我們說函數f( x) 這裡的f( x)表示的什麼是一個變數嗎 如果描述一個函數 說函數2x這種說法對嗎


y=f(x)是函數。f(x)是表達式(或者多項式),x是自變數,y是因變數

比如y=f(x)=2x的話,f()=2*(),f 叫映射。()叫定義域中的某個元素。

函數2x是不準確的(但是口語不會講究太多,除非你在寫學術論文,只要大家能懂自變數是誰,因變數是誰就好)

準確的說法是函數歪等於二艾克斯

修改--------(20200810)

這幾年自己對函數的理解發生了變化。

我要對自己的觀點做如下修正:

y=f(x)是方程,不是函數。f纔是函數(也叫映射)

例如y=f(x)=2x,你畫出來的線,教科書叫函數線,本質是滿足y=f(x)方程的解曲線。(也就是說數學中沒有函數線的定義的必要,所有圖像皆某個方程的解,「把x當作輸入y當作輸出」 只是解曲線的一種畫法、並且方便理解)

f()叫做函數,本例中其本質為f()=2(),f只是負責把括弧裏的東西按照後面的規則擺放。

複雜一點,比如g(x)=3x^2+e^x

的g的本質為:g( )=3( )^2+e^( )

所以這也是為什麼寫成 h(x+2)=x+3的函數本質為h(x)=x+1了,因為:

h(x+2)=x+3=x+2+1=(x+2)+1

所以 h 只是把 (x+2) 按照 h()=()+1 的方式擺放出來了而已。

所以要寫成h(x)=x+1


不要太過於糾結函數的具體寫法,否則就是鑽牛角尖了。

函數本質上就是映射。從定義域集合中選一個元素 [公式] (原象)塞入映射 [公式] ,映射會輸出一個元素 [公式] (象),這個東西就定義為映射。函數就是元素都是數的映射。你只要知道,函數是一種變換/對應法則就夠了,把 [公式] 變換為/對應到 [公式] .

我們習慣上認為 [公式] 是自變數, [公式] 是應變數。實際上也可以不是這樣,只要敘述清楚,沒有歧義即可。

[公式] 是函數,自變數是 [公式] ,應變數是 [公式] .

[公式] 可以認為是函數,自變數是 [公式] ,應變數是 [公式] 的值。

甚至 [公式] 也可以認為是函數,數學上叫隱函數,因為每個 [公式] 都能確定一個 [公式] ,但是為了區別它和 [公式] 這種形式,稱後者為顯函數

[公式] 也是函數,是二元函數,因為有兩個自變數 [公式][公式] ,應變數是 [公式] .

多值函數甚至違背了函數必須一對一或者多對一的要求,允許一對多。例如函數 [公式] ,當 [公式] 的時候, [公式] 可以為 [公式] ,一個自變數可以對應多個應變數。多值函數在複變函數領域裡很常見。相應地,我們常見的函數,被稱為單值函數

數學對於函數這種抽象定義,還是很包容的!


[公式] 只是函數的一種表達形式,函數本質上是這個對應法則 [公式] . 我們稱 [公式] 為三角函數,也是因為它清晰地表達了 [公式] 這個三角函數。好比說 [公式] 是加法,你不能說 [公式] 就不是加法了(加法恰好是一個二元函數)。

比較精準的描述是"代數式 [公式] 表達了一個函數 [公式] ","代數式 [公式] 表達了一個函數 [公式] "。

但是這麼說太麻煩了,所以我們直接說" [公式] 是一個函數",任何人理解上都不會有問題。我們這裡所說的"是",意思上都是"表達了"。

其實 [公式] 也只不過是表達了一個函數 [公式] ,它也不能100%等同於這個函數。畢竟 [公式] ,只要 [公式] 不變,可以認為是同一個函數。 [公式][公式] 也可以認為是同一個函數。

"把輸入乘以2並輸出"這也是一個函數啊,其表達方式是語言描述。

我指著一個盒子跟你說"這是塑料"。意思不是說塑料是我指著的這個東西,也不是說塑料是盒子,而是說盒子的材質是塑料。你得知道塑料的意義是什麼。

我指著x+1說這是函數。意思不是說函數就是x+1這種代數式,也不是說函數就是y=x+1這種方程,而是說x+1表達了一個函數。你得知道函數的意義是什麼。

" [公式] 是函數",意思是" [公式] 表達了把輸入加一併輸出這個函數"。

函數只是需要一種方式來表達,用等式、代數式、語言描述等方法都可以,只要清晰就夠了,沒什麼必要在這裡糾結。


嚴格說了,題主所說的三者都不是函數。

y 與 x 有兩倍的這個關係,纔是函數。

我們要表達這種兩倍的關係,要引進兩個對象,x 與 y(或者用其他兩個對象例如 s 與 t),然後用 = 表達他們量的關係

從一個量到另外一個量,他們之間量的關係,纔是函數。

因此,如果你用文字表達,就說「兩倍關係」,這個就是函數。


首先題主需要複習一下函數的定義,函數在整個學習階段是漸進式的。

在初中是如下定義:在某一變化過程中,兩個變數x、y,對於x的每一個值,y都有唯一的值和它對應,y就是x的函數。這種關係一般用y=f(x)來表示。其中x叫做自變數,y叫做因變數。


