脈衝神經網路簡明教程第二章：更精確的基於物理的神經元模型

第一部分：Leaky Integrate-And-Fire 模型簡介

上一章我們講到，突觸前神經元發射的信號，會在突觸後神經元裏疊加，直到超過閾值，發射下一個脈衝。但是突觸前神經元的信號，在突觸後神經元裏具體是怎麼處理的呢？

當一個電流信號進入神經元，會增加膜電位。但是因為細胞膜並不是個完全的絕緣體，所以電荷會慢慢地從細胞膜流出。因為神經元會保存電荷，也會讓電荷從細胞慢慢流出，我們可以把神經元細胞看成一個電路，細胞保存電荷的能力可以看作一個電容，讓電流逐漸流出可以看做是電阻，靜息電位看作為一個電池，見圖 1。

圖 1：I(t) 為輸入電流，u 為膜電位，雙橫槓為電容，藍矩形為電阻，長短雙橫槓為電池，三橫槓為接地

這樣的話，我們輸入的信號不會一直累積，會根據時間慢慢地下降，見圖 2。我們需要在短時間內輸入比較多的脈衝（也就是突觸後電位），才能達到突觸後神經元的閾值來激發一個新的脈衝。

圖 1：兩張圖的橫軸為對其的時間，上面的圖的縱軸為輸入電流，下圖為突觸後神經元的膜電位

第二部分：Leaky Integrate-And-Fire 模型的數學描述

我們將前面講到的物理模型用符號來表示：輸入電流 I(t) 和靜息電壓 u 流過電阻 R 和電容 C ，在電容兩側測得膜電位 u(t) ，見圖 3。

圖 3

根據守恆定理，我們可以將輸入電流 I(t) 寫成流過電阻 R 和電容 C 的電流之和，也就是：

I(t)=I_R+I_C （1）

其中流過電阻的電流根據歐姆定律（ I=frac{U}{R} ），可以被表示成 I_R=frac{u_R}{R} ，其中 u_R 是電阻兩端的電壓，也就是膜電壓 u 減去靜息電壓 u_{rest} ，那麼將其組合得到：

I_R=frac{u-u_{rest}}{R} （2）

輸入電流的另一部分流入電容，根據電容的定義（ C=frac{Q}{U} ），可以得到 Q=Ucdot C 。我們將等式兩邊求導，左半邊的 frac{d}{dt}Q 根據電流的定義（電荷量每秒）可以轉換為 frac{d}{dt}Q=I_C ，右半邊的 C 為常量，可以得到：

I_C=Cfrac{du}{dt} （3）

將公式（2）和（3）帶入（1）：

I(t)=frac{u-u_{rest}}{R}+Cfrac{du}{dt}

將等式兩邊同時乘以 R ，並且將 RCfrac{du}{dt} 項移到等式左邊，剩下的移到等式右邊：

RCfrac{du}{dt}=-(u-u_{rest})+RI(t)

其中 RC 是被稱為膜時間常數（membrane time constant），寫為 au_{m} ，我們得到最終關於時間的微分方程：

au_mfrac{du}{dt}=-(u-u_{rest})+RI(t)

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第三部分：Leaky Integrate-And-Fire 模型的微分方程解

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