線性代數是做什麼而發展出來的？

高中在看網課自學線代，是從行列式矩陣開始的，只講了各種概念和計算。之前看過 3B1B 的線代視頻，講到了解方程組，坐標變換等幾何意義，然而網課上隻字未提。請問，線代一開始就是為了解線性方程組嗎？為何一些課程全然不講這些東西，是不是現在已經有了新的觀點？
新人新人，對線代了解賊淺，問一點蠢蠢的問題。

以下觀點主要來自北京大學丘維聲教授的書《高等代數》，這本也是我學的時候參考過的書本。

有觀點認為，矩陣的概念是從求解線性方程組來的。在經典代數學中，求解線性方程組是最核心的內容之一。

解線性方程組最早的手段就是加減消元法和代入消元法。隨後人們發現，求解的過程中，未知數的字母僅僅作為符號的作用，對於解沒有太大意義，於是就把等號左邊的係數按順序記錄為一張數表，這就是矩陣。自然的，等號右邊的一列常數項，記為一列向量。在增廣矩陣上進行加減消元法的過程，就是初等行變換。為了有一套標準的方法以便於最後代入，人們希望把矩陣化為行階梯形矩陣。這一求解方法就是著名的高斯消元法。人們把常數項全為零的方程組稱為齊次線性方程組，反之則稱為非齊次線性方程組。

而且將方程組稍微變形我們就發現，其實矩陣每一列是一個向量，求解的過程相當於求如何用這些向量表示常數項。於是人們提出了向量組。在向量組中，有些向量可以用其它向量線性表出，有些則不行。這一現象我們稱為線性相關與線性無關。我們自然會想到，這些向量中，最少幾個向量就可以表示向量組中所有的向量。這就是向量組的極大線性無關組。而極大線性無關組的向量個數，被稱為向量組的秩。

憑經驗人們發現，行變換的過程中有時會出現矩陣一整行都是零的情況。於是人們想提出一個概念，可以表示這個矩陣到底可以有幾行「有價值」的信息，這就是矩陣的秩。

隨著解的方程越來越多，人們發現不是所有的方程組都有解。有解的方程組也不一定有唯一解，有些甚至有無窮多解。人們於是自然開始研究線性方程組有解或有唯一解的充要條件。想要回答這個問題，我們有必要研究這些解的結構。

作為相對簡單的情況，齊次方程組最早被研究。無窮多解的情況還有一個現象，那就是，零向量一定是解，兩組解的合差也是一組解，一組解乘以某一常數也是一組解。於是自然地想到了線性空間。

這就是線性代數開頭的思路，這條線還可以一直往後，隨著學習的深入，會觸及越來越多的知識點。

抱歉，我不記得是誰第一個提出把多個數字寫在一起組成「向量」了。似乎是哈密頓，知道的請糾正我。

首先，線性代數的發現和發展除了數學家的探索，肯定是為了解決一些實際問題。但是，數學家們為了嚴謹與抽象，定義和性質描述得讓人云里霧裡。

我這裡列舉一些常見的，好理解的線性代數的直接應用。當然，具體的操作是需要更多的專業知識，以及了解不同學科對於自身問題的建模方式。比較複雜。個人認為前兩個應用會比較好理解些。

解方程

解方程應該是線性代數最直接面對的問題。用矩陣來描述多元方程的係數並求解，用友隨矩陣來描述多項式並求根。

2. 電路

高中物理中的電路部分可能還不能完全體現用矩陣描述電路的優點，但是如果我說一個電路對應一系列方程組或許題主可以大致理解一些。使用一些電路里的守恆公式（流入節點的電流之和等於流出的電流之和，環路電壓降的和為0），每一個節點或者一個迴路可以列出一個守恆公式，那麼每一個電路可以對應一個方程組。求解方程組就可以得到對應電路的每個節點的電流，電壓。電路模擬軟體就是這麼模擬電路並給出結果的。

3. 線性編碼

在通信的信道編碼中，線性編碼是佔主要部分的。線性編碼是通過增加一些冗餘信息來提高消息的抗干擾能力。冗餘信息是通過原信息的某種線性計算得到的。既然是線性計算，就可以用矩陣來表示。比如LDPC碼就是一種線性碼。

5. 計算機圖形學

這個裡面也是大量運用線性代數。比如說圖像的放大，縮小，翻轉，線性拉伸都可以用矩陣來描述。這裡面比較好理解的就是坐標變換在圖片線性操作上面的應用。

6. 圖論

或者說網路。點與點的連接與否可以通過網路的伴隨矩陣來描述。很多圖的性質會與伴隨矩陣的性質息息相關。比如說伴隨矩陣的某階代數餘子式。

唉反對上面所有答案。如果你是問數學史的話，你可以參閱古今數學思想。

很不幸，線性代數有好幾個頭，線性方程組求解是一個，一開始真的就是解方程，真的就是行列式運算。行列式最早至少在15世紀就有人研究，萊布尼茨就研究過三階行列式。19世紀以來行列式理論有了進一步的進展，比如柯西證明了行列式乘法定理，其實就是矩陣乘法。所以請不要說線代和解方程組沒關係，也不早說線代的核心是向量空間，線性方程組求解不重要。實際上這是一個問題的一體兩面，比如線性方程組的解其實是個仿射子空間，就是定義域線性空間的子空間再加一個偏移量。用線性方程組的眼光看線性代數是完全等價的。

