積分∫[0, +∞] sin(x2)dx 收斂嗎？
這個積分不但收斂，而且可以求出封閉結果。利用Laplace變換，注意到
於是就有
既然已有人用留數算了這個積分，那我就來個更「炫技」的推廣：
計算積分：
其中
令
，構造扇形圍道：
由於圍道內無奇點，所以：
而：
令
，則 式變為：
即：
所以：
當
時，
便是著名的菲涅爾（Fresnel）積分。
另一種解法參見 @一葦之所如 大佬的文章：
一葦之所如：積分隨想?zhuanlan.zhihu.com
這是菲涅耳（Fresnel）積分。我來個「炫技」的求解，使用留數定理。
記
，規定路徑如下：
留數路徑 這裡
與我們待求的積分密切相關。 當半徑
時，由約當（Jordan）引理知 . 第三段傾角為
，積分為
其中泊松（Poisson）積分的推理如下：
（直角坐標化為極坐標）
那麼
由留數定理知
故
，順便得到了 . 這個叫Fresnel積分。我看到的書上的做法是一個看似震撼我媽但是其實是有背景（參見予一人大佬的回答）的做法。
首先是常規操作，令
，則 。 我們知道
。對此做點變數替換得到 。從而有
(至於為什麼積分號可以交換。。。懶得寫了2333）
引理：
證明：根據Gamma函數的定義[1]，有：
現在考慮扇形圍道積分：
其中：
現在設
則 ，因此當 時有 ，再根據柯西積分定理可知 ，所以對(1)式取 的極限，得：
再由引理可得結論：
其中當
時，可得 @Aries的結論：
再令n=2，得原題答案：
習題
證明：
參考
- ^Gamma函數的那些事兒（1）——定義 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/114041258
這是經典的【菲涅爾積分】，前面大佬們的回答已經非常詳細了，在這裡我給出一個大多數人能看懂的簡便方法。
菲涅爾積分的計算 這個方法的核心，是利用歐拉公式，將三角函數轉化為指數函數，然後再利用高斯積分(也稱概率積分)的結論即可快速得出答案，這應該是最快的方法之一。
當然，至於高斯積分本身的計算，這又是另一個問題了，可以使用廣義二重積分求解，也可以採用含參積分。前者是考研黨應該掌握的方法。
高斯積分的計算 可以輕易證明
收斂 事先知道
， 此時考慮
,構建以原點為中心，半徑為 幅角以逆時針方向增加 弧度的扇形圍道， 分別有
, 和
又由留數定理
用Jordan引理可知
此時令
,於是
整理一下便是
分離虛部即為所求。
更一般的，如果考慮
,構建一個如上幅角為 弧度的扇形圍道，則可以得到
其中
為Euler Gamma函數，定義為
雖然此有點循環論證的意味，但我還是把這個解法搬過來吧
考慮函數
，有奇點 ， 構建以0點為中心，四個頂點坐標分別為
, , , 的平行四邊形圍道，有
用留數定理
令
，於是有
即
也就是
這是菲涅爾（Fresnel）積分，我知道有一個解答，方法雖然寫起來有點繁瑣，但是一般知道一點積分常識的都會用
菲涅爾積分，直接搜就可以了
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