這個數列極限問題如何解決呢?
設
數列 和 收斂於相同的極限並求該極限.
真要說起來,這個問題的歷史其實相當古老,可以追溯到2000多年前古希臘的阿基米德
我給出幾種做法
為了方便起見,我把題目形式稍加變化一下,變成:
數列
求數列
(
也就是相當於把你的原題進行倒代換,別的完全不影響
為什麼這麼變?因為這樣方便揭示其幾何意義
好了,先說這題解法:
方法(一)
注意到三角恆等式
令
顯然
由於
由數學歸納法
(
注意此處隨著不同的初值
實在不想看到複數,某些初值下可以改使用雙曲換元.
這個方法是最直接快捷的,但是那兩個三角恆等式不屬於最常見的,應該不是每個人都能想到.
方法(二)
由此兩式消去
得
令
則有
令
由數學歸納法,
(
其中
即
注意此處隨著不同的初值
否則的話,也可以採取這樣的換元:
令
則數學歸納法,
它實際上和雙曲餘弦換元是等價的
顯然,數列
當
(對於你的原題的話,就是取
然後共同極限是
而如果這麼取值:當
這就是當年阿基米德計算圓周率時採用的割圓術
其中
這恰好是圓的內接正
而
這是圓的外切正
此時顯然有
我們令
令
那麼很顯然
為了簡單起見,不如令半徑為1
圖中
過點
那麼
(因為
由幾何關係
(相似三角形)
即
顯然有
(勾股定理)
即
這就從幾何意義上解釋了這個數列
來了來了,答主在線pvp
雖然高斯的Arithmetic-Geometric Mean很有名但是也不用強行改問題吧。
不妨設
這是明顯的二倍角公式。因此如果我們令
因此連乘可以得到
這個數列有時被稱為Schwab數列,因為J.Schwab在1813年研究過它。這個數列和高斯的算術幾何平均數列有異曲同工之妙,構造簡單,並可以速度極快地逼近一些超越函數。
為了方便,如題主所說,記
Schwab數列
滿足 記 則 收斂速度是指數級的:
現在給出證明。首先易見
即
由歸納法可知,不等式
可見,
記這個共同的極限為
所以,不妨先考慮
用
應用齊次性推出
注1 用同樣的方法可以推出,如果
注2 取
來源:菲赫金哥爾茨 著 微積分學教程(第一卷)(第8版)
註:題主所說的an+1實際上不等式只有加強,結果不變。
我怎麼總感覺你的題出錯了呢
我總覺得Bn+1等於根號anbn
不會做,給你提供一個思路吧
如果按我說的那樣更改題目,會十分完美
抱歉然後不會了
這不是一個簡單的問題,可以去了解高斯積分再嘗試解答
.
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