如何證明 a_n＝(1＋1/22)(1＋1/32)…(1＋1/n2) 收斂？

而容易知道右邊是是收斂的

對於一個數列 （ ），如果 恆成立

那麼 會和 同斂散

這是這麼證明的：

我們知道對於 ，

所以有

這說明

同時，將

逐項將括弧乘開，由數學歸納法，很容易得

從而

假如數列 有極限（表記為級數 的和）

那麼由單調有界定理，單調增數列

同樣存在極限，從而 收斂

同樣，如果 收斂

則單調增數列 也收斂，級數 收斂

此處實際上用比較判別法的極限形式更直觀一些

（當然比較判別法本身就是由數列的單調有界收斂定理推導得來的）

當 時，顯然 和 都是發散的，不多談

當 時，顯然有

由比較判別法可得，

級數 和 同斂散

回到這題，實際上

由於 和 同斂散

我們又知道

所以前者當然收斂

關於 這個結論，那證明方法太多了，可見：

事實上這個數列的極限是可以有精確值的：

首先由 的連乘展開：

變數替換後得：

代入 得：

由歐拉公式易知：

其中

於是，

即：

那我就來一個推廣的公式吧（證明在文末）：

當 時，有：

它是我最喜歡的公式之一。

這公式一出，可以解決一大堆無窮乘積的問題。

在計算過程中，我們還需這兩個常用公式：

下面開啟開掛模式

……

現在證明這個公式。

由Weierstrass公式：

可得：

把 分別換成 帶入 式，換成 帶入 ，然後相乘可得：

由於無窮乘積 的斂散性等同於無窮級數 的斂散性，於是取 我們知道 是收斂的，所以 也是收斂的。

事實上，由此還可以將結論推廣為： 在 時收斂，在 時發散，這隻需要注意相應級數 的斂散性就夠了。

至於求值，只需要注意以下展開式 並將 代入，馬上就可得到