這個級數應該怎麼計算呢?求解答?

他在全平面的奇點為 以及

下面計算留數：

由留數定理：

令 ，上式變為：

即

所以：

相應的，我們也就算出了這個積分：

下面是四個更一般的級數，讀者自證不難：

是個好東西，因為它在整數處的留數都是1。那麼我們只需要構造 ，然後構造合適的圍道： 和 圍成的正方形。這個積分結果當n趨向於無窮時趨向於0，但是它除了我們想要的留數 之外還有 處的兩個極點，留數都是 ，因此 ，所以你要求的

留數定理，考慮函數 的積分。

雙休日寫，別和我搶（傲嬌臉

別的答主們都用的餘切，或者留數的方法。其實也可以用傅裏葉級數。

設 ，考慮函數 在區間 上的傅裏葉展開：

，

，

.

因為 在區間 上是可微的，所以其傅裏葉級數收斂於自身：

， .

當 時，右端級數收斂於 ，即

，所以

注1. 在上式右端令 ，極限正是 .

注2. 在傅裏葉展開式中令 ，得到 .

結果貌似差不多，後面幾位小數略有點誤差。