為什麼『哥德爾定理』有錯誤？

班明峰

在偉人哥德爾的各項研究中，一九三一年發表的『不完備性定理』具有特別重要的意義。它被譽為"數學和邏輯發展史中的里程碑"。而且，隨著人類文明的進步，不完備性定理正在表現出越來越廣泛、越來越深刻的影響，以致被稱為"一切知識的中心"。

　　哥德爾的不完備性定理。在以往長期的歷史時期內，人們滿懷信心地認為：可以把任何一種數學理論組織成一個"完備的"(和相容的)公理系統，即可找到這樣的有限多條公理，從這些公理出發，按照一定的推理規則，可以"無一遺漏"地推出相應理論中的所有真命題(而且，所推出的也僅僅是真命題，從而，這一公理系統就是稱為『相容』的（無矛盾的)。然而，哥德爾卻證明了這種信念是『錯誤』的，因為，他證明出的「不完備性定理」是：「任何足夠豐富的數學系統，如果是相容的，就一定是不完備的。」也就是說，對於足夠豐富的數學理論(在其中，其能夠發展起算術理論)來說，相應的公理系統 (嚴格地說，其是形式系統)必然是——不相容的——有矛盾的 (一定是不完備的）。

　　由於『哥德爾的不完備性定理』(以下簡稱『哥定理』)違背傳統觀念，因此，在哥德爾發表了自己的定理以後，人們開始爭論，發表了大量的文章和著作，對哥德爾定理及其證明思想進行了解釋和分析，有的對『哥定理』的實質及其普遍意義進行了剖析和論證。（在一九六三年發表的一篇論文中，邏輯學家M.杜墨特則圍繞自然數概念的語義分析，對哥定理的哲學意義進行了論述。）然而，儘管存在大量的文章和著作，『哥定理』在少數專家圈子以外，仍然很少為人們所了解。此外，雖然為數眾多的作者從各種不同的角度進行了分析，但他們普遍的看法仍然是：「我們尚未能夠完全把握住哥德爾定理的深遠意義。」

　　鑒於上述情況，D.霍夫施塔特的《GEB——一條永恆的金帶》一九七九年在美國引起轟動並獲得了普利策大獎。因為，這一著作從一種全新的角度對哥德爾的定理進行了論述，而且，分析的深度也超過了先前的有關著作。

　　霍夫斯塔特，是隨大流圍繞『哥定理』的讚美『皇帝的新裝』來展開全書的論述的。但是，作者並沒有單純地從數學的角度去進行分析，而是十分巧妙地讚美，把埃舍爾的畫、巴赫的樂曲及關於『哥定理』的論述『拉郎配』結合在一起，從而編織出了「一條永恆的金帶」讚美歌。這條『金帶』發出的耀眼光輝不僅照亮和拔高了『哥定理』及其證明思想，而且，它的『更高價值』就在於這一『多方位連接』，即在於揭示出繪畫、音樂與數學這些似乎遙遠相隔系統的人類不同文化領域之間所存在的局部放大鏡看大世界的『驚人的一致性』。據傳，古希臘的畢達哥拉斯學派曾由於發現了諧音中所存在的『數的和諧性』而發展起了自己的哲學理論。但是【凡是沒有經過真理把關證明和實踐檢驗的『雙檢驗』而一步登天得到的任何結論都是不可靠的。】他們發現產生各種諧音的弦的長度都是成整數比的。例如，當兩極綳得一樣緊的弦的長度的比是2：1時，就會發出相差八度的諧音；而如果兩條弦長的比是3：2，就會發出另一種諧音：短弦發出的音比長弦發出的音高五度；等等。上述發現給畢達哥拉斯學派的成員留下了極為深刻的印象，他們因此提出了『萬物皆數』的基本信條，並認為自己終於抓住了『世界最終的終極真理』。但是畢達哥拉斯學派的哲學理論是錯誤的，由局部現象一步登天得出『理論』的辦法是錯誤的，因為本身是『讓實踐代替理論的證明』所以結論極為不可靠。新的發現，特別是關於在不同領域中所存在的共同規律（可能是偶然性的雷同）的發現，能夠能給人以新的啟迪。但是【實踐只能夠發現錯誤而根本沒有，能夠代替真理證明的功能】也是《金帶》讚美『哥定理』的缺陷。

