前饋控制系統，也可以認為是開環控制系統，有許多應用實例。比如自動販賣機，信號交通燈，流水線機器手等等。這三個例子無一例外我們可以對模型可以有非常高的認知程度，因為三個實例的模型機理都較為清楚，也比較容易建立數學模型，並且工作環境相對來說比較穩定，幹擾的種類和來源都容易獲得。由此建立的前饋控制系統響應很快，可以降低對帶寬的要求(以後再談帶寬)，由此設計難度和成本可以大幅度下降，迎合了工業界在很多場合的需求。

不過開環控制有其缺點，比如未知的擾動可能會導致系統的不穩定，偏離其預定工作軌跡，從而造成事故。假設較大的幹擾導致電壓波動劇烈，從而影響了電機工作，致使工業機器手的位移受到影響，隨著時間推移，這種偏差在流水線上有可能會逐漸放大，產品製作就會產生毀滅性影響。再比如系統的模型機理如果尚不明確或者不夠準確，獲取一個參考輸入需要依靠大量的實驗，會花費大量時間。解決這些問題的方案是採用閉環控制策略，也就是反饋控制。常用的負反饋控制，解決了開環控制帶來的缺點，使得被控系統的準確性和抗幹擾能力得到了極大的提升。我們之後所講的控制一般都屬於負反饋控制範疇。

開環穩定性 閉環穩定性

我們常見到開環穩定性，閉環穩定性這幾個詞，意思都是指開環系統的穩定性。開環系統（open-loop system）一般是指沒有受到任何反饋控制作用的被控系統，比如我們上一節說的開環控制系統，很多時候也指未設計反饋之前的系統（此係統可能之前已經被某個反饋控制閉環穩定了，這個開環的概念是相對於當前的設計而言的，即將已經穩定的系統作為本次設計的開環系統）。

前面說的開環控制系統，我們就可以討論其開環穩定性。顯然如果開環控制系統能夠正常工作，自身必須是開環穩定的，否則開環控制策略無法使其響應穩定（原因我們在最後一節中會講到）。系統在受到已知擾動時，擾動部分可由事先設計的補償器（compensator）抵消，系統依舊保持在原來的工作狀態，但是受到未知幹擾時，輸出會產生偏差，且會一直存在，無法消除，抗幹擾能力很弱，這是我們在許多場合都不能接受的。如果一個系統開環不穩定，我們只能採用反饋控制使得其穩定。原開環系統與控制器和反饋迴路共同組成了新系統，為閉環系統(closed-loop system)。如何設計反饋信號使得閉環系統閉環穩定，這就是閉環系統設計的基本問題。閉環系統的穩定性簡稱閉環穩定性。一般地，我們稱被控系統叫plant，或者被控過程process，那麼plant, or process在未設計閉環控制前就是一個開環系統。這樣的開環系統可以是穩定的，也可以是不穩定的。如果是穩定的，期望的控制器依舊需要保持其閉環穩定，且改善其響應的動態以達到預期。如果是非穩定的，那麼控制器除了要完成動態的改善（控制品質），也必須實現系統穩定，否則其必然無法正常工作。關於控制品質我們以後還會繼續講到。

總結：閉環控制設計的基本前提就是保證閉環系統的穩定性（開環系統不穩定時），引入閉環的最主要的目的是為了增強系統抗幹擾能力（補償不確定性對系統輸出的影響），設計和優化的方向是提高控制品質。開環控制結構簡單，響應快速，節約成本，但無法修正未知擾動帶來的偏差，不適用於控制精度要求高，受擾情況複雜的系統。

LTI系統穩定性

線性系統由線性微分方程所描述，其穩定性也就是線性微分方程解的穩定性，即給定初值，在無輸入的情況下，當時間趨於無窮時解是否漸進收斂於某個值。對於LTI系統來講，就是考察其齊次微分方程的通解的穩定性，即零輸入響應的穩定性。

而我們在開始提到的穩定性定義，其表述的是系統已經處於平衡狀態，收到幹擾後是否能回到原平衡點的問題。所謂平衡狀態是系統各個狀態的變化率為0時的系統狀態。（關於這個我們會在狀態空間表示系統時重新再提及。）但平衡狀態不一定穩定，按照我們最開始的定義，如果輕微的擾動不能讓系統重回原來的平衡狀態，那麼這就是不穩定平衡狀態（試想你能立起一個雞蛋，但如果輕微振動桌子，它會立刻傾倒）。

