為什麼不可以使用極限的定義求數列的極限?
數列極限的定義為何是圍繞驗證一個數是否是一個數列的極限。感覺這個定義是由概念的內函定義起來的。極限的定義應該是指明取得極限結果過程的定義。
題主有一點說的很對,就是現在廣泛使用的基於
其實從現代數學最近幾十年的發展來看,現代數學領域的幾乎所有定義都傾向於以內函的方式來確立——就連集合論中我們直覺上最符合「使用外延定義的概念」的類似交集、並集之類的術語,在現在主流的策梅洛-弗蘭克爾集合論中也是使用了「先定義並集應滿足的性質 — 引入公理保證並集存在 — 應用外延公理證明並集唯一性「這樣基於內函定義的方法來構建。從一方面來說,這種方法被廣泛採納是源於數學界長期流行的柏拉圖主義的本體論思想,即抽象數學對象客觀存在,並且不為人類的研究和探索所改變性質——在這樣的假設下,一位數學家大可以先用內函定義選出所有符合條件的數學對象,再去仔細討論選到的到底是空集、單元素集還是包含更多元素的集合,而不必如構成主義、直覺主義學派那樣擔心自己要討論的部分數學對象尚未被構建或描述出來。
從另一個角度來看,這樣的選擇也可以說是被現代數學所研究的對象的不可構造性所迫。這裡,我們把「構造「定義為用有限長度的數學語言去唯一地確定一個數學對象的過程,比如說將
關於極限本身,不使用外延的定義還有另外一點考慮,就是在數學中的一般性思維下,我們不僅僅會對實數系定義極限,還會將極限的概念拓廣到任意的拓撲空間上。然而,極限的唯一性並非極限概念固有的性質,而是其內函定義在豪斯多夫空間上的推論,在一般的拓撲空間中並不成立。比如我們可以考慮將兩張等大小的紙對齊粘合在一起,但只留下一條無限窄的邊不粘合——這樣的工作在現實世界中是無法進行的,因為一個非豪斯多夫的拓撲空間不能被放入物理世界這個豪斯多夫的(近似)歐式三維空間中,但是在拓撲學中我們可以用商空間的形式來定義這種留下一邊分離的粘合方式。現在,想像一個動點從兩張紙重合部分的中心開始運動並無限靠近不粘合的邊緣,那麼這個動點的位置在時間趨向無窮大時的極限就可以在任意一張紙的邊緣上——也就是說,同一個序列在非豪斯多夫空間中獲得了兩個不同(不重合)的極限。可以想像,如果我們在加上一張、甚至更多無限薄的紙,上述的運動就可以獲得任意多、乃至於無限多的極限,因此,想要在任意的拓撲空間中外延地定義出極限,幾乎可以說是不可能的。
當然,最重要的一點是,即使使用基於
參考
- ^見英文頁面: https://en.wikipedia.org/wiki/(%CE%B5,_%CE%B4)-definition_of_limit
極限的定義本來就沒有說它是「一個數」,是後面證明的。它與別的定義什麼數的方式並不相同。
這確實不太符合人類的直覺。
然而直接使用無窮小的概念又不夠嚴謹。
在非標準分析中,可以把實數的模型(初等)擴張成超實數的模型(超實數依然是一個有序域)。簡單來說,就是一個更大的域,上面依然有序關係,並且序關係和運算是想容是。在超實數中存在確實意義上的無窮小量(大於0並且小於所有整數的倒數)。在此之上依然可以發展出一套分析的理論。這種辦法或許更符合大部分人的直覺。
問題已閱,結論當然是不可以
因為是用極限定義數列極限容易構成循環論證
例子就是我們構造有理數數列時用的無窮小數展開而不是正分數的柯西列的定義,因為這樣沒有定義有理數數列極限反倒定義了柯西列的定義。
確實,這其實是很多數學大學生剛剛從高中到大學時感到的困惑——
即,為什麼上了大學以後,那麼多數學題不可以正向求出,而必須要「先猜後證」?
我以為,這可能正是因為,近代以來,人們對數學的認識脫離了一種獨斷論的限制,不一定追求一個「正向操作的萬金油方法」
數列上下廣義極限一定存在,如果相等則極限存在,不等則極限不存在
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