請問如何證明這個不等式的左半邊？

不利用歐拉常數等於0.57..，或者如何估計歐拉常數。

一個古老且複雜的方法。既然要估值歐拉常數，那就是歐拉說得算。為了看清楚歐拉的心路歷程，先給出一個歐拉發現的公式：

Lemma (Eulers summation formula)

如果在區間上有連續的導函數（），則有：

，其中是取整函數。

證明如果需要可以日後再更。

之後再來看的情況：

把代入到Lemma裡面，並令，有：

。整理一下有：。於是，。

我們湊出了題里想要的形式，現在來觀察積分。

首先對於任何一個，都存在一個，使得

於是就相當於把積分的分子替換成了一個在0到1之間的常數，有：

。然後對於，都有，於是有：，所以，最後再代入到剛剛整理過出的等式中，就能得到。//

先證明這個面積原理的加強形式：若在上下凸，則

首先因為在上，經過點和的直線上的點在的上方，所以

兩邊從到做積分可以得到結論

因為在上是下凸函數，所以可以對每一個都應用上述不等式，累加可得

橫線部分是一個比較常用的函數不等式。

還有這個，右邊的證明簡單。

比較常見的函數不等式

我發現田字是一對二分之一（0.001*1000=01）（0點1千個*個千1點0）（10-1=9和9+2=11=01+10=11）（01+10=11和11/2=5.5）直徑圓周（核心尺半（正中統一0點的1份時間標準）半圓空間）兩種性質的（正中0點和1份正方統一時間標準原理模型。證明了田字外圍4直徑和內4半徑，相對等於（內外圓周正中方周〉一對兩種性質自然規律人為規則統一時間標準原理，相對等於正中0點1的統一時間標準的數學原理模型。詳細時間過程《大自然的正反規律》證明了我認知自然規律人為規則進步時間過程模型。

數學歸納。