第一個透鏡對 經行了一次傅裏葉變換得到了 ，第二個透鏡對 進行了一次傅裏葉變換得到了 ，也就是說 是 傅裏葉變換的傅裏葉變換。那麼根據傅裏葉變換的性質，可以得到：

根據推導的結果，4-f系統成像的倍率為-1。

• 舉例——衍射光柵

假設一束平面波通過一個方形的光柵，通過後光場的分佈為：

是週期為 的週期函數。根據傅裏葉變換的性質，週期函數可以寫成：

那麼在中間平面 ：

那麼在中間平面的 和 處，有不連續分佈的光強點，光強大小為 。在現實的系統中，不存在無限窄的的由δ函數表示的點，會有有限的寬度（比如說愛裏斑），這些點和光柵的衍射級數有關。4-f系統的第二塊透鏡對中間平面再一次進行了傅裏葉變換，輸出平面的光強和輸入平面相同。

2.濾波

假設在4-f系統的中間平面放置一個模板，其傳輸方程為：

加入這個模板後，在 平面的光波場為：

這個模板相當於是空間濾波器，可以調製原始光波場 的空間頻率。空間頻率振幅的衰減（或增大）由 決定，相位的調製由 決定。

2.1振幅濾波

假設模板是二值的，在不同的位置非0即1。考慮一種特殊的情況，模板有一條狹縫，傳輸方程為：

這條縫允許通過的空間頻率範圍為：

在該範圍之外的頻率均不允許通過。這個傳輸方程如下圖所示，這種濾波被稱為低通濾波（LPF）。

經過4-f系統後，在後焦面的強度分佈如下圖的紅線圖形所示。因為過濾了高頻分量只保留了低頻分量，所以信號強度的分佈不是完美的方波。這個圖形與文章《傅裏葉光學（二）》中，由部分傅裏葉級數疊加而成的方波形狀相類似。

相類似的過程還有高通濾波（HPF，保留高頻分量，過濾低頻分量），帶通濾波（BPF，保留通帶頻率分量，過濾其他頻率）。

2.2相位濾波

在中間平面的模板只改變頻譜的相位而不改變振幅，傳輸方程為：

假設有一塊相位屏，穿過它的光線會改變 的光程長度（optical path length，OPL）， 是一個常數。這就相當於相位屏為：

根據不同的常數 ，經行相位濾波後的圖形如下圖所示。

• 線性相位濾波

• 弱相位濾波

當相位改變非常小，即 ，可以用泰勒級數將相位展開：

用傅裏葉逆變換得到衝激響應：

其中

舉個例子，假設

這是弱正弦相位，進行傅裏葉逆變換得到：

那麼弱相位下近似的衝激響應為：

是正弦衍射光柵的0，+1和-1級。

2.3 同時進行振幅和相位濾波

對一個方波信號同時進行振幅和相位濾波後得到的圖形如下圖綠色的圖形所示。

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