金融工程筆記1：隨機分析基礎

1.布朗運動

$left{ W_{t} ight}_{tgeq0}$ 是一個布朗運動，如果

a） $W_{0}=0$

b）對於所有的 $0leq t_{0}leq..leq t_{n}$

$W_{t_{1}}-W_{t_{0}},..,W_{t_{n}}-W_{t_{n-1}}$ 獨立

c）對於任意

$W_{t}-W_{s}sim N(0,t-s)$

2.伊藤積分

概念： $left{ W_{t} ight}_{tgeq0}$ 是一個布朗運動， $left{ sigma_{t} ight}_{tgeq0}$ 是一個隨機過程，在區間上做任意劃分：

$0= t_{0}<..< t_{N}=T$ ，令 $Delta=max_{0leq ileq N-1} (t_{i+1}-t_{i})$ 。

若 $lim_{Delta ightarrow 0}{sum_{i=0}^{N-1}{sigma_{t_{i}}}(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}})}$ 存在，則將其記為： $int_{0}^{T}sigma_{t}dW_{t}$

性質：

a） $E(int_{0}^{T}sigma_{t}dW_{t})=0$

b） $E(int_{0}^{T}sigma_{t}dW_{t})^2=Var(int_{0}^{T}sigma_{t}dW_{t})=E(int_{0}^{T}sigma_{t}^{2}dt)$

註：當 $sigma_{t}$ 為函數時性質也成立

c） $int_{0}^{T}dW_{t}=W_{T}-W_{0}=W_{T}$

根據伊藤積分定義性質c）顯然，下面對性質a）、b）當 $sigma_{t}$ 為函數時給出不嚴格說明：

1.當 $sigma_{t}=c$ (常數)

$int_{0}^{T}sigma_{t}dW_{t}=int_{0}^{T}cdW_{t}=cint_{0}^{T}dW_{t}=cW_{T}$

所以 $E(int_{0}^{T}sigma_{t}dW_{t})=E(cW_{T})=cE(W_{T})=0$

$E(int_{0}^{T}sigma_{t}dW_{t})^2=E(cW_{T})^2=c^{2}E(W_{T}^{2})=c^2T=c^2int_{0}^{T}dt=int_{0}^{T}sigma_{t}^{2}dt=E(int_{0}^{T}sigma_{t}^{2}dt)$

2.當 $sigma_{t}=c_{i}1_{(t_{i}leq tleq t_{i+1})},i=1,2..,N-1,0= t_{0}<..< t_{N}=T$

可以直觀考慮 $sum_{i=1}^{N-1}{c_{i}(W_{t_{i+1}}- W_{t_{i}})}$ 的期望和二階矩

$E(int_{0}^{T}sigma_{t}dW_{t})sim E(sum_{i=0}^{N-1}{c_{i}(W_{t_{i+1}}- W_{t_{i}})})=0$

$E(int_{0}^{T}sigma_{t}dW_{t})^2=Var(int_{0}^{T}sigma_{t}dW_{t})sim Var(sum_{i=0}^{N-1}{c_{i}(W_{t_{i+1}}- W_{t_{i}})})=sum_{i=0}^{N-1}{c_{i}^2(t_{i+1}- t_{i})}sim E(int_{0}^{T}sigma_{t}^{2}dt)$

3.當 $sigma_{t}$ 為上的函數時

根據定義 $lim_{Delta ightarrow 0}{sum_{i=0}^{N-1}{sigma_{t_{i}}}(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}})}=int_{0}^{T}sigma_{t}dW_{t}$

$E(sum_{i=0}^{N-1}{sigma_{t_{i}}(W_{t_{i+1}}- W_{t_{i}})})=0Rightarrow E(int_{0}^{T}sigma_{t}dW_{t})=0(Delta ightarrow 0)$

$Var(sum_{i=0}^{N-1}{sigma_{t_{i}}(W_{t_{i+1}}- W_{t_{i}})})=sum_{i=0}^{N-1}{sigma_{t_{i}}^2(t_{i+1}- t_{i})} ightarrow E(int_{0}^{T}sigma_{t}^{2}dt)(Delta ightarrow 0)$

注意：這個並不嚴格

3.伊藤過程與隨機模擬

概念： $left{ X_{T} ight}_{Tgeq 0}$ 是伊藤過程，如果 $X_{T}$ 為隨機微分方程：

$dX_{t}=mu(t,X_{t})dt+sigma(t,X_{t})dW_{t}$ 或 $X_{t}=X_{0}+int_{0}^{T}mu(t,X_{t})dt+int_{0}^{T}sigma(t,X_{t})dW_{t}$ 的解。其中為函數， $W_{t}$ 是布朗運動。叫漂移率，叫擴散率或標準差, 叫方差率。

注意：區間可以推廣為

伊藤過程所滿足的隨機微分方程不一定都可以解出 $X_{T}$ 的顯示錶達，不過一般而言可以通過隨機模擬的方法來模擬一個具體伊藤過程的隨機遊動，以及計算 $E(f(X_{T}))$ 。

伊藤過程隨機模擬：

根據伊藤過程定義，可以得到以下近似公式：

$X_{t+Delta t}approx X_{t}+mu(t,X_{t})Delta t+sigma(t,X_{t})(W_{t+Delta t}-W_{t})$

$=X_{t}+mu(t,X_{t})Delta t+sigma(t,X_{t})varepsilon sqrt{Delta t},varepsilonsim N(0,1)$

將時間等分為份：

$0= t_{0}<..< t_{N}=T，h=t_{i+1}-t_{i}=frac{T}{N}$

則模擬伊藤過程的序列 $left{ Y_{n} ight}_{n=0}^{N}$ 滿足:
$Y_{0}=X_{0}$ For i = 0 : N-1 $Y_{i+1}=Y_{i}+mu(t_{i},Y_{i})h+sigma(t_{i},Y_{i})sqrt{h}varepsilon_{i}$

當時，用python伊藤過程進行模擬如下

代碼

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt plt.rcParams[font.sans-serif]=[SimHei] plt.rcParams[axes.unicode_minus] = False

n = 5 #模擬伊藤過程個數
X = 2 #伊藤過程起點
N = 100 #各個伊藤過程模擬次數
T = 100 #伊藤過程從0時刻開始的結束時間
mu = 1
sigma = 4

e = np.random.randn(n,N) #5個伊藤過程，各100個點
Y = np.ones((n,N))
h = T/(N-1)
t = np.arange(N)*h

Y[:,0] = X*np.ones((n))
for i in np.arange(N-1):
Y[:,i+1]= Y[:,i] + mu*h + sigma*np.sqrt(h)*e[:,i]

for i in np.arange(Y.shape[0]):
plt.plot(t,Y[i,:],label= 伊藤過程+str(i+1))
plt.legend(loc=upper right)
plt.xlabel(t)
plt.ylabel(X)
plt.title(伊藤過程模擬)
plt.show()

運行結果