疊加態是什麼?
需要注意的一點,本徵態和疊加態是一個相對而言的概念,你不能指著一個態說它就是疊加態,它就是本徵態,一定得說它是相對於那個物理量而言的。
完全可能一個態對於物理量A來說是本徵態,對物理量B就是疊加態。
從數學上的定義而言,態是共線的非零態向量的等價類,而一個而本徵態,就是一些共線特徵向量的等價類,對於物理量A,它對應著希爾伯特空間的一個自伴運算元A,對於複數a,如果
,a稱為A的點譜(或特徵值), 稱之為 a對應的特徵子空間,特徵子空間中的非零向量的共線等價類就叫本徵態,特徵子空間的維數稱為a的簡併度。 對於點譜而言,投影
非0,它就是 對應的正交投影運算元,所以 ,測量A的概率 就變成了單點測度,也就是隻有測出a這一種可能。 相反,對於不屬於某個特徵子空間的態,就叫疊加態,所以疊加態纔是普遍,本徵態纔是罕見的,只是有所謂退相干機制讓你使用某種儀器去觀測粒子,由於儀器和粒子的相互作用,會使得疊加態變成本徵態,這其中仍然是物理量依賴的,因為測量某個物理量必須使用相關的儀器,或者調整儀器的狀態。
所以不用那麼多數學概念本徵態就是測量某個物理量,一定只能得出單獨結果的態。這東西顯然是物理量依賴的,所以不能直接說某個態就是疊加態。
1,幾個態的疊加態是不同於這幾個態的一個新的態。
很多敘述過分強調了疊加態和原態的聯繫,而忽略了疊加態和原有態的區別。
例如說,按一些說法|1&>和|2&>的疊加態a|1&>+b|2&>,「部分處於|1&>態,部分處於|2&>態」或者「以概率|a|^2處於|1&>態,以概率|b|^2處於|2&>態」,以及流傳最廣的「貓部分地處於死態,部分地處於活態」。
這些說法都只強調了疊加態和原有態相同的部分,但沒有提到新態和原態的不同。
例如,根據傅裏葉變換,很多波函數都可以用平面波函數疊加而成:
其中ψ(x)可以是高斯函數,即一維諧振子的基態,這是一個束縛態,但疊加為這個束縛態的所有態都是平面波,即非束縛態。一堆非束縛態疊加成了一個束縛態,可見疊加態不僅有和原態類似的性質,更有不同於原有的態的性質。疊加態是不同於原有態的一個新的態。
(這段具體可以見喀興林老師書中對態疊加原理的說明)
2,疊加態是相對的。
由於「薛定諤的貓」的例子影響廣泛,聽多了「貓處在又死又活的疊加態」,大家會產生「又死又活」是疊加態,由「死」和「活」兩態疊加而成。
但其實也可以反過來說「死」或者「活」是由「又死又活」疊加而成的疊加態。
例如|1&>=(|死&>+|活&>)/
, |2&>=(|死&>-|活&>)/ ,那麼有|死&>=(|1&>+|2&>)/ ,|活&>=(|1&>-|2&>)/ 可以看到這時候「死」和「活」就是疊加態了。可見疊加態不是絕對的而是相對的。這點 @YorkYoung 回答裏有更進一步的說明。
所以問題關鍵不是「什麼態是疊加態,什麼態不是疊加態」而是「為什麼我們只能測到|死&>和|活&>態,測不到|1&>和|2&>態」,這是偏好基問題。對此 @賈明子 有很多相關內容:
如何看待和理解量子達爾文(Quantum Darwinism)主義??www.zhihu.com量子退相干到底是什麼意思??www.zhihu.com 我的更多科學類回答:
如何用線性代數理解量子力學??www.zhihu.com老問題了,什麼是熵??www.zhihu.com 為什麼張量是不變數??www.zhihu.com 其實個人覺得不需要用"薛定諤的貓"去理解疊加態,從數學上來理解,會更加簡潔明瞭,感覺不會有那種所謂的"又生又死"的玄學感!
本徵態和疊加態關鍵還是得看你測量的是什麼,或者說取決於你關注的可觀測量。同一個態,對於一個可觀測量可能是本徵態,而對於另外一個卻是疊加態,所以不談關注的物理量(自伴運算元),談本徵態還是疊加態沒什麼意思!
態是物理復希爾伯特空間裏的一個元素,一般來說,線性空間都會有一組基(選擇公理),其中的元素可以寫成這些基的線性組合,當然量子力學裡的可觀測量是一些稠定的自伴運算元,它們的譜(不嚴謹地說,特徵值)是一個稠密的連續譜,比如位置算符X,它的譜就是一些這樣的x,對應的特徵向量就是Ⅰx&>。
在選定了這個運算元X的前提下,我們可以把態寫成這種形式(這裡暫時不講自旋,講自旋時這個希爾伯特空間還要tensor上一個2維的線性空間)