麥克斯韋方程組在數學和物理上到底揭示了什麼聯繫?為什麼它也不是完全對稱的?
梯度,旋度,散度
電場,磁場
有旋、無旋場,有勢、無勢場,有源、無源場
線積分,面積分
麥克斯韋方程組
之間到底有什麼關係
謝邀。
之所以我對這個問題感興趣,主要是因為問題的後半部分可能也是很多人想過的:「為什麼它也不是完全對稱的?」
其實很多人也意識到了,這種「不對稱」的根源是自然界不存在磁荷;假設真的存在磁荷
自然,這個時候粒子受的總電磁力也就變成
在這種形式下,將
於是問題也就變成了:「為什麼自然界不存在磁荷?」
先上結論:
對於單獨的粒子,即便我們假設它真的既存在電荷
反過來說,即便是現在的情況,也可以通過對定義稍加修改而得到無窮多種電荷磁荷共存的理論框架,只不過它們的比值對任何粒子都是一個常數。又存在磁荷 ,但總是在實際物理意義上完全等價為只有大小為 的電荷,而磁荷為零;換句話說,很大意義上,「粒子只有電荷而沒有磁荷」可以看成是一種習慣上方便的說法而已。這種說法只是數學上不同的描述手段,並不會產生任何實際應用上的區別或誤差,更不致影響到實際的物理效應。
下面為了方便討論,我們採取形式更為緊湊的四維表述。雖然講清楚微分形式不是幾句話的事情,其實嚴格來講不該這麼草率,不過無傷大雅的情況下我們總可以這樣理解:
定義一個矩陣
定義一個矢量(4*1矩陣)
以及矢量(4*1矩陣)
名字不重要,其實說這麼多隻是為了說明,原來有關電磁的一系列物理量的全部信息現在都包含在
利用一個特殊的運算「
這就是麥克斯韋方程組的外微分形式。而假設存在磁荷的形式則是:
這裡沒必要看懂,只需要從形式上粗略來看看即可。相較而言,方程組的對稱與否在這裡體現地更加明顯。雖然對偶形式之間的關係不是一兩句話的事情,但是粗略來看,
那麼下面我們試著對二元組
若我們對
同時,我們也對
注意到,上面兩組聯合變換其實已經給出了:
如果你會這些運算的話,不難驗證,我們會發現,新的量仍然滿足
這說明麥克斯韋方程組在上述這一類與
上面毫無理由的變換看起來很莫名其妙,暫且放下。我們關心的不僅僅是這些形式上的trick;真正重要的是,上面的這種變換,會對於我們的物理觀測結果產生影響嗎?換句話說,若稱
答案是不能。我們可以不妨嘗試計算一下人類測量得到粒子受的總電磁力、電磁場的能量動量張量,以及任何人類可以直接測量的物理量,結果是完全相等的——變換前後既不能產生不同的動力學效應,也不能使時空具有不同的度規,更不能改變物理定律的形式,換句話說任何物理手段無法區分它們;而這其實說明瞭兩個系統根本就是一樣的、完全等價的,只是不同的數學描述手段而已。這說明,上面的對偶變換並不產生可觀測的效應,僅僅是數學上描述方式的trick,並非是造成實際物理變化的操作。
這個看起來很無聊的結論有什麼用呢?關鍵就在於:對於任何給定的、假設電荷磁荷均存在的場源
事實上,通過選取
這個故事告訴我們,對於單獨的粒子,即便我們假設它真的既存在電荷
然而其實有一個實際問題在這裡:若對於不同種類的粒子組成的體系來說,假若它們的電荷磁荷比
那麼,所有粒子有相同的
最後簡單說一下,所謂的參數為
用線性代數的語言通俗來講,其實我們在數學上,可以認為任何粒子都對應於某個抽象的線性空間中的一個矢量,電荷和磁荷的數值分別是它們在某個正交坐標基下的不同分量坐標;「
給 @木瓜 的回答中提到的內容做一些改寫。
實際上如果假定磁荷存在,並使用Gauss單位制的話,Maxwell方程組就是對稱的:
其中
為了寫成更漂亮的複數形式,定義電磁場
可以對上面兩個方程的兩邊同時乘
有評論質疑如此構造在數學上的嚴謹性。其實在
中,對於向量的每個分量只涉及加、減、乘的運算,這些運算在
將Nabla運算元用到
麥克斯韋方程中的運算元對散度,旋度表達式的簡化簡直是讓我驚嘆連連!!!
震撼心靈的觸動,學識越發的散發著它的魅力!
引入磁荷(依然認可不存在磁單級子)後就完全對稱了,僅有符號不同(正負分別表示磁場和電場)。
我覺得,如果把現代物理學精通後再回頭看看麥克斯韋方程組的話,會有新的體會
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