　　縱覽《金帶》一書，容易看到，一個貫穿始終的概念，就是把數學『層次』和實體的現象『拉郎配』起來。想在『最廣泛的意義下』，應用這『層次』概念，例如，畫面中的不同水平面；樂曲中的主題與伴奏、不同的音部；原像與鏡像；錄製下來的聲音與真實的聲音；符號與意義，等等，這些層次『想當然看成數學『到處可以』表達客觀事物中的不同『層次』；信息傳遞中的不同層次：結構、外部、內部的信息；計算機中的不同層次（機器語言，彙編語言，編譯程序等）；生命遺傳過程中的不同層次：DNA，蛋白質，......。都可以活生生『拉郎配』起來。把人類的認識活動也表現出明顯的層次性，可以從各個不同的層次上去理解(筆者認為比較牽強附會)。最後，讚美哥定理，其直接涉及到了兩個不同的層次：『對象數學』和『元數學『。在對象數學中，我們只是按照一定的法則由給定的前提出發去進行演繹（推理）；而在元數學中，我們則對於『對象數學』的整個邏輯結構作出大方向的判斷，（如，『某命題是可證明的』；『這一理論是相容的』，等等。）『元數學比對象數學的層次更高』是正確的觀點。

　　『哥定理』卻為我們揭示了問題的另一個側面，那就是：在確認層次性的同時，我們還必須清楚地看到不同層次間的可滲透性；而且，在很多的情況下，這種不同層次間的滲透性又表現為『層次的纏繞』(另外，如果我們著眼於某一層次的話，這就是所謂的『自我相關』)。這種層次的『纏繞』會造成什麼樣的後果呢？一種直觀的印象是，這是一種混淆，導致混亂、甚至荒謬。（例如，主題與伴奏互相干擾就可能造成噪音）；另外，正如埃舍爾的版畫《畫廊》及《三個球》等所表明的『畫中有畫，映象之中有映象』，就包含有『悖理』的含義，因此哥定理實質上也就是一個『允許（或者根本沒有發現）存在悖論的思維形式來證明出他的『哥定理』，所以『哥定理』是極為不可靠的結論。

在這一定理的證明中，哥德爾首先通過映射，實現了『對象數學』，與『元數學』，這樣兩個層次的互相『纏繞』定義（屬於『概念重疊』，這在邏輯學是不允許的），從而使得對象數學中的命題獲得了不允許存在，卻可以人為允許在，的雙重意義：1/它們既是對象數學中的命題；2/同時又具有元數學的意義；（相當於規定一個人是女人同時又是男人。可以在兩性廁中所隨心所欲進入。）哥德爾由於思維違背了『邏輯學』，證明時，概念發生了重疊，就導致下悖論性結論，左右為難——如同信息形式的『理髮師悖論』，相當於『思維大方向搞隨心所欲的『前進與後退的自由的『反轉』，結果按照人為制定的『腦殘規則』推理：他理髮不行；他不理髮也不行，都是違背此規，所以則進退兩難，有悖論，就可以推理得出他的『哥定理』下錯誤結論——「相應的形式系統，必然是——不相容的——有矛盾的，一定是不完備的」。其實，我們只要把這些人為規定，修改一下規則（相當於「理髮師悖論」的『原則性就會被修改為『理髮者概念不包括理髮師概念』，則哥定理可以被推翻）。因為本質是應該必須規定『兩個層次』的概念不能夠游移，也不能夠互相覆蓋，則就可以得到相反的結論——▉簡稱『班明峰定理』——【「任何足夠豐富的數、理、化等等、自然科學系統，社會科學系統，這些系統如果分別是相容的，並且不允許自己證明自己的循環論證存在，就可以採用數學證明數學；數學證明物理......等等也可以『交叉證明』的方式，互相證明這些各自理論的成立。也就是說，如果根本沒有邏輯性錯誤，以上這些有限的經過反反覆復『雙檢驗』的系統數、理、化等等，一定是完備的系統」】

