長度一樣的繩子，圍成正方形比長方形面積大，為什麼？

首先是要有一根繩子，它長度為：

我們要將它圍成這兩種形狀之一：

圍出的長方形（長≠寬）可以有無窮多個，但圍出的正方形只會有個，這是因為，如果有兩個正方形，邊長分別為和，那麼就有，因此在給定繩子長度時，只會有種正方形。
我們讓矩形的長和寬分別是和：

那麼就知道，是要在的情況下，求最大的。
易知，因此
令，則 .
而 .

這說明面積會在時取到最大值，從而此時也有。
說明圍出來的是一個正方形，因此當繩子長度為時，圍成正方形會比長方形的面積大。

也可以採用一些簡單的觀點來看出圍成正方形時面積最大：
我們可以假設已經圍出一個正方形，然後隨便圍出不是正方形的矩形。
從而知，正方形面積是：；
而長方形的面積是：，其中，這是因為這些長方形只不過是通過正方形給出一部分邊長給另一條邊做成的，因此這樣表達是合適的。
既然如此，就可以讓這兩個面積相減：

而是大於的，因此這個正方形會比任何其他長方形的面積都要大，所以繩子長度為時，圍出的正方形的面積是最大的。

parseval等式

設繩子長度為a，圍成的長方形一邊長為x，則另一邊長為a/2-x
所以，長方形的面積為a/2*x-x^2；
所以，當x=a/4時，長方形面積最大；
所以，另一邊長為a/2-a/4=a/4；
所以，長方形兩條邊相等，這是一個正方形。

設繩長4a
則正方形面積為a2
設長方形較短的邊為a-x
其中x＞0
則較長的邊為a+x

面積為a2-x2＜a2
證畢

設繩長為1
圍正方形面積是
0.25*0.25=0.0625
圍長方形時面積是
(0.25+x)*(0.25-x) = 0.0625-x^2 &< 0.0625
就這樣。

看公式，你就明白了

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