四個向量線性相關的幾何意義是什麼?
3個向量線性相關的幾何意義是這3個向量共面。
那麼四個向量線性相關的幾何意義是什麼?
線性空間中的線性無關組中元素的個數不可能超過線性空間的維數
如果你在三維空間內討論的話,4個三維線性空間中的向量當然不可能線性無關
你非要說幾何意義的話,我覺得可以這麼想:如果把這個三維線性空間
任意四個三維向量在三維空間中總是線性相關。
如果題主指的是四個數值型向量,假設是一系列
對於幾何意義你幾乎什麼也看不出來,四個
這四個向量就是一定線性相關,卻任意抽出三者又都是線性無關,而且這四者也可以張成整個三維線性空間
2.
秩小於4,這個幾何意義就比較難說了,因為就算是張成3維空間,這個也只能說「此三維非彼三維」,我假定題主學了廣義的向量,為了方便了解一般的高維向量組成的3維空間,定義
(1).
不妨令
(2).
這兩種情況就說明,雖然他也是形成的三維空間,可是並不代表可以在三維空間內用基本的圖形完全表示出來,而且第一種情況遠多餘第二種。
就醬,我提個建議,儘早擺脫「將向量直接比作3維空間的有向線段」這種思維,因為廣義向量並不一定需要這麼強的可視性,更重要的,向量的元素不一定都是數字,也可以是矩陣啊什麼的。並且這種想法對你接受一些線性空間的性質和結論是有一定的阻礙的。加油呀!
向量組線性相關的幾何意義兩個2維向量a,b構成的向量組的幾何意義是: a,b共線三個3維向量a,b,c構成的向量組的幾何意義是: a,b,c共面
四個4維向量a,b,c,d構成的向量組幾何意義是:對應的非齊次線性方程組所表示的四個平面交於同一直線。
n+1個向量線性相關,它們必定在小於等於n維的線性空間內。
1個向量構成的租線性相關,說明這個向量是0向量,那麼這個向量處於0維空間,即這個向量只是幾何意義上的點。
2個向量線性相關,這2個向量必定是在同1直線上,即這兩個向量互為彼此的非零整數倍,且方向相反。
3個向量線性相關,這3個向量必定是在同1平面上,其中任意向量可由剩下的兩向量表示,即高中學的兩向量的加減平行四邊形,三角形法則。
4個向量線性相關,這4個向量必定是在同1三維空間上
5個向量線性相關,這5個向量必定是在同1線性空間
……
上面的<=n,包括了一般情況,
比如4個向量線性相關,也有可能這四個向量在同1直線上,但我們仍說他們處於三維空間中
這樣來講的話,包含n+1個向量的線性相關組,期中的這n+1個向量處於n維空間的這種情況反而是特殊情況。
在三維空間,四個向量中任意一個都能被其他三個線性表示。即四個向量都在同一個三維空間。
由於知乎不太好貼公式,請移步我的博客 https://blog.csdn.net/jhshanvip/article/month/2020/03
看下&文檔。
向量線性無關,那麼他們可以構成一組基,那麼可以根據維度直接判斷他們可以形成幾維的子空間;當線性相關時,那麼他們的維度小於他們的個數,所以生成子空間要小。對於四個向量來說,小於四維的無非是生成體,面,線,甚至是點(對於o向量)。補充一點,題主的三個向量還能生成線或點。
四向量共三維超平面
請看向量空間
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