《傅裏葉光學（九）》 信號採樣與重建
1.理想採樣
到目前為止，我們把所有函數都當作連續函數，就是說對於每一個 ， 函數
都有對應的值。在現實中，有許多函數比如說聲波之類的信號，是有頻帶限制的。考慮一個有限帶寬的函數
，有限帶寬意味著在頻域內，只保留通帶的頻率信號，通帶之外的頻率信號為0，即：
，
由於信號中的高頻分量存在限制，因此信號的快速轉換不會非常陡峭，存在最小的平滑度。Whittaker-Shannon採樣定理規定，如果以W或更高的頻率採樣，則可以精確地重建有限帶寬的信號。
可以用comb函數生成一個理想的採樣信號：
其中 是採樣間隔，
是採樣頻率。
我們來看一看這個採樣信號的頻譜是什麼樣的：
根據結果，採樣信號的頻譜是週期性的，是未採樣信號頻譜的有限數量的複製。當採樣信號的頻譜滿足關係 時，採樣信號的頻譜不會出現混疊現象。最小採樣頻率就是奈奎斯特採樣頻率（Nyquist sampling frequency）
2.重構
在頻域中得到了採樣信號的頻譜後，怎樣在空域中重建信號呢？在第一節中提到，採樣信號的頻譜是未採樣信號的頻譜的有限數量的複製，那麼，可以通過一個低通濾波器對採樣信號的頻譜進行濾波，分割出一個未採樣信號的頻譜。
理想低通濾波器可以寫成：
這個濾波的衝激響應為：
那麼重建信號在濾波的輸出為：
也就是說帶限信號可以寫成移位的sinc函數的加權疊加（每個函數帶寬也被限制為W）。
3.混疊
如果採樣頻率 ，那麼未採樣信號的頻譜
的複製就會出現混疊現象，高頻分量的信息就會混疊到低頻分量中。
4.採樣和週期性
傅裏葉變換的定義為：
理想採樣函數的傅裏葉變換為：
這個級數有以下特性：
1.儘管有許多樣本的值為零，這是一個無限的序列。
2.函數F（ξ）在頻率變數ξ中是連續的。
3.函數F（ξ）在頻率變數ξ中是週期性的。
這個變換有很多名稱。有時被稱為離散傅裏葉級數。在函數 取決於時間的通信系統中，它被稱為離散時間傅立葉變換。 為了表述的一致性，我們將其稱為離散空間傅立葉變換。
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