另外，筆者已經用素數（因為它無規律）之外的『邏輯學』證明『哥德巴赫猜想不能夠成立』。在【http://blog.sina.com.cn/s/blog_e91a296c0102xc26.html 《新浪網》，題目《為什麼『哥德巴赫猜想』實際上不能成立？》】

▇其次，哥德爾又構造出這樣一個『自我相關』的命題 G，其所斷言的，就是『自身的不可證明性。』由於凡是有循環論證的邏輯性錯誤的命題，當然它就不可自己證明自己。從而說，命題 G就是一個不可證明的真命題。

　因為：　一、假設G可以證明，則G必然為真；而依據G的(元數學)意義就是：G是不可證明的，導致悖論，(因為從依據，理論是『相容的假設』，竟然得到悖論『G就是不可證明的』)。

二、正因為『G是不可證明的』，推理，因此，依據 G的意義，得到所謂「G就是個真命題」！這樣，G的構成，就證明出所謂『系統的不完備性』錯誤的結論；但是，結論的『普遍性』(其主要條件是：對象理論內涵必須足夠豐富，以保證能夠建立所說的『映射』)則他又證明得『在數學理論中是無法將『怪圈』徹底地排除出去的』。他卻堅信不疑：自己的證明是有『真理性』可以「滴水不漏」了。

　　『哥定理』的錯誤本質，是用隱蔽的有循環論證錯誤的舊的古代的數學規則對數學自身進行『自己欣賞自己的裸體』，即是用數學推理對數學推理自身進行探究，結果就得到光芒萬丈的哥德爾定理，但是此『哥定理』卻違背了：『時間不能夠倒流；思維過程也不能夠倒流；局部不能夠否定』局部存在的那一個整體』的原則性。[例如『我在說謊』是悖論。把『說謊』去否定『我在說謊』（10個字簡稱 F）可讓『壞人』成為『好人』；但如果不否定『我在說謊』那人就是『壞人』。原則上應該是講真話，否定『我在說謊』是多此一舉，但是古代數學可不是這這樣子認為。實事求是原則性應該加入數學中，理論的局部內容不允許否定整體內容。如果我們不允許(F)實現，就可以永遠避免悖論了，就不會自尋煩惱了。但是這一點哥德爾是不清楚的，於是思維形式過於浪漫，用『曲線救國』思維到後面又返回來影響和控制他自己的前面的結論，當然是得到他的否定性的定理。是循環論證導致『不完備性定理』成立，屬於古典數學的原則性不科學，導致悖論，破壞了他科學研究的真理性。所以得出『自相矛盾，什麼問題也不能得到解決』的定理，是由於他不能夠發現自己的『循環論證的錯誤』，假設證明過程過於複雜根本沒有別人能夠發現此錯誤。這是哥德爾定理的關鍵性錯誤所在。

解除此錯誤以後，人類可以一步一步地完全認識某些有規律的事物。就符合愛因斯坦的觀點『宇宙不是賭博的』（例如，用在全世界隨機取得的碗的大量碎片不能夠組合得到一個完整的碗）所以建立科學性概念非常重要。任何概念一個字也也不能篡改！』一個蘿蔔一個坑兒『。我們的思維如果用符號表示，允許反過來自己否定自己的前面時間已經發生的』描述『，（可以是一切公式、定理、定律。特別是不能夠有實踐隨心所欲的否定前人已經發現的真理，更加不能夠使用錯誤的理論工具「實踐是檢驗真理的唯一標準」，因為它有循環論證的邏輯性錯誤和許多的反例，例如不能檢驗永動機理論。）即使你是研究得到一個看起來別人感覺有錯誤的結論，也應該保留其證明的過程。以便作為『真理樹生長的肥料參考』。不能夠不要證明而唯一依靠實幹（實踐）一步登天得到新的理論。如果拋棄真理的把關證明而唯一人實踐包打天下，人類就永遠不能夠得到真理性結論。

