如何證明0.9999無限循環和1之間沒有無理數？
直接證明
和
之間沒有實數。
用反證法，假設存在一個實數
，使得：
![[公式]]()
因為
，故
。
取
，當
時，有：
。
即：
![[公式]]()
注意到
，故
。
而
，即：
，矛盾，得證。
這個就等價於證明0.9循環等於1唄，數學公理化、戴德金分割整起就行了。
反證法。0.99999...其實就是1-10的-n次方，這裡n-&>正無窮。假設存在實數a&>0.999...且&<1，那麼0&1-10的-N次方&>1-(1-a)=a，與a&>0.9999...矛盾。
所以其實由此可證0.9999..... = 1
0.9999... = 1，他們是一個數。
0.9999...是1的規範表達
它只是1的另一種寫法，等比數列和的極限的寫法
想到一個可能的證明方法，使用反證法，假設還有一個數A是在0.99無限循環和1之間。
那麼我們還知道0.99無限循環的極限就是1，我們可以把這個轉化為epsilon-delta表達式。
假設A減去0.99無限循環為B，那麼這個時候也就意味著0.99無限循環和1的距離至少為B，這個時候就不符合0.99無限循環的epsilon-delta的極限表達了，得出矛盾。
所以，0.99無限循環和1之間沒有其他的數。
在數學上，我們一般認為0.999…和1是相等的。證明有很多，可以去網上搜一下，這裡就寫一種最簡單的。
1/3=0.333… 2/3=0.666… 以此類推，3/3=0.999…，而3/3又等於1，所以1=0.999…
戴德金分割啊
這個題目在標準分析中有結論，繞不過彎的可以學習非標準分析……
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