於任何金屬噴鍍處的損耗。
PEC 邊界是一種無損耗表面；能夠 100% 反射入射波。該邊界條件可以滿足許多模擬需求，可以用在模型開發的早期階段。有時，查看您的設備在零材料損耗下的表現也會很有意思。
此外，您可以將 PEC 邊界條件作為對稱條件使用，簡化您的模擬。根據對場的預先判斷，您可以使用 PEC 邊界條件以及其補充，完美磁導體 (PMC) 邊界條件，來使電場強制對稱。計算完美導體球的雷達截面教程案例介紹瞭如何將 PEC 和 PMC 邊界條件作為對稱條件使用。
最後，COMSOL Multiphysics 中還包括表面電流、磁場和電場邊界條件。提供這些條件主要是考慮數學上的完整性，因為我們永遠也無法事先得知表面上的電流和電場。
小結
在本篇文章中，我們重點介紹瞭如何藉助阻抗、過渡及完美電導體邊界條件來模擬金屬表面，並說明瞭每種邊界的應用場景。不過，如果您無法使用其中任意一種邊界條件呢？或者您模擬零件的特徵尺寸與集膚深度類似？此時，您將不能再使用邊界條件；您需要顯式模擬金屬域，類似於對其他所有材料的處理。這是該系列的下一個主題，請繼續關注。
經授權轉載自 cn.comsol.com/blogs，原作者 Walter Frei 。
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