如果我們稱前者為運動穩定性，後者為平衡態穩定性，那麼對於一個一般的系統而言，它們並不等價（[2]中有關於這個結論的描述，卻不提原因）。對於一個非線性系統而言，它可能有多個平衡狀態。若考慮運動穩定性，從某一個給定初值出發，在不受到擾動和輸入的情況下，最後解可能落入一個其中一個平衡狀態，那麼這個初值就屬於系統的穩定域。如果所有的初值都能讓系統最後進入平衡狀態，那麼這個系統就是全局（運動）穩定的。如果只有一部分初值可以，那麼就是小範圍或者局部（運動）穩定的。在非線性系統裏系統的初值對最後解的去向和結構是存在重大影響的，這一點也線性系統有很大的差別。在線性系統中解的穩定性是由系統的結構和參數確定的，而與初值無關（但是特殊初值會改變解的組成）。從以上可以看出，運動穩定性考慮的是解在無窮時間時是否接近某個平衡狀態，但是不同的初始條件下，解可能會落入不同的平衡狀態，根據定義每一解都是穩定的。若我們考慮平衡狀態穩定性，如果系統的初始條件使得系統處於平衡狀態，此時如果受到擾動，那麼系統的狀態將發生改變。如果原來平衡狀態是穩定的，那麼系統狀態（解）會在無窮時間內重新漸進該平衡狀態。反之，如果該平衡狀態不穩定，那麼系統狀態（解）有可能在無窮時間內發散到無窮遠，也有可能進入另外一個平衡狀態！但這時候即便解重新進入了平衡狀態，但已經不再是原來的平衡狀態了。因此對於非線性系統而言，穩定性不再是整個系統的屬性了，而是考慮某個條件下（包括初始條件，系統參數和結構）某一個解的穩定性，和針對某一個平衡狀態的穩定性。

對於LTI系統而言，只有一個平衡態或者無窮多個平衡態或者沒有平衡態三種可能。

如果系統特徵值的實部含有正數，則沒有一種解最後能進入平衡態（特殊初始條件令發散模態係數為0除外），那麼該線性系統的解就是運動不穩定的，從而也沒有平衡態穩定性可言。運動穩定和平衡態穩定都不成立，統一稱之為系統不穩定。

如果系統的解都是穩定的，但有無窮多個平衡態，可以證明（特徵值有且只有一個為0，其餘是特徵值為實部為負）不同的初始條件會導致解進入不同的平衡狀態。如果從平衡狀態開始一旦受到擾動而發生狀態改變，我們以擾動後的狀態為初始條件，則大概率會進行另一個平衡狀態（會有巧合導致仍然是原平衡態），因此對這樣LTI系統討論平衡態穩定性的意義也不大。不過我們可以確認系統仍然是一個運動穩定的系統，但是這樣的系統開環工作極易受到幹擾而偏離原來的平衡狀態，很多場合併不能使用。現實中也很難存在特徵值剛好為0的系統。

如果系統的解都是穩定的，且只有唯一個平衡態（全部特徵值實部為負），那麼可以確認通解的唯一平衡狀態就是零解（這裡的狀態指原微分方程的解以及其n階導數，平衡時通解及其n階導數無限趨近於0）。這時候從平衡狀態開始，如果受到任意擾動，則我們可以認為施加擾動後的某個瞬間為時間起點，此時的狀態為系統的新初始條件，系統的解一定會仍然歸於零（因為全部特徵值實部為負，通解必衰減為0）。這時我們發現問題轉化為了運動穩定性。這樣的LTI系統一定是平衡狀態穩定的，且是全局穩定的（無論初始條件如何，最後都將歸於零解）。運動穩定性和平衡狀態穩定性就等價了起來，

所以我們對LTI系統給處一個結論：如果LTI系統只有唯一個平衡態，且證明其特徵值實部均為負，那麼其所有解一定具有運動穩定性，可稱系統也具有運動穩定性。又因平衡態穩定性在這樣的LTI系統中可以由運動穩定性轉化而得，運動穩定性一定保證了其平衡狀態穩定性（再次想明白為什麼？），所以該平衡態（零）一定穩定性的，系統也由此認為是平衡態穩定的。最後可以得出，滿足這樣條件的LTI系統穩定。

在以後的Lyapunov穩定性定理中討論穩定性指的就是平衡狀態穩定性，我們從上面的分析中可知，LTI系統的平衡狀態穩定性和運動穩定性是等價的，我們說LTI系統穩定，也就是指這兩面都是穩定的。Lyapunov穩定性定理對LTI系統的判定也同樣是通過特徵值的實部是否全部為負來確定的，只不過它對穩定性分了很多類，我們以後會繼續展開相關討論。

BIBO穩定 內部穩定性 外部穩定性

上一節我們講了LTI穩定性的判定定理，這節我們講講其他的一些關於穩定性常見的名詞。

你一定聽過BIBO穩定，即輸入-輸出穩定性。關於它的一些數學定義和公式，這裡不再重複列舉。我們在上一節是通過LTI的微分方程特徵值進行穩定性判斷的。現在如果通過LTI系統的傳遞函數進行判斷，我們有如下結論：

