到底是用实数定义了复数,还是用复数定义了实数?
书中定义:
复数 z=x+yi,其中 x、y 为实数。
当 y=0 时,z=x+0i=x 为实数。
自己的问题为:
到底是用实数定义了复数,还是用复数定义了实数?
是否属于逻辑学中的循环论证?^
自动化专业渣渣求数学大佬指点。
通常的数学教材处理数系定义顺序有两种方法:
没有复数定义实数的。即使是第二种看起来也有点奇怪(
如果只用复数的代数运算,是不能定义出实数集R的。就是(C,+,×,0,1)系统中不能定义出R。
见David Mark,Model Theory:an introduction. (模型论引论),国外数学名著系列(影印版) 32,p23, corollary1.3.6
这里我们假设读者完全明白有理数是如何定义的。仅使用有理数甚至整数,可以定义代数数,注意到代数数已经涵盖了一部分无理数和虚数。但是采取这种办法,能把所有的实数或复数都构造出来吗?答案是否定的。
我不太喜欢现在强行把数学课分成各个不同课程的做法,特别是因为大学数学并非零门槛的现状。在分析课上,默认复数的运算是已经学过的,而在代数课上,不讨论实数集的具体构造。但是从有理数到复数的过程,实实在在是各种数学思想的融合。
从有理数到实数,必须经历分析的过程。设
则由
接下来,设
这大概是定义复数的最简单的方法。也许你已经有所了解,代数基本定理,即任意复多项式都有复根,没有简单的代数证法,这也是因为复数本身就很难用代数定义。
首先,先反对一下 @雨雪晴 的答案。
不是说这个结论本身有错。而是,这个结论论证不了复数域「定义」不了实数。这里有一处很微妙的地方。简单来说,定义出来的实数不一定得是复数域的子集。可采取这样的途径:
接下来是对 @inversioner 答案的补充。如果我们希望有个「完整版」的复数
最后附上系统 C3(基于 Tarski 实数公理化,由 Norman Megill 正式提出,Eric Schmidt 参与了改进)
5.1.3 Real and complex number postulates restated as axioms?us.metamath.org他们真的丧心病狂地绕了一整圈儿!(
此实数非彼实数,先用实数I定义了复数,再用复数定义了实数II。
先有实数集I
- 复数是满足复数四则运算的实数有序对
,记作 。 - 复数的加减法:
- 复数的乘法:
- 复数的除法:
然后可以搞一个映射
所以当我们说
当y=0时,z=x+0i为实数
很明显的,这句话的意思是,存在C的子域与R同构
并不是循环论证的意思
实数定义了复数。实数自己,是从有理数定义出来的。之所以说虚部为零时相当于实数,是说可以把实数作为复数的子集,从而包含到更广范围的复数域中,那么你之前用的实数就都可以当成复数。复数域是实数域的扩域。
我想对这个问题换一种提法。已知一个域F同构于C,如何知道它的同构于R的子域的构造?即它由F中哪些元素构成?
从历史和实践的角度讲,实数定义了复数
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