連續統是什麼意思？如何理解連續統與實數的關係？

如題。

連續統是實數集的抽象。連續統描述了像實數一樣的稠密，完備（無洞）的性質。

實數集只是一個連續統的例子。當然，實數集也可以說是原型，因為連續統是從實數集推廣出去的。

在某些場合，連續統也可能被用來代指實數集。（可能為了強調其完備性吧）

注意不要跟「連續統的勢（基數）」混淆。（即直觀地看，所謂集合的大小，或者個數）

而且具有連續統基數的集合，未必是連續統。比如無理數與實數等勢，具有連續統基數，但是無理數集可不具有像實數那樣的完備性。

題外：連續統假設

可列集的勢為。（自然數的個數，整數的個數，平面格點的個數……）

連續統的勢為，而且。（想像任何一個實數可以用無限二進位表示嘛。當然，嚴格的話，實數的二進位表示不唯一，。於是還得構造康託三分集，證明。然後由康託爾－伯恩斯坦－施羅德定理，得到等勢）

康託對角論證可知，。（實數是不可數的）

但是不是大於的最小的基數呢？即它們之間不存在其它基數？

這個問題的答案未知。連續統假設即（後的第一個基數）。

從ZFC公理出發，它不可證明，亦不可證偽。

連續統是一種集合。

(1) 是全序集。在上定義了全序關係（也稱線性序、簡單序等），即

定義了，其餘的可以導出。

（2）稠密性。的任何兩個元素之間，必存在其它元素。即

比如有理數就滿足稠密性，因為任何兩個數，其中間有個平均數。

（3）完備性（直觀地講，無洞）。（最小上界公理，或上確界原理）任何一個的非空子集，若有上界，則必有上確界。即

這個原理是硬性地規定了上確界不能掉進洞裏，即上確界一定存在。（公理，不需要沒有理由）

此外，最小上界公理有很多等價的論述。比如單調有界原理，也是不讓極限掉進洞裏。

連續統就是實數集的個數

首先要明白"勢"的概念，一個集合的勢，或者說集合的基數，是用來表示集合的"大小"，當一個集合與實數區間[0,1]等勢時，稱這個集合為連續統。一般的，如果集合是有限的或可數的，稱其為零勢，例如有理數集合雖然是無限的，但有理數是可數的，所以有理數集合的勢為零。所以實數才能稱為連續統，整數有理數都不能。

實數是現實宇宙的物質的無窮小成分的算術整數解。連續統即連續統一，必須用物質的幾何學圖形來說明：https://zhuanlan.zhihu.com/p/70727574

連續統是指實數集中元素的個數，一般用c表示