相對論性自由粒子拉氏量為何必須寫成以下形式?
以
作為參數, 採取度規 ,自由粒子拉氏量為 . 無法從該拉氏量中導出運動方程和廣義動量. 只有乘以 ( ), 化為 ,才能得到運動方程. 這裡我的疑問是
與 的物理意義有什麼區別? 為什麼要乘以一個 而不是不乘或乘以更多的? 此外, 如何從微分幾何的角度理解拉氏量, 拉格朗日方程以及求偏導?
(慣例:選取
【1】首先,對於題主的給出的Lagrangian
更適合理解為這種任意世界線坐標的參數是
注意到,這個參數
(*補充,這在弦論裡面應該叫做0-brane action。)
【2.1】題主給出的Lagrangian其實也可以是對的,只是少了一項貢獻。(類似第三位答主的思路,不過這個formalism更為人熟知。)
引入附屬變數einbein
當參數選取為固有時
(*補充1,在弦論中這個選擇相當於conformal gauge。)
(*補充2,對於經典解,固有時有良好定義,這個選擇是確定的。但是對於四維時空下的量子傳播子,路徑積分表象下掠過的固有時需要被積分[3],對應積分掉
【2.2】另外,通過Legendre transform,在Hamiltonian formalism下作用量為
(*補充,在弦論語言裏這應該是sigma-model action。)
【3】從微分幾何角度出發Lagrangian和Hamiltonian分別是切叢
**********
【4】最後,簡單搬運給熟悉場論的朋友。還可以通過時空對稱性自破缺的coset construction來推導這個單粒子作用量。
點粒子由於存在特定時空位置,因此破壞了空間平移和boost對稱性。coset construction告訴我們,破缺對稱性的Goldstone場的世界線作用量必由broken subgroup羣元
破缺位移和boost的結果是
通過所謂Inverse-Higgs constraint[7](第二項等於0)以及有效場論的論證(三、四項為高階項),最主要的貢獻是唯一的,出自於第一項的係數
這個formalism的好處在於,可以系統推廣到帶自旋(破壞旋轉對稱性子羣)、帶多極矩的點粒子、破壞更多平移對稱性的弦和膜,以及耦合規範場、引力場等等……
參考
- ^J. Polchinski《String Theory》卷1中1.2節的Eq (1.2.5) https://book.douban.com/subject/1239707/
- ^abP. K. Townsend弦論講義2.1節 http://www.damtp.cam.ac.uk/user/examples/3P6.pdf
- ^P. K. Townsend弦論講義3.4節 http://www.damtp.cam.ac.uk/user/examples/3P6.pdf
- ^M. D. Schwartz場論講義 https://projects.iq.harvard.edu/files/schwartzqft/files/4_chapter33.pdf
- ^A. M. Polyakov《Gauge Fields and Strings》第九章 https://book.douban.com/subject/3021250/
- ^P. A. M. Dirac《Lectures on Quantum Mechanics》 https://book.douban.com/subject/3332473/
- ^I. Low and A. V. Manohar, Spontaneously Broken Spacetime Symmetries and Goldstones Theorem https://arxiv.org/abs/hep-th/0110285
其實題主你是狹義相對論沒完全學明白,尤其是對四維語言不熟悉。要是初學分析力學,可以找本四維語言的相對論書或者電動力學最後一章補補,直接上朗道場論也不錯。
來我給你捋一捋啊。
好了,先來看作用量最熟悉的那個定義,是個積分:
看到這裡是對時間積分,換句話說最熟悉的定義是用三維語言表述的。
那麼作用量能不能用四維語言表述?當然可以,眾所周知拉式理論本身就可以很方便的用四維語言表述。考慮自由粒子的作用量,從它的性質和一些對稱性能得到一些啟示:根據
首先來看看那個「
那麼看起來現在作用量同樣是用一個積分的形式來表示的,被積函數就是
回到問題上來,一言以蔽之,你混淆了兩個概念。你所說的那個「
那麼這個所謂「四維的拉氏量」就導不出運動方程嗎?當然可以。咋導出呢?烤個栗子:
既然要追求四維表述,那就貫徹到底咯
直接上變分
分部積分一下,扔掉邊界項
很顯然運動方程就是平直閔式時空的測地線方程
上面的推導過程裡面,看起來
這個時候所謂的四維拉氏量就是
這次就實打實的參與積分了,導出來的運動方程是
若外場是矢量場
不過也很熟悉就是了——電磁場中帶電粒子的運動
所以你看,不用變成三維拉氏量也是可以導出運動方程的嘛。
上面說了這麼多,其實就是想說明,題目裡面的
無法從該拉氏量中導出運動方程和廣義動量. 只有乘以
( ), 化為 ,才能得到運動方程.
