說一說格林函數與系統態密度

最近搬到了計算態密度的磚，第一時間沒有回憶起來這塊磚該怎麼搬。（就很尷尬）

這篇筆記是對格林函數和系統態密度關係的一個粗略的總結。

格林函數定義見wiki

https://zh.wikipedia.org/wiki/格林函數?

zh.wikipedia.org

態密度的定義

粒子能量間隔處於內的量子態數.

e.g. 這裡我們以spin-0 自由粒子為例，直接對相空間積分可以得到^[1]

$egin{aligned} D(varepsilon) mathrm{d} varepsilon &=int_{mathrm{d} varepsilon} frac{mathrm{d} omega}{h^{3}}=frac{1}{h^{3}} iiint_{V} mathrm{d} x mathrm{d} y mathrm{d} z iiint_{mathrm{d} varepsilon} mathrm{d} p_{x} mathrm{d} p_{y} mathrm{d} p_{z} \ &=frac{V}{h^{3}} 4 pi p^{2} mathrm{d} p=frac{2 pi V}{h^{3}}(2 m)^{3 / 2} varepsilon^{1 / 2} mathrm{d} varepsilon end{aligned}。$

我們也可以利用函數的性質來刻畫系統的態密度^[2]

$ho(omega)=frac{V}{(2 pi)^{3}} sum_{i} int_{Omega^{*}} mathrm{d}^{3} q deltaleft(omega-omega_{i}(oldsymbol{q}) ight)$

利用來選出附近的系統的態。

可以直接地看出，對於自由粒子來說以上兩種方法能夠得到同樣的結果。（可能歸一化係數需要調整一下）

格林函數與態密度

.1 從Schr?dinger方程說開去

考慮方程 $i hbar frac{partial}{partial t} psi(q, t)=hat{H}left(q, frac{hbar}{i} frac{partial}{partial q} ight) psi(q, t)$ .

容易看出，該方程的解具有如下形式，

$psi_{n}(q, t)=e^{-i E_{n} t / hbar} phi_{n}(q)。$

其中是哈密頓運算元對應於本徵值的本徵矢。考慮正交性 $int_qmathrm{d}q phi_n(q)phi_m^*(q) = delta_{m,n}$ ，完備性 $sum_{m}phi_m(p)phi_m^*(q)=delta(p-q)$ ，一個一般的波函數可以寫成本徵矢的線性疊加

$psi(q, t)=sum_{n} c_{n} e^{-i E_{n} t / hbar} phi_{n}(q)$ 。

容易地，係數 $c_n = int d q phi_{n}^{*}(q) psi(q, 0)$ 。

這樣，可以將一般的波函數寫成

$psi(q, t)=int d q^{prime} Kleft(q, q^{prime}, t ight) psileft(q^{prime}, 0 ight)$

這裡 $Kleft(q, q^{prime}, t ight)=sum_{n} phi_{n}(q) e^{-i E_{n} t / hbar} phi_{n}^{*}left(q^{prime} ight)$ 即為傳播子。它也同樣是Schr?dinger方程的解，

滿足 $i hbar frac{partial}{partial t}Kleft(q, q^{prime}, t ight)=hat{H}left(q, frac{hbar}{i} frac{partial}{partial q} ight) Kleft(q, q^{prime}, t ight)$ 。

注意到傳播子 $Kleft(q, q^{prime}, t ight)$ 在時退化為 $Kleft(q, q^{prime}, 0^+ ight)=sum_{m}phi_m(q)phi_m^*( q^{prime})=delta(q- q^{prime})$ 。這樣傳播子的物理意義便不言自明瞭。

.2 傳播子與狀態密度。

在時間坐標下Schr?dinger方程的格林函數可以寫成

$Gleft(x, t ; x^{prime}, t^{prime} ight)=frac{1}{i hbar} Thetaleft(t-t^{prime} ight) Kleft(x, t ; x^{prime}, t^{prime} ight)$

作傅立葉變換我們得到能量坐標下的格林函數

$Gleft(q, q^{prime}, E+i epsilon ight)=frac{1}{i hbar} int_{0}^{infty} d t e^{frac{i}{hbar} E t-frac{epsilon}{hbar} t} Kleft(q, q^{prime}, t ight)=sum_{n} frac{phi_{n}(q) phi_{n}^{*}left(q^{prime} ight)}{E-E_{n}+i epsilon}$ ，這裡用來避免積分的發散。

考慮函數的洛倫茲表示

$deltaleft(E-E_{n} ight)=-lim _{epsilon ightarrow+0} frac{1}{pi} operatorname{Im} frac{1}{E-E_{n}+i epsilon}$ （右邊可以重寫成函數的洛倫茲表示）

https://physics.stackexchange.com/questions/9574/limit-of-lorentzian-is-dirac-delta?

physics.stackexchange.com

具體證明過程可以在這裡找到。

這樣我們就成功地將系統格林函數和系統的態密度練習起來了

$d(E)=sum_{n} deltaleft(E-E_{n} ight)=-lim _{epsilon ightarrow 0} frac{1}{pi} operatorname{Im} operatorname{tr} Gleft(q, q^{prime}, E+i epsilon ight)$

.3一個簡單的例子

這裡我們考慮一個凝聚態中的經典哈密頓量，lieb-bipartite 格子的最近臨模型

$H_{t b}(mathbf{k})=-2 tleft(egin{array}{ccc}{0} & {cos left(k_{x} a / 2 ight)} & {cos left(k_{y} a / 2 ight)} \ {cos left(k_{x} a / 2 ight)} & {0} & {0} \ {cos left(k_{y} a / 2 ight)} & {0} & {0}end{array} ight)$