相應的概念，如真、美)內涵完全不同。『真』應該是規律的客觀存在，不管是你是否能夠正面證明它是否成立；例如暗物質，人類根本沒有發現它時它是存不依靠意志而存在的。但是用真理證明某一個命題有錯誤的，是比正面證明命題較容易。用邏輯性檢驗，往往是容易檢驗出命題的錯誤（特別是用真理檢驗命題的邏輯性；發現、證明它是否有邏輯性錯誤，例如循環論證；概念游移；論據不堅實不可靠；思維過於抽象不能夠理解；思維跳躍而不可靠的『含含糊糊的中間結論』、命題讓全體地球人不能夠理解等等）就可以證明出被檢驗的命題是錯誤的。(然而，人類可通過發展更高層次的理論認識及不同層次的相互滲透來不斷檢驗新的認識)。

上面的分析則又可為人工智慧研究「機器人可超過人類」命題下正面結論。關鍵就在於，如何去發展更高層次的思維與人一樣的機器人，永遠忽略邏輯性錯誤。必須努力去填平在不同層次間所存在的井水不犯河水的『鴻溝』——例如牛頓定律與相對論；相對論與量子力學，看起來它們互相『不相容』。是因為某一個環節的描述過於含含糊糊，許多的科學家後來不能夠解釋清楚為什麼有這些現象，例如對於暗物質、重力的本質的理解就含含糊糊。這些人就相信神學。得到『宇宙是虛擬的』唯心主義結論。

應該是，對於任意一個猜想的命題，不管它有多難，只要通過一代又一代人的勤奮努力，總是可以知道這個猜想是否成立？並且可證真或證偽。（例如筆者班明峰用邏輯學也可以可以證明哥德巴赫猜想不能夠成立 —— 【第二篇文章文章在：

『人民網』http://blog.people.com.cn/article/10/1481800350936.html 】

在科學研究中，通過先進性的邏輯學，並且加上有堅實的非唯心主義的論據，我們才能夠夠知道我們想要知道的東西和真相大白的真理，這只不過是個時間謊意志的問題。而數學家追求的是用廢除錯誤和不可靠的邏輯，來定義一切概念，還可以用人工智慧思維。這樣做才會使科學家感到可以每一步思維都是實事求是的，覺得結論有真理性。思維必須每一步處處保持有邏輯性，一般用』三段論『進行思維，這是不極為困難的任務，算術系統其實並不是一個很複雜的系統。用人工智慧證明更加能夠提高效率。

希爾伯特提出：先計劃在基礎的數學系統中進行這樣的形式化，然後再將其推廣到更廣闊的數學系統中，最後實現整個計劃。筆者支持正確的此方法。但是被哥德爾定理破壞了，『不完備性定理』的證明過程十分複雜，但是由於過於複雜，哥德爾證明得到『哥德爾不完備性定理』的核心思想卻是運用了邏輯學裡的「自指」的概念——這個陳述的意思本質是：證明了，沒有被他發現的有循環論證干擾的邏輯性錯誤形式(S)，導致他得出錯誤的結論——「數學系統是不完備的」而是在循環論證下，老老實實地進行推理，得到悖論，理論自信，又斷定結論不會有錯誤，讓人錯誤的隨大流認為「無論如何愛載理論證明，不管有沒有循環論證的邏輯性錯誤，得到的結論都是』真理『」，——循環論證的本質，叫做「自指」的方法。例如，相當於『上帝的講話是真理』；『把任何字寫在紙上它能夠燃燒就是真理』；「實踐是檢驗真理的唯一標準」。這些命題之所以不可成立，是可以用『其有循環論證的錯誤形式』一票否決的。哥德爾的『不完備性定理』意思是不看邏輯學的』監督『證明，而搞數學自己證明自己得到自我讚美的一刀切的結論，卻根本沒有發現如果不允許循環論證，則它自己的此理論就會不能成立了。所以換句話說『允許循環論證可以得到『哥定理』。

