自转的理想气体行星是什么形状的?
(轴对称的稳定解)
调研了一番后,我发现这是一个看似简单有趣、却极其复杂、又具有深度历史渊源的问题。
对自转天体形状的研究,可以从近代的天体物理学家钱德拉(Chandrasekhar),一路往回追溯到一大票大家耳熟能详的物理学家与数学家:洛希(Roche)、庞加莱(Poincaré)、狄利克雷(Dirichlet)、刘维尔(Liouville)、雅克比(Jocobi)、麦克劳林(Maclaurin),甚至物理学的祖师爷——牛顿(Newton)。
这篇回答主要参考了钱德拉 1969 的著作——《Ellipsoidal Figures of Equilibrium》及其他的文献。在文章的最后,我们再来看看牛顿祖师爷是怎么在自己的著作——《自然哲学的数学原理》中处理这个问题的。
麦克劳林椭球(Maclaurin Spheroid)
首先,在角速度较低时,自转的理想气体行星是一个麦克劳林椭球(Maclaurin Spheroid),其表面由方程
来定义,
麦克劳林椭球的偏心率与天体自转角速度
其中
上图展示了椭球偏心率
的地方(图上的峰值)是没有定义的,这就意味著,当行星旋转太快后,平衡状态消失,行星将无法维持稳定的椭球形状。
雅克比椭球(Jacobi ellipsoid)
麦克劳林于 1742 年建立起自旋天体形状的相关理论,在之后近一个世纪的时间里,人们都以为该问题只有这一个绕转轴对称的解。甚至,拉格朗日在重新探究了这个问题的数学方程后,都认为椭球的两条轴应该是相等的。但是,在 1834 年,雅克比发现这个问题居然还有一个非对称的三轴椭球解!方程如下:
用上述方程解得的
也就是旋转轴一定是最短轴
你可能要问:旋转如此奇异的天体在现实中真的存在吗?
实际上,鸟神星 Haumea 就是一颗雅克比椭球。2010 年,通过分析鸟神星的亮度变化曲线,天文学家发现鸟神星的三轴长度分别为 1920 * 1540 * 990 km,而它正在绕著自己的最短轴旋转(Lellouch et al. (2010))。
在随后的 1842 年和 1846 年,Meyer 和刘维尔证明了在轴对称椭球的偏心率超过
戴森-王甜甜圈(Dyson-Wong toroid)
然而,这个问题的神奇之处还不止于此:
自转的理想气体行星可以不是球形的,它甚至可以是甜甜圈!
1974 年,Wong 发现了除了麦克劳林椭球之外,这个问题还存在一个环形的轴对称稳定解。现在这个解被称为 Dyson-Wong toroid(戴森-王甜甜圈,自己起的译名,仅供参考)。
注:这里的戴森不是提出「戴森球」的弗里曼·戴森,而是弗兰克·戴森。根据维基百科,虽然不确定两人是否是有亲戚关系,但是弗里曼·戴森相信弗兰克·戴森激发了他对天文学的兴趣。
随后,又有研究者发现,戴森-王甜甜圈也是可以从麦克劳林椭球分岔过去的(Eriguchi Sugimoto (1981))。下图就展示了如何从一个自转的椭球体「过渡成」一个自转的甜甜圈。
所以,下面这样的甜甜圈星球在理论上也是可以存在的勒:
祖师爷的解法
关于自旋天体形状的研究,早在牛顿的巨作——《自然哲学的数学原理》就已经出现了。牛顿用一个非常直观的方法,推导出了自旋天体的扁率和角速度的关系。这里,我参考了钱德拉翻译的《Newton』s Principia for the Common Reader》,来看看牛顿是怎么处理这个问题的:
牛顿上来就把地球钻出了两条隧道,一条从地心通往极点,另一条从地心通往赤道,又把隧道都灌满水。
这两条隧道的长度分别是地球椭球的半长轴
定义
那么赤道隧道中水的总重量为:
而极隧道中水的总重量则为:
因为液体平衡,两边隧道中水的重量必须相等(其实就是流体静力学平衡):
用
那么行星的扁率即为:
这个结果正是麦克劳林椭球解小偏心率情况下的展开,感兴趣的读者留作课后习题自己证明。
使用这个公式,牛顿算出了地球的扁率是
这就是牛顿的解法。
It is so elegant. So intelligent. —— T.S. Eliot
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泻药。。。
?普通的恒星模型都是基本照自转的理想气体行星处理的。。。难道你强调的是自转?极端条件下的?建议补充一下问题描述
上网查→银河系的木星与土星图片
是赤道向外凸起的椭球形
球形,,,
或是棒槌形,,,
路飞帽子形。。。
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