轉載自微信公眾號「科學藝術研究中心」

　　撰文 |鴿灰

　　摺紙奧運項目

　　如果你不知道摺紙界也有「奧運會」——國際摺紙奧林匹克競賽（International Origami Internet Olympiad），那你多半也不知曉作為其必考賽題的「鑲嵌摺紙」（Origami Tessellations）。它在摺紙藝術的家族中確乎年輕；1970年代，首個鑲嵌摺紙作品才借日本數學家藤本修三（Shuzo Fujimoto）之手問世。

　　要弄清楚什麼是鑲嵌摺紙，首先要了解「鑲嵌」（Tessellation）。鑲嵌，又常譯為「密鋪」（故也有少數愛好者使用「密鋪摺紙」一詞），指全等形能不重疊、無間隙地鋪滿平面。上至埃舍爾赫赫有名的視錯覺畫作，下至街頭巷尾最尋常的磚鋪路面，你都能找到鑲嵌的存在。

　　而鑲嵌摺紙則憑藉紙張摺疊形成的立體結構來實現這一點，且僅使用一張紙，不經剪裁或膠粘；部分鑲嵌摺紙不僅正反兩面均為極富觀賞性的鑲嵌圖形，還能任意且順暢地展開復原，俄羅斯數學家葉卡捷琳娜·盧卡舍娃（Ekaterina Lukasheva）的摺紙作品便是絕佳的例子。

　　紙上的數學

　　你也許會好奇：這一以數學概念冠名的摺紙，究竟是如何與數學相聯繫的？ 讓我們從鑲嵌摺紙的基礎開始——扭轉（twist）。如同動圖所展示的那樣，白紙中心的正方形隨著摺疊轉過了90°。

　　扭轉的關鍵，從圖1的摺痕中很容易發現——以一個凸多邊形為中心，自其每一邊「發出」兩條摺疊方向相異的平行線。這組平行線與邊所成的角度並不是固定的，圖2中可以觀察到角度對紙張重疊面積的影響。

　　除了摺疊面積，這一角度也決定了扭轉的方向（圖3），以及扭轉前後中心多邊形轉過的角度——後者是前者的兩倍（圖4）。事實上，中心凸多邊形甚至不必是正多邊形，只不過其中所牽涉的幾何學計算不那麼優雅罷了。

　　單單是作為基礎的扭轉似乎已經花樣不少；而當扭轉被鑲嵌理論組合起來，通向無窮可能性的大門豁然洞開。將扭轉用其中心多邊形的相似形框起來，它便成為了一隻「晶胞」，可以在平面上無限地拼接（圖5、6）。雖說是「晶胞」，但其實這些小單元並不完全相同，其內部亦存在著周期性的「手性」變化——以保證摺痕的連續。

　　圖片來自Twists， Tilings， and Tessellations，有改動

　　剝去扭轉的細節，僅觀察這些人為添加的橙色邊界，百年前徘徊於伊斯蘭建築的幾何學「幽靈」——鑲嵌問題——再次浮現於摺紙藝術（圖7）。簡單的正多邊形經過一番似也不如何複雜的鑲嵌，其扭轉而成的鑲嵌摺紙卻令人眼花繚亂，理想幾何形抽象而迷人的韻律盤桓其間（圖8、圖9）。

　　摺紙與航天

　　鑲嵌摺紙不僅是藝術，也不僅是幾何學的具象；它在工程領域的應用可能仍在挑戰人們的想像。美國物理學家、摺紙藝術家羅伯特·朗（Robert Lang）曾說：「摺紙最重要的一大屬性是：一旦我們研究並理解了紙張摺疊和展開的方式，便可以將這些方式應用於與紙張截然不同的事物上。」

　　羅伯特於1988年加入美國航空航天局，在2001年辭職，決定將所有的時間奉獻給摺紙——但這並未使他與工程隔絕。2015年，加州勞倫斯利弗莫爾國家實驗室的長投射式望遠鏡進入了測試階段；其設計顧問便是羅伯特。這種望遠鏡的光學鏡片非常的薄，但同時又非常大——其主透鏡直徑可達100米。

　　如何將它裝入接近於圓柱形的航天載具？實驗室的工程師從過往文獻中了解到日本衛星曾搭載基於摺紙的摺疊式太陽能電池板，於是順藤摸瓜找到了曾研究計算摺紙的羅伯特。

　　羅伯特在合作的數月間嘗試將幾種不同的摺紙結構應用於望遠鏡，最終敲定了「傘」式——它鏡像對稱，以保持穩定自旋；它的摺疊狀態適於在火箭運輸；它可擴展，其部件均可大規模生產……最重要的是，它的展開方式一定使你感到熟悉。

　　就像羅伯特·朗在演講結尾時指出的那樣：一種新型心臟支架受啟發自紙折球、而安全氣囊展開演算法來自於研究紙折昆蟲的數學理論，「這樣的事在數學和科學中常常發生。當你運用數學純粹是為了美學價值或創造美的時候，其結果卻在現實世界中也具有應用價值。這聽起來也許很奇怪——摺紙或有一日將救人一命。」

　　摺紙仍然在蓬勃地發展著，鑲嵌摺紙亦方興未艾；科學與藝術必仍在這一方紙上交輝。

　　參考文獻

　　[1] Gjerde， Eric， Origami Tessellations： Awe-Inspiring Geometric Designs

　　[2] Lang， Robert J。， Twists， Tilings， and Tessellations： Mathematical Methods for Geometric Origami

　　[3] https：//kusudama.me

　　[4] https：//langorigami.com

　　[5] https：//www.ted.com/talks/robert_lang_the_math_and_magic_of_origami