问问大佬经济学的问题？

有两个人抢银行，被抓到了。两个人分开审问，如果两个人同时说真话，那就没有价值，都被判九年。如果其中一个人说了真话，另一个人说了假话，那么真话的人被判两年，假话的人被判五年。如果两个人都说了假话，那么将没有机会出来。如果是你，会怎么选择？

实验本身需要具有合理性，你觉得这个实验合理吗？宝贝

Assumptions

题目给的条件很笼统，为了严谨一点，我们做一些简单的假设。

【Assumption 1】假设每个人的payoff和所盼年数是完全负相关的。这个条件很重要，因为万一两个人中有人觉得……

进了里面个个都是人才，说话又好听，超喜欢在里面。

也就是说，每个人的felicity function为

表示所判年限。

这样的felicity function是否合理值得讨论，后面如果我还有兴趣的话可以试试放宽这个条件。

【Assumption 2】假说两个人还可以活50年。题目里还有个条件不是很明确：

如果两个人都说了假话，那么将没有机会出来。

如果我没理解错的话，楼主指的是无期。人的预期寿命是有限的，因此我认为假设这时候的payoff为并不是十分合理。如果说人的预期寿命是70岁，两人抢银行时是20岁（年轻气盛hh），那么两人预期还可以活50年这个假设还可以接受。也就是说，当两个人都说假话时，payoff是。

当然这个assumption也可以放宽，但是为了简单还是先用著。

Set-up

博弈里的三个元素：

Players：（假设把两个人编号成1和2）
Strategies：每个人都有两个策略。说真话（Truth）写作，说假话（Lie）写作。策略集合用表示，是player编码。

Payoffs：我们用小写的表示player 的纯策略，。此外，为了表达payoff function，我们用来表示player 在给定对手策略的情况下选择的收益。

Strategic Form

1 2	真话（T）	假话（L）
真话（T）	-9，-9	-2，-5
假话（L）	-5，-2	-50，-50

Pure Strategy Nash Equilibrium

知乎表格竟然不能划线加粗……那我写一下。

先定义一下best response：best response 是在给定对手策略的情况下可以让player获得最高payoff的策略，表示成一个关于的函数：

如果有一个策略组合，在给定对手策略的情况下两个人都是Best response，那么那个策略组合就是Nash equilibrium（NE）。

当player 2选时，
当player 2选时，
当player 1选时，
当player 1选时，

所以有两个NE：。

Mixed Strategy Nash Equilibrium

现在允许玩家在一定概率下选择策略（mixed strategy）。

假设player 选择的概率是。

给定，player 2选择的预期收益为

给定，player 2选择的预期收益为

如果player 1选择，则说明，

即

同理，。

所以mixed strategy NE是。此策略下，两个人的payoff是，仅仅比稍微强一点，因为这个策略太差了……即使只有一点点可能性，也会降低预期收益很多，这导致混合策略向策略倾斜很多。

Repeated Game

如果允许重复博弈的话呢？

好像因为有个重复博弈奇奇怪怪的……那我们假设他们子承父业吧！儿子的选择会受到父亲之前选择结果的影响，但这个影响随著时间会减弱：爷爷辈的选择相比爸爸辈的选择影响更小。假设这个discount factor是。

我们之前提到mixed strategy NE 的payoff是比 pure strategy NE要更差的。

我们可以把几个策略画在图上：

其中，橙色的两个点是（-9, -9）和（-110/13，-110/13）。

我们放大左上角，根据 Nash Threat Folk Theorem，整个橙色区域（没标点的位置，你们大概体会一下）里的payoff组合在infinite repeated game下都存在相应的使其成为subgame perfect equilibrium。

懒惰了……之后佛系再更。

囚徒困境的题不是这么出的，一个真话一个撒谎，撒谎的人判的时间很长。

你这题直接就是向著撒谎去的。问题出错了！联系看看博弈论中的囚徒困境！

经济学里做实验可是要有真实激励的哈哈哈，付钱才能看出真的选择，否则说了都是白说。

这也不是囚徒困境啊，不过要说的话分类讨论看看。

假设囚徒A说真话，B有可能判9年（真）或者2年（假）。

假设囚徒A说假话，B有可能判5年（真）或者无期（假）。

并不存在纳什均衡。

这时候感觉只能假设两囚徒是风险中性的纯以期望做判断。

A说真话，可能被判9年或者5年。

A说假话，可能被判2年或无期。

A会选择说真话，B也一样。