在高中及其以上是這樣定義的:設A和B是兩個非空集合,如果按照某種對應關係 ,對於集合A中的任何一個元素a,在集合B中都存在唯一的一個元素b與之對應,那麼,這樣的對應(包括集合A,B,以及集合A到集合B的對應關係f)叫做集合A到集合B的映射(Mapping),記作

定義在非空數集之間的映射稱為函數。

所以函數f(x)實際上是y=f(x)的簡寫


你這個問題,Gottlob Frege很多年前考慮過,並且寫了一篇文章:What is a function 。

傳送門:

Translations from the Philosophical Writings of Gottlob Frege?

www.amazon.com圖標弗雷格哲學論著選輯?

www.amazon.cn圖標

答主大概是對函數的定義犯了糊塗。

函數有很多種理解方式,樓上各位回答都寫的很明白,鑒於題主可能對數學不太熟練,我試著用不嚴謹的通俗大白話解釋一下。

1,把函數想像成一個黑箱,一個機器,函數,英文function本來就有"功能"的意思,這個黑箱就是你往裡面丟一個東西(輸入),它就還給你另一個東西(輸出/返回)。但比較好玩的是,這臺黑箱不是亂扔東西的,它是按照某種特定的規律和模式進行"輸入-輸出"這一過程的。

比如你每次輸入一個數字n,它就還給你n+1,那這個函數就是f(n)=n+1,n是你輸入的值,n+1是黑箱還給你的值,"f()"這玩意代表這個黑箱的功能,你也可以寫成f:n→n+1,意思是n在f的作用下變成n+1,也就是"一個數在黑箱的作用下變大了1",這個函數就是最簡單的一次線性函數。

當然,你輸入的可以是"數字",也可以是任何事物。比如,你往黑箱裏輸入一個人,然後黑箱告訴你他媽是誰。比如輸入"本題題主xxx",然後機器告訴你"題主他媽xxx",寫成函數叫做f(某人)=(某人他媽),這個函數你喜歡叫做f也好,叫做"找媽函數"也可以。

2,把函數想像成一種對兩個(多個)事物之間關係的描述。如果這個世界可以被描述成很多種屬性,屬性之間沒有關係的話,世界多單調啊。

比如時間和天氣,每一天都有不同的天氣。所以這是兩個量之間的關係(日期和天氣),那日期就是自變數,天氣是因變數。6月20號對應28℃

比如我國的地區和海拔,地點有經度緯度兩個量確定,而對於每一個經緯度確定的地點,都有一個海拔高度對應,所以這是一個量和兩個量之間的關係。海拔受地點控制

比如對於一個人,他的性格受家庭環境,學歷,財富,閱讀量,朋友和閱歷等等等等變數影響,那他的性格就是受多個變數影響的一個量....但不僅性格被學歷影響,學歷也被性格影響,所以自變數和因變數有時候並不能區分。

3,把函數看成一個映射。這也是函數最根本都定義。說起映射不能不提集合,世間一切事物幾乎都能用集合表示。"中國人"是集合,"正整數"是集合,"性格","天氣","地點","所有的電子","顏色","所有人的媽"都是集合。。。從一個集合到另一個集合的變換,對應,就是映射。這就像,舞動的剪紙在白紙上打出皮影,投影儀在熒屏上播放電影,所以被投影的那個集合,叫"原像"(剪紙和投影儀),投影出來的集合,叫"像"(熒幕上的電影)。比如剛才的"找媽函數","所有人"構成原像,而"他們的媽"構成像,從所有人到所有人各自的媽,這兩個集合之間的映射,就是找媽函數,或者找媽映射。。。

所以關鍵不是那個等式是不是函數。。是你要理解函數到底是啥。。。函數的表示方法多了去了。。。

所以函數有三要素:

1,定義域,又叫原像,自變數,輸入值

2,值域,又叫像,因變數,輸出值,返回值

3,對應關係,又叫映射,又叫黑箱,又叫函數體,又叫函數本身

如同你說"情人關係"這四個字,其實就暗含了一個關係,兩個對象,重要的是他倆之間什麼關係。這個關係,聯繫,對應,邏輯,(隨便用什麼詞)就是函數

y=2x,我們姑且把它叫做"加倍函數"

你可以說,加倍函數是從x到y,你給我個x,我還你一個y,你錘我一下我錘你兩下。y是x的兩倍

也可以說,加倍函數是從x到2x,因為是加倍函數嘛,×2就行了

也可以說,加倍函數是從x到f(x),f(x)是x的兩倍,f的作用是把x翻番兒....

