我們說函數f( x) 這裡的f( x)表示的什麼是一個變數嗎 如果描述一個函數 說函數2x這種說法對嗎
y=f(x)是函數。f(x)是表達式(或者多項式),x是自變數,y是因變數
比如y=f(x)=2x的話,f()=2*(),f 叫映射。()叫定義域中的某個元素。
函數2x是不準確的(但是口語不會講究太多,除非你在寫學術論文,只要大家能懂自變數是誰,因變數是誰就好)
準確的說法是函數歪等於二艾克斯
修改--------(20200810)
這幾年自己對函數的理解發生了變化。
我要對自己的觀點做如下修正:
y=f(x)是方程,不是函數。f纔是函數(也叫映射)
例如y=f(x)=2x,你畫出來的線,教科書叫函數線,本質是滿足y=f(x)方程的解曲線。(也就是說數學中沒有函數線的定義的必要,所有圖像皆某個方程的解,「把x當作輸入y當作輸出」 只是解曲線的一種畫法、並且方便理解)
f()叫做函數,本例中其本質為f()=2(),f只是負責把括弧裏的東西按照後面的規則擺放。
複雜一點,比如g(x)=3x^2+e^x
的g的本質為:g( )=3( )^2+e^( )
所以這也是為什麼寫成 h(x+2)=x+3的函數本質為h(x)=x+1了,因為:
h(x+2)=x+3=x+2+1=(x+2)+1
所以 h 只是把 (x+2) 按照 h()=()+1 的方式擺放出來了而已。
所以要寫成h(x)=x+1
不要太過於糾結函數的具體寫法,否則就是鑽牛角尖了。
函數本質上就是映射。從定義域集合中選一個元素 (原象)塞入映射 ,映射會輸出一個元素 (象),這個東西就定義為映射。函數就是元素都是數的映射。你只要知道,函數是一種變換/對應法則就夠了,把 變換為/對應到 .
我們習慣上認為 是自變數, 是應變數。實際上也可以不是這樣,只要敘述清楚,沒有歧義即可。
是函數,自變數是 ,應變數是 .
可以認為是函數,自變數是 ,應變數是 的值。
甚至 也可以認為是函數,數學上叫隱函數,因為每個 都能確定一個 ,但是為了區別它和 這種形式,稱後者為顯函數。
也是函數,是二元函數,因為有兩個自變數 與 ,應變數是 .
多值函數甚至違背了函數必須一對一或者多對一的要求,允許一對多。例如函數 ,當 的時候, 可以為 ,一個自變數可以對應多個應變數。多值函數在複變函數領域裡很常見。相應地,我們常見的函數,被稱為單值函數。
數學對於函數這種抽象定義,還是很包容的!
只是函數的一種表達形式,函數本質上是這個對應法則 . 我們稱 為三角函數,也是因為它清晰地表達了 這個三角函數。好比說 是加法,你不能說 就不是加法了(加法恰好是一個二元函數)。
比較精準的描述是"代數式 表達了一個函數 ","代數式 表達了一個函數 "。
但是這麼說太麻煩了,所以我們直接說" 是一個函數",任何人理解上都不會有問題。我們這裡所說的"是",意思上都是"表達了"。
其實 也只不過是表達了一個函數 ,它也不能100%等同於這個函數。畢竟 ,只要 不變,可以認為是同一個函數。 和 也可以認為是同一個函數。
"把輸入乘以2並輸出"這也是一個函數啊,其表達方式是語言描述。
我指著一個盒子跟你說"這是塑料"。意思不是說塑料是我指著的這個東西,也不是說塑料是盒子,而是說盒子的材質是塑料。你得知道塑料的意義是什麼。
我指著x+1說這是函數。意思不是說函數就是x+1這種代數式,也不是說函數就是y=x+1這種方程,而是說x+1表達了一個函數。你得知道函數的意義是什麼。
" 是函數",意思是" 表達了把輸入加一併輸出這個函數"。
函數只是需要一種方式來表達,用等式、代數式、語言描述等方法都可以,只要清晰就夠了,沒什麼必要在這裡糾結。
嚴格說了,題主所說的三者都不是函數。
y 與 x 有兩倍的這個關係,纔是函數。
我們要表達這種兩倍的關係,要引進兩個對象,x 與 y(或者用其他兩個對象例如 s 與 t),然後用 = 表達他們量的關係
從一個量到另外一個量,他們之間量的關係,纔是函數。
因此,如果你用文字表達,就說「兩倍關係」,這個就是函數。
首先題主需要複習一下函數的定義,函數在整個學習階段是漸進式的。
在初中是如下定義:在某一變化過程中,兩個變數x、y,對於x的每一個值,y都有唯一的值和它對應,y就是x的函數。這種關係一般用y=f(x)來表示。其中x叫做自變數,y叫做因變數。
在高中及其以上是這樣定義的:設A和B是兩個非空集合,如果按照某種對應關係 ,對於集合A中的任何一個元素a,在集合B中都存在唯一的一個元素b與之對應,那麼,這樣的對應(包括集合A,B,以及集合A到集合B的對應關係f)叫做集合A到集合B的映射(Mapping),記作