如何求二元函数 f(x, y)＝sin(x＋y)＋sinx＋siny 的最大值？
给个清爽的证明
我们知道
因此题目可以转化为，
我们知道
因此对于
当
那么我们只需证在
不妨设
因此最大值必在
第一次回答数学问题，公式好难打啊，上面这几行字打了整整一个小时……
我写一个感觉更高中一点的解法
(留意一下取等号的条件)
这个时候把
求导，有
取一个周期
最大值在
代入，得最大值为
水平有限，错误敬请指出，感激不尽。
谢不邀
华罗庚言：「数形结合百般好」，所以我们就用一点几何知识来解决这个小问题吧。
显然，
不妨设
显然
即，ABC是一个三角形的三个顶点。
我们还知道正弦定理
即a,b,c与sinA,sinB,sinC成正比如果内接圆半径相等，那么比值相等。
所以我们可以将问题转化为，对于一个半径固定的圆，它的内接三角形的周长哪个最长。
根据我们数学多年的学习养成的直觉，这种问题的答案肯定是
圆内接三角形中，最对称的，最美丽的等边三角形是周长最长的三角形。
如果要证明这个问题，我们不妨先将其简化。
如上图，点BC是圆E上任意两点，当且仅当AB=BC时，三角形ABC的周长最长，证明如下：
不妨取A，使得AB=AC，取点D不与A重合，现在过A做AH⊥BD，AG⊥CD，易知AD平分∠BDG，于是AH=AG，显然有三角形ABH≌三角形ACG （这个变数名不是我特意凑的欸）即BH=CG，那么，
BD+CD=BH+DH+CG-DG=2BH，而AB+AC=2AB
显然AB&>BH，即三角形ABC的周长&>三角形DBC的周长。
于是，对于一个三角形，随意确定两个顶点，都有当另一个顶点构成等腰时，周长最长，那么综合起来一定是，等边三角形周长最长。
回归到问题上，我们知道当A=B=C=60时，式子取最大值，那么最大值很容易求得就是
于是,
当
当
比较可得,
可得
综上
等价于求圆内接三角形周长的最大值.
a
感兴趣的数值计算，使用6种方法计算局部最优解！
1、使用二元的遗传演算法求解
最优解：
X =
7.3100
Y =
32.5000
Fxy =
2.5972
计算程序：
Chenglin Li：最优化方法（十）遗传演算法求二元函数的极值?zhuanlan.zhihu.com2 变度量DFP演算法求无约束的最优问题
初值给定[1, 1], 求解结果：
程序尝试迭代次数：3
最优解：1.047197 ,1.047197
最优目标函数值：y=2.598
计算程序：
Chenglin Li：最优化方法（四）变度量法演算法（DFP）求解无约束问题?zhuanlan.zhihu.com3 变度量BFGS演算法求无约束的最优问题
- 初值给定[1, 2], 求解结果：
程序尝试迭代次数：6
最优解：1.047225 ,1.047063
最优目标函数值：y=2.598
- 计算程序：
Chenglin Li：最优化方法（七）变度量法演算法（BFGS）求解无约束问题?zhuanlan.zhihu.com
4 最速下降法
- 初值给定[2, 2], 求解结果：
The result is:
最优解：1.047198 ,1.047198
最优目标函数值：y=2.598
计算程序：
Chenglin Li：最优化方法（二）最速下降法求目标函数最小值?zhuanlan.zhihu.com5 使用Newton法解无约束最优化问题
- 初值给定[1, 1], 求解结果：
程序尝试迭代次数：2
最优解：1.046674 ,1.046674
最优目标函数值：y=2.598
- 计算程序
Chenglin Li：最优化方法（八）使用Newton法解无约束最优化问题?zhuanlan.zhihu.com
6 共轭梯度演算法（FR）求解无约束问题
- 初值给定[1, 1], 求解结果：
程序尝试迭代次数：3
最优解：1.047197 ,1.047197
最优目标函数值：y=2.598
- 计算程序
Chenglin Li：最优化方法（三）共轭梯度演算法（FR）求解无约束问题?zhuanlan.zhihu.com
——2021.03.03晚——
x，y是独立的 同时x，y是对称的，所以取最大值是x，y相等的。
然后就是sin2x+2sinx了一个。
形式上看起来非常对称，从概率论的角度可以尝试直接代入x=y
是不是可以另y=k x去消除一个变数，然后去求极限呢？
一个取巧的方法就是这种轮换对称式只需取x=y然后按一元函数求最值的方法求出来的结果就是答案，大多数这种题这样都蒙对
利用二元函数求极值的方式 先求驻点 然后再用ABC进行检验 最后的结果是3倍根号3/2
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