所以，把錯誤的局部的現象當作真理整體再繼續推理，是錯誤的思維方法（真理不是』一碗湯『可僅僅品嘗局部『味道』就可以完全了解整體規律），因為是在錯誤的思維情況下得到的結論就是錯誤的。不是『放之四海而皆準』的真理。並且根本沒有『在循環論證的條件下結論可成立『的規律。於是讓人們產生誤解，以為他真的是按照邏輯學思維了，其實所謂『不完備性』，把人們的思維打亂。結果許多年代以後，現代人推理得到許多的錯誤的結論，必須從頭再研究。包括用許多的有悖論的思維去證明『哥定理成立』。卻想不到應該廢除產生悖論的土壤，來解決這些困擾人的問題。人們本來是用正確的思維繼續證明，可以得到正確的結論，卻哥德爾定理判斷別人的結論不可靠。於是科學研究得不到正常發展。哥定理卻變成了『皇帝的新裝』，是監督一切證明的不可拋棄的所謂『真理』。

回憶錯誤的哥德爾的『第一不完備性定理』：如果系統包含有自然數的話，完備性和一致性不可得兼，這個系統要麼自相矛盾，要麼存在著既不能證明也不能證偽的命題」。「實踐是檢驗真理的唯一標準」有循環論證的邏輯性錯誤和反例，例如不能檢驗永動機理論。實例呢？我們應該可以理解其錯誤本質了吧。???也就是說，他做了錯誤的假設，以為自己的思維完全沒有錯誤。卻讓此錯誤存在了許多年。

所謂「有那麼一些數學命題是不可判定的」當然是屬於錯誤的結論。在科學不斷地發展，』邏輯學『不斷地發展面前，沒有什麼東西不可否定和不可肯定。

自從哥德爾不完備性定理被證明以來，越來越多的數學問題卻被冤假錯案地證明為『不可判定』的，但是這些不可判定的問題也越來越簡簡單單。整體當然是大於局部。勾股定理被人們證明成立400多次，都是反例；一切理論是可證明，可捉摸的，實際上是可判定的。關鍵是時間和毅力。

『哥定理』給數學家們製造了巨大的困難，誰也不能肯定自己辛辛苦苦做了十幾年甚至幾十年的研究結論，會不會突然有一天被『哥定理』證明是錯誤的、或者是在現有的數學系統中是不可判定的結論而已。

理論物理的理論的發展，也只能是漸進的、分層次的，有適用範圍的。所以愛因斯坦的筆夾下的理論』相對論『在前人的理論上發展起來，也哥定理的反例，並且得到後人的實踐的檢驗通過。相對論可以超越牛頓力學卻無法取代牛頓力學。理論發展不能夠把前人的『理論基石』全部廢除。包含相對論理論的形式系統（黎曼幾何）在相應的科學內容範圍內是無矛盾的，是相容的。也是反例。爭論，讓現代哲學變得更加接近真理了。於是哲學與自然科學、社會科學更加統一了。用循環論證的檢驗因素之一，就可以廢除「實踐是檢驗真理的唯一標準」錯誤的理論工具。

人工智慧將在50年內變得和人類一樣聰明。超重力理論雖然在模型上統合了四種作用力，但它的缺陷在於在很多關鍵節點上沒有具體量化的數學模型和公式。所以我們可以繼續研究，不必因為哥德爾定理而懷疑一切結論。例如終極真理有勾股定理；『兩點之間直線最短』（用三角形一邊的特性和微積分原理可證明此公理）、微積分、等等都是數學系統自己證明自己得到的終極真理。也都是哥德爾定理的反例。目前，新的，最強大有力的物理學計劃已經登場，它就是：超弦理論（SuperstringTheory）。所以，告訴我們：『真』與『可證』是兩個不同的概念。可證明的東西一定是真的，不管是實幹（實踐）檢驗是否得到通過（實踐只能夠起到參考，尋找真理的大方向的作用）；實踐永遠不能夠代替真理的把關證明。但真的東西，在人類的科學技術條件低下，的環境條件下，不一定可用短時間可證明。如果人類的思維，總是不斷地搞允許自我否定原來的真理，搞自作自受，就會在自然科學和社會科學中導致許多的悖論和錯誤的結論。所以循環論證和錯誤的論據，導致的悖論的陰影讓人們左右為難，不知道何去何從，伴隨著人類的科學發展走到今天，仍然有唯心主義的結論出現。所以必須多學習邏輯學，消滅一切邏輯性錯誤，才能讓科學研究得到正常發展。人工智慧是人類的協作者，可以和人繼續科學研究，可證明出許多的真理。

【完】