向量空間的表示和運算也是一個。最早搞矢量的傢伙們都是哲學家和物理學家，和我們說的線性代數差的太遠。我們想說的是向量空間，維數，投影，子空間，線性無關這些。那麼，第一個構造這個體系的傢伙是格拉斯曼。然而這貨觀念太超前，數學基礎太差，活著的日子裡都被當民科了，雖然解決了萊布尼茨的問題拿了獎，但是又被莫比烏斯批評。於是他最後成了一個歷史語言學家。他去世10年之後，他的核心思想被克萊因，嘉當，皮亞諾以及他們的追隨者進行系統性的發展和推廣。

我只是多年前讀過古今數學思想，依稀記得幾個名字，這個答案幾乎照抄維基百科詞條。於是我下面開始要批評人了。

我尊重每個人自由表達和批評的權利，也請被批評的各位承擔自己自由表達被批評的責任。

不了解問題就不要回答，回答不清楚就寫好不清楚，回答問題之前動動手指搜索一下資料，不會浪費幾分鐘生命，請不要肆意妄言坑害讀者。

說哈密頓那個不全對，他主要在弄超複數，和格拉斯曼外代數合在一起，發展到後面是Clliford Algebra。

扯什麼量子力學泛函分析的，請不要張口就萊，格拉斯曼這東西1844年就發表了。。

其他講什麼線代應用，還有對課本做總結的，大家心裡都知道跑題跑到姥姥家了，我就不批評了。

量子力學。線性代數中的列矩陣其實是高維空間中的向量（希爾伯特空間），對應波函數。線性代數中的方塊矩陣其實是在高維空間中對向量的拉伸和扭轉操作，對應力學量（算符）。線性代數中的特徵值方程就是量子力學中的本證方程，每一個特徵值就是一種可能的測量值（比如氫原子的能級），每一個特徵向量，就是一種可能的波函數（氫原子的軌道波函數）。

至於波函數是一個函數，為什麼可以寫成一組向量，想一想傅立葉級數，其實那個向量的各個分量就是傅立葉級數中的疊加係數。

綜上，線性代數是算符代數的幾何化。

泛函分析量子力學線性代數的最大作用是在這上面一個數學再牛逼物理上沒有重大作用發展動力就不會很大很多代數都與量子力學關係密切只不過數學書裡面往往不寫

線性空間，線性變換才是核心，少管接什麼線性方程組

不請自來。

線性代數之所以有今天這種不問源流的教法，與上世紀從事高等教育的人們受法國學派影響有關，這個學派主張從抽象出發得到整個體系，忽視了初學者計算經驗的不足。

線性代數這一部分主要是為了理解大量解方程經驗中的規律而發展出來的，它的目的是賦予解方程這一人類智力活動產生大量的抽象經驗以規律的，清晰的幾何-拓撲體系。說白了，就是一群數學家在常年累月解方程的過程中，產生了「我費那麼大勁解這麼多奇奇怪怪的方程到底有什麼用」以及「我怎樣才能多快好省地解一個方程」這樣的認識論與方法論問題。

如丘維聲的textbook實際上是從代數計算經驗出發闡述以上問題答案的最好的嘗試之一。3B1B這樣的用視頻動態展示線性代數則是從幾何經驗出發，對於進一步研究而言，前者優於後者，對於掌握線性代數概貌而言，後者優於前者。

但對一個狂熱的公理化數學愛好者，以上二者均不能滿足他/她對於線性代數的期待，事實上，就線性代數全局的內容而言，核心研究對象就是linear system of equations與polynomial，核心研究手段則是ideal與form的構造與高級計算。這兩塊認識到了，整個線性代數無非就是用算術-代數語言研究幾何-拓撲對象的性質，這與後來用幾何-拓撲語言研究算術-代數對象的性質(算術簇，代數簇之類的)形成的代數幾何是互補的。

首先談談研究對象，對於linear system of equations，在其求解過程的研究與大量計算中，產生了著名的K.Gauss elimination，即把linear system通過primary operations而階梯化。而這蘊含著階梯形這一重要的ideal，為後來解方程的形式化理論提供了initial inertial engine.

後來，經過W.Hamilton的對K.Gauss所繼承的算術研究，由四元數的概念定義了向量與純量，到了A.Cayley，產生了矩陣的概念，這一概念直到70多年後才由W.Heisenberg的對量子力學的研究而得以承認。有了矩陣，K.Gauss的思想才經過形式化的手段而得到了洗鍊。

G.Strang教授的視頻是從解方程組開始講起的，但是這不代表就是從方程組發展過來的。《線性代數極其應用》講了經濟學、電路學、圖論、網路流等等很多例子，同樣不能說是從那裡發展來的。理應用和來源是兩回事，火可以燒木，木可以生火，火也可以燒雞，可是雞不能生火啊。

你就是把矩陣極其運演算法則當做像火那樣的天神的恩賜也沒問題，數學史上由天才創造的概念比比皆是，好用就行了唄，非要刨根究底，恐怕天才自己也說不清楚。拉馬努金就說很多東西是做夢時某某女神告訴他的。