可以說2x是(關於x的)加倍函數,也可以說y=2x是y關於x的函數,f(x)=2x是關於x的函數,f:x→2x是加倍函數。。

至於你糾結的積分的問題,你學過含參變數積分不, 你必須指明2x是關於x的函數纔行,不然如果你的變數是t的話,那2x壓根不是函數啊。。。就好像你說"所有人的媽"是"所有人"的找媽函數,但你不能說"所有人的媽"是"所有東北虎"的找媽函數吧。。。這沒有對應關係啊


函數是兩個非空數集之間的對應,一般通過如下方法定義一個函數:

f: A→B

x→y=f(x).

你可以這麼理解,x是集合A中的元素,y是集合B中的元素。集合A中的元素經過一系列變換轉換為集合B中的元素我們稱之為f,即函數function。x就是傳給f的參數,y就是f的返回值(即x經歷完這一系列運算f後的數值,寫作f(x))。

有一點要注意的是,f是對x的一系列運算,這意味著f是定義在x(傳給f的參數)和y(f的返回值)的取值範圍(所屬集合)下的,分別稱之為定義域和陪域,定義域上所有f(x)的值的範圍(所有的值構成的集合)就是值域。

之所以陪域可能真包含值域,是因為函數只要求對任意x只有唯一y,沒有要求任意y都有相對應的x。

比如說

f1(x)=x,定義域為正數集合,陪域為正數集合,值域為正數集合;

f2(x)=x,定義域為正數集合,陪域為非負數集合,值域為正數集合;

f3(x)=x,定義域為非負數集合,陪域為非負數集合,值域為非負數集合;

就是不同的函數,只不過擁有相同的解析表達式而已。


函數是一種對應關係,對於論域中任意兩個對象,應當給出是否對應的明確答覆,當然這種對應不是對稱的,即x是否對應y與y是否對應x無關.

在實數域中,2x顯然給出了這樣一種對應關係,即每個實數x對應實數2x,而x不對應實數2x+1.

初學者可能對有不定積分有疑問,事實上,一個函數的不定積分通常是指一族函數,如果沒有學過集合論,可能會對這樣的定義感到奇怪,所以我通常建議採用原函數的說法.比如,x^2是2x的一個原函數,x^2+1也是2x的一個原函數,實際上,對於任意一個實數c,x^2+c都是2x的一個原函數.

那麼函數僅僅是指一種對應關係嗎?可以這樣認為,但是這樣會給數學研究帶來不便.在研究函數的性質時,常常會涉及到函數的定義域和值域(為了區分定義域的像,有時稱作陪域),以及與其有關的一些結構,比如序結構,代數結構和拓撲結構.所以我們並不單獨指稱一個函數,而是說f是從集合X到集合Y的一個函數(f將X映入Y),記為 [公式] .

對於X,Y中任意一對元素x和y,我們簡單記作 [公式] ,x要麼對應y,要麼不對應y.所以我們可以說, [公式] 要麼在對應關係 [公式] 中,要麼不在,我們也可以記作 [公式] .那麼,由且僅由在 [公式] 中的序對 [公式] 組成的集合也是從X到Y的函數,顯然,他有著和 [公式] 一致的對應關係,這就是函數在集合論中的定義.

在數學研究時是不可能避免用到集合論的,所以我在這裡給出一個嚴格的集合論定義.我們稱 [公式] ,如果他們滿足下面三個條件:

[公式]

(X以外的元素沒有任何對應)

[公式]

(對於X中的每個元素x,在Y中都存在一個元素y與其對應)

[公式]

(這種對應是唯一的)

其中 [公式] 被稱為 [公式] 的定義域, [公式] 稱為值域(陪域).如果 [公式] ,那麼對應的y通常記作 [公式] .


函數最直白的定義,對於自變數的任意一個取值,因變數有唯一的值與之對應,則稱兩者有函數關係.

高中之後,函數的定義建立在集合上,表示從一個非空數集到另一個非空數集的映射.

但是這麼說是有一點抽象啦,所以有了表示函數關係的三種方法:

圖像法,解析式法,列表法

而y=2x就是解析式法,表示y是x的函數,函數關係是y=2x


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