是錯誤的。實際上無論三維的
當然了,兩者是存在確定關係的,而且其實特別簡單。隨便選個慣性系分解:
換句話說,
把它做低速近似的展開
第一項是時間全微分,扔掉就得到題目裡面直接相乘的形式了,常數不影響運動方程。簡單驗證一下,很明顯當自由粒子情形的牛頓極限時,上式自然回到非相對論性自由粒子拉氏量
為什麼要乘以一個
而不是不乘或乘以更多的?
的答案。順便,所以題主的第一個問題
與 的物理意義有什麼區別?
答案也在這兒。兩者實際上是同一個東西在三維和四維表述下的不同體現,具體的定義不一樣:一個對時間積分得到作用量,一個對四維的世界線積分得到作用量;一個是四維協變的洛倫茲標量,一個是它在某個慣性系下的表現,當然也就未必是洛倫茲標量了。
註:關於評論區指出本部分存在一些問題,詳見文末高亮說明。如果我的敘述引起了大家的一些誤會,非常抱歉。
下面來看一下怎麼從四維語言導出能量、動量,其實就是直接導出四維動量
回顧一下三維情況的哈密頓-雅可比方程式怎麼來的:將作用量視作端點依賴的函數,比方說,始端固定而末端變化:
這四個方程得到的正是四維動量
一次性就得到了能量和動量。簡單驗證一下,還是以自由粒子
說明:評論區有指出我在這部分的推導一些細節問題,現說明如下。
(註:以下如無特別說明,均默認拉丁指標
在這裡所選取的線長參數
三速的定義:
自由粒子…………只有乘以
( )…………才能得到運動方程
由於我並不知道題主這句話的來源何處,所以不能貿然判定這裡的「
此外,題主的這句話是針對於「自由粒子」來說的後驗推論;並未將之推廣到一般粒子上。因此單就這句話而言,的確是存在合理性的,說明如下:(為便於溝通,下面統一將三速分量記號記為
根據四維形式的作用量的變分過程,已經知道自由粒子的運動方程為
當然,需要說明的是,關於三-四速的分量之間互換關係僅對於自由粒子來說纔是常量。若對於非自由粒子,不應當僅僅乘以四速分量;但是就題主所敘述範圍來看,並無錯誤。
我很同意另一位答主的觀點,即本質上四速恆等式有約束作用,並且
不過我的目的在於說明,為什麼題主在某些文獻上看到了
此外,對於非自由粒子,仍然可以類似地定義「四維拉氏量」,只要它沿世界線的積分是作用量就可以。但是題主仍然會面對無法使用歐拉方程的問題,而那個時候即便乘以四速的空間分量也無法得到正確答案,因為對於非自由粒子來說兩者比例不再是常數。這就是為什麼我要強調乘以三速的原因,並且想讓答主看明白兩套語言的轉換。
如果我的敘述引起了大家的一些誤會,非常抱歉。
我不完全同意下面答主的觀點。(我也可能只是在胡說八道。。。。)
這個拉氏量某種程度上具有先驗的性質,如果一定要從原理上說明。可以這麼表述。
單個相對論粒子的作用量,必須要求取極小值,而考慮粒子沒有任何其他內稟標量(或標量函數,也暫時不考慮任何外場的影響),並考慮量綱之後,這個做用量只能是
按照正常的思路,先擇可以換一個時間標度(選擇一個慣性參考系),這樣,上面的積分寫成
實際上,這裡有兩個根本性問題,一個是本質的,一個是非本質的。本質的那個就是其實在我們的四維速度的定義中四個分量不是獨立的,而是由恆等式
這裡的步驟本質上是複雜的(含有非齊次約束的力學系統),但是有一個適用於這種簡單情形的特別容易的方案,我們選擇這個一個粒子坐標或者速度的函數(按照經典決定論),使得它在粒子取約束條件的時候正好回到真實軌道,這樣的拉氏量就是我們需要的,實際上,只要取形式
所以結論就是不一定要給出拉氏量
這樣,你是否能理解了呢?
