對於全體有理數成立的結論能推廣到實數域嗎?
比如,對於算數平均數的琴生不等式,對於n個元素,令其中的i個元素相等,則可以得到權為i/n的一項。即可證明琴生不等式的有理數加權形式。那能否由此推出權是實數時不等式也成立?如果可以,那麼這一拓展要滿足什麼條件?
一個比較簡單的標準是:如果你的結論與極限運算「相容」那通常是可以推廣的。比如你說的這個結論,如果
這個結論在如下的意義下與極限運算「可交換」:
考慮一族有理數序列:
那麼就可以得到(利用大於等於號與極限運算"相容"):
也就是說(利用線性函數與指數函數的連續性):
此時的這個極限序列
第一:大於等於(
第二:線性函數,指數函數都是連續函數,也就是說他們與極限運算可交換
而對於有理數成立但是對無理數不見得成立的結論就很多了,比如
權是成立的。
加乘法交換分配律也成立。
但是有理數的結論不一定可以推到實數域。
比如有理數是可數的,但是實數是不可數的。
有理數對極限運算封閉,而實數對極限運算封閉。有理數能寫成兩數之比,而實數不一定。
在域論語言
你說的「比如」裡面的東西,肯定是可以推廣的。
但是全體有理數的結論,肯定不能推廣到實數。因為有理數的定義是可以表示為兩個整數的比值;而實數沒有這個要求。
從定義出發,你不能要求所有的實數都可以表示為兩個整數的比值,因此至少有一個結論不能推廣都實數。
這是第一次數學危機的焦點問題,古希臘的一個學派認為所有實數都可以表示為兩個整數比值,後來有人發現
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