傳遞函數的極點全部具有負實部，則系統就是BIBO穩定的。

如果有根在虛軸上（全為單根情況下，由微分方程通解形式決定）則為臨界穩定（工程上一般認為臨界不穩定也是不穩定的）。否則為BIBO不穩定。

這裡的不同就在於傳遞函數的極點未必全都是微分方程的特徵值，因為可能會發生零極點相消，從而傳遞函數中的正實部極點有可能被消去，只剩下負實部極點。如果發生了相消，只有當LTI系統的初始條件為0的時候，這時候有界輸入才能保證有界輸出，即BIBO穩定。從傳遞函數的定義來看，零初始條件是必須要滿足的，否則系統的輸出就不單單只是傳遞函數乘以輸入的Laplace變換了，還存在因初始條件而產生的分量,即零輸入響應。零輸入響應中一定會包含造成原系統不穩定的正實部極點，從而使得輸出發散。在實際工程中，幾乎不存在剛好消去零極點的系統。

BIBO穩定性被稱為外部穩定性，因其由輸入與輸出所定義，這正是傳遞函數的定義方式，輸出對應系統零狀態響應。而我們之前討論的平衡態穩定性對應的是系統零輸入響應，是討論系統由初始狀態出發，自由運動後最終能否回到原平衡態的問題，我們也稱之為內部穩定性。這兩種穩定性在沒有零極點相消時，即零狀態響應完整地表現了原有系統的模態時，是等價的。零輸入響應是沒有輸入影響的，響應對應的是齊次微分方程，包含了系統所有模態，可以由微分方程的特徵值判斷。由此我們得到結論：

LTI系統的內部穩定性，即平衡狀態穩定性由其特徵值來決定。如果內部穩定顯然可以推得外部穩定（齊次微分方程的通解穩定，對應的非齊次微分方程的非齊次項有界，則最終全解有界，也就是所謂的輸入-輸出穩定）。反過來，如果只保證外部穩定性，也就是傳遞函數所有極點都在左半s平面，無法保證對應的零狀態響應包含了完整的模態（有可能通解中的某個模態因零極點相消被消去了，回憶零極點相消會使某個模態失去作用，靠的很近則會減小模態的影響）。

只有當系統是能控又能觀時才能說他們是等價的，也就是無零極點相消時。這點我們在以後的現代控制理論中會講到。在教科書上提到的用傳遞函數來判斷平衡態穩定性，隱含的條件就是系統沒有發生零極點相消。用傳遞函數來判斷穩定性，我們可以求解其特徵方程的根，也可以使用Routh Array，Hurwitz criterion，Root Locus等工具。關於Root Locus到底有什麼用，怎麼用，我們會在之後有一節的展開，其餘的在通用教科書上都能找到，也沒有什麼太大難度，就不繼續囉嗦了。

穩定LTI系統 開環還是閉環？

我們學習自控時，總是考慮用反饋控制的原因其中一個原因就是為了使開環不穩定的系統能夠穩定。

開環是否能夠不採用反饋而穩定呢？如果設計補償器與開環系統串聯能夠消除其傳遞函數中的不穩定極點，則系統是BIBO穩定的。但是注意，這裡的「消除」只是因為在零初始條件下，系統響應中的不穩定模態前的係數剛好為0。實際上這個不穩定的極點依舊存在於系統之中，因為這是其不變的固有屬性。為了保證BIBO是穩定的，一定要嚴格保證系統的零初始條件。然而實際中這幾乎是不可能辦到的，微小的擾動或者噪音都會導致輸出不斷增大，直到系統執行器飽和或者停機。[1. page 183]。我們的結論是開環控制是不能用於stablize開環不穩定的系統，即便理想情況下能穩定，實際工程中也是毫無意義的。

全篇總結

我們在這一篇中首次討論了系統穩定性，主要針對了LTI系統，也部分提及了非線性系統。首先我們理清了開環與閉環的概念，從此延伸到開環與閉環的穩定性。我們認識到開環不穩定系統只能採用閉環控制策略。然後我們narrow down了研究範圍，討論得出LTI系統和非線性系統的穩定性並不一樣，緊接著得出了穩定性判斷的方法。對於一些穩定性的名詞我們做了解釋，也瞭解了BIBO穩定性和內部穩定性的關係。瞭解了這些內容，整個經典控制理論中的穩定性問題就基本掌握了。其中的一些知識點，在教科書上都有的，我沒有詳細列舉公式。但重點概念的解釋和理解，我認為已經書寫到位了。如果有問題，請在下方評論。

Reference

[1] G.F. Franklin, J.D. Powell, A.Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, 7th Edition, 2014, Pearson

[2] 胡壽松，自動控制原理（第六版），2013，科學出版社

若有紕漏，煩請指出。轉載還請私信聯繫，請勿私自轉載。O(∩_∩)O

推薦閱讀：