完整起見,我給出這種時候我們使用的協變哈密頓量,它是:
我們看到,這個哈密頓量在粒子在殼的時候就是零(這當然也是奇特的一件事)。
它自然成立四維哈密頓方程。
實際上,這裡說的問題在量子場論中也有出現,出現在費曼圖的傳播子中的粒子實際上不是在殼的(它們的四動量取遍整個四維空間,而不是僅僅在殼的空間),我們就需要將自選和(對於在殼粒子定義的),推廣到離殼粒子上去。這就有點遠了。。。。
至於從微分幾何的角度理解拉氏量,我真的所知甚少,我只是知道它是位形流形切叢上定義的標量函數而已,拉格朗日原理就是說在位形流形容許的所有軌道上,真實軌道的拉氏量關於參數(時間)的積分取駐定值。其他的,我也很弱,什麼也不知道了。。。
我以前學習Landau第二卷的時候也想過這個問題,我想的就寫在筆記裏了,精力問題無法在知乎這破編輯器裡面再打一遍,所以直接貼圖。大致和其他答主說的差不多,為看到等價性需要考慮on-shell約束。我先貼trivial的部分,還有一些comment,其他答主可能沒有提到,我相信也是有益的。
p.s. 這裡的i顯然是時空指標,題主應該是有
以下commit依然是基於我的筆記,我暫時沒有再確認一下幾年前的我說的是不是胡話。
第一個commit:在有相互作用的時候,為了依然可以這麼做,會對相互作用有一定的限制如圖中,我們希望的情形是
第二個commit: 這可以推廣到(semi-)Riemannian manifold上,依然是貼圖
第三個commit:約束問題很常見,在算Dirac方程的運動方程的時候也會用類似的小技巧(用約束改寫一部分以避開討論約束,其實都不是嚴格的)。但在量子化的時候,約束會成為非常大的問題。正則量子化的話會回到哈密頓力學,經典的例子比如可以參見:這個回答. 何況到了規範場論,你還要選取規範,這也是約束,現在很流行的(也是研究前沿的)是BV量子化,非常非常粗略地說,它通過擴張空間,上面還有一個微分運算元D,我們考慮的(路徑積分的)被積函數在這微分運算元作用下是零,則原本在小空間上的積分可以換到大空間裡面的其他「圍道」上去,使得一些東西變得清楚,當然這裡擴張的空間是費米的。同時,這個微分運算元還滿足D^2=0,所以我們可以考慮其上同調。原本top form的上同調等價於新的第0階上同調等等等等。(我這裡全是口胡,望真正的大佬指教)
第四個commit:類似的問題在弦論中也是存在的,那裡,Nambu–Goto作用量是世界面的面積元的積分,參數化後面含根號,為了量子化,我們會將其改寫成一個二次式。但這兩者實際上是不等價的,二次式版本的action的對稱性更強,新的Weyl對稱性出現了。之所以弦論一定要避免Weyl對稱性的反常,一個理由就是這個對稱性是手加的,那顯然不能破壞它,否則在量子意義上,這兩個action是完全不等價的。
先回答拉格朗日量變更的問題。摘自《狹義相對論》 劉遼
。。。。。。
兩者沒有區別。而
場論中會告訴你,拉格朗日量雖然是標量,但是它是一個函數
至於微分幾何如何理解拉格朗日量、哈密頓量,本身涉及到一個比較複雜的領域,我這裡就勉強寫一點。
考慮流形
那麼自然的,拉格朗日方程就是體系在切叢中的演化軌跡。相應地,哈密頓方程就是體系在餘切叢中的演化軌跡。
不知道你看的哪本書? 應該是寫錯了
自由粒子拉氏量是 L= mc 沒錯, 但寫成作用量積分時, 要對固有時ds 積分, 作用量在做變分的時候給出來測地線方程,而眾所周知,測地線方程根粒子質量無關
所以, 完全不用乘上所謂的u_{i}u^{i}
這是廊道場論第二章的基本內容,有完全的推導, 沒有任何含糊的地方
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