6. 穩態誤差與系統類型

這一篇我們主要講講穩態誤差（steady-state error）和系統類型（system type）。這是經典控制中最為關心的系統性能指標之一。經典控制在過去主要研究的是regulation的問題，穩態時的誤差大小是十分重要的指標。

我們研究regulation的問題時reference input是一個常數。而plant受到的擾動在很多時候也是一個常數偏差。即便是在通常的tracking問題中，也會有很多時候reference input 會保持在一個接近常數的水平，或者能夠被一個多項式（polynomial）所描述。

以電梯為例子，在沒到達指定樓層之前，電梯會有一個ramp function作為輸入，從而讓電梯有恆定速度。當然也可以保持恆定的加速度。

如此說來，研究多項式描述的參考輸入對系統的穩態誤差是具有意義的。

定義系統類型（type），是系統最高可以追蹤的信號的多項式的階次。比如step function 是0階多項式，ramp function是一個1階多項式，acceleration function是一個2階多項式。

Tracking問題的系統類型

對於一個單位反饋系統（unity

feedback system），plant 的傳遞函數為

，控制器的傳遞函數為 $D_{cl}(s)$ ，開環傳遞函數 $GD_{cl}(s)$ ，假設plant 的幹擾和sensor的噪音為0，定義誤差為輸入端與輸出端之間的差，其Laplace變換為E(s):

$E(s)=frac{1}{1+G{{D}_{cl}}}R(s)$

如果E(s)是穩定的，那麼可以應用Final Value Theorem求得對多項式信號 $R(s)=frac{1}{s^{k+1}}$ 穩態誤差:

$[{{e}_{ss}}=underset{t o infty }{mathop{lim }},e(t)=underset{s o 0}{mathop{lim }},sE(s)=frac{s}{1+G{{D}_{cl}}}R(s)=frac{s}{1+G{{D}_{cl}}}frac{1}{{{s}^{k+1}}}]$

以step function為例，，那麼如果開環傳遞函數沒有0處的極點，也就是積分器 $frac{1}{s}$

，那麼穩態誤差為：

$[{{e}_{ss}}=underset{s o 0}{mathop{lim }},frac{s}{1+G{{D}_{cl}}}frac{1}{{{s}^{1}}}=frac{1}{1+G(0){{D}_{cl}}(0)}=frac{1}{1+{{K}_{p}}}]$

其中定義了 $K_{p}$ 為position constant。

如果系統的開環傳遞函數中只有一個積分器 $frac{1}{s}$ ，那麼我們可以改寫上式為

$[{{e}_{ss}}=underset{s o 0}{mathop{lim }},frac{s}{1+G{{D}_{cl}}}frac{1}{s}=underset{s o 0}{mathop{lim }},frac{s}{1+frac{G{{D}_{cl}}(s)}{s}}frac{1}{s}=underset{s o 0}{mathop{lim }},frac{{{s}^{2}}}{s+{{K}_{n}}}frac{1}{s}=underset{s o 0}{mathop{lim }},frac{s}{s+{{K}_{n}}}=0]$

其中 $[G{{D}_{cl}} ext{=}frac{G{{D}_{cl}}(s)}{s}]$ ，也就是我們把 $frac{1}{s}$ 給分離出去，讓 $[G{{D}_{cl}}(s)]$ 在時為一個常數 $K_{1}$ ，此時系統為Type 1，I型系統。

如果有多個積分器 $frac{1}{s^n}$ ,那麼有 $[{{e}_{ss}}=underset{s o 0}{mathop{lim }},frac{s}{1+G{{D}_{cl}}}frac{1}{{{s}^{k+1}}}=underset{s o 0}{mathop{lim }},frac{s}{1+frac{G{{D}_{cl}}(s)}{{{s}^{n}}}}frac{1}{{{s}^{k+1}}}=underset{s o 0}{mathop{lim }},frac{{{s}^{n+1}}}{{{s}^{n}}+{{K}_{n}}}frac{1}{s}=underset{s o 0}{mathop{lim }},frac{{{s}^{n-k}}}{s+{{K}_{n}}}]$

顯然如果，那麼穩態誤差就變為了0。

如果那麼穩態為一個常數，系統為Type k。

否則

系統就無法track該多項式信號，最終發散。

定義系統類型的意義在於，如果系統的參數發生改變，而又不會移除開環系統在0處的極點，系統依舊會track同類型的多項式信號而保持收斂。在單位反饋下，系統類型是一種相對於系統參數變化的魯棒特性。魯棒性是採用單位反饋的主要原因（非單位反饋是否具有這種特性，請自行驗證。）

Regulation問題的系統類型

對於regulator，我們要考察干擾對系統穩態誤差產生的影響。

我們假設參考輸入為0，那麼輸出誤差應該就是為0。但是如果加入了幹擾，那麼此時的輸出就定義為誤差，Laplace變換為。

$E(s)=0-frac{G}{1+G{{D}_{cl}}}W(s)=-frac{G}{1+G{{D}_{cl}}}W(s)$

同樣可以定義

$[{{e}_{ss}}=underset{s o 0}{mathop{lim }},-frac{sG}{1+G{{D}_{cl}}}W(s)=-underset{s o 0}{mathop{lim }},frac{sG}{1+G{{D}_{cl}}}cdot frac{1}{{{s}^{k+1}}}=-underset{s o 0}{mathop{lim }},frac{G(s)}{1+GD{{}_{cl}}(s)}cdot frac{{{s}^{n}}}{{{s}^{k}}}=-{{J}_{n}}underset{s o 0}{mathop{lim }},{{